Sposoby obliczania pola trójkąta Pole trójkĄta Sposoby obliczania pola trójkąta

Skąd wziął się wzór na pole trójkąta? Analizując architekturę Egipcjan można dojść do wniosku, że cenili sobie nauki ścisłe. Budowanie piramid wymagało dokładnego wyliczenia potrzebnych surowców oraz dokładnych projektów.  Matematyka osiągnęła jak na tamte czasy bardzo wysoki poziom. Nauczyli się obliczać między innymi pole trójkąta.

Wzór na pole: 1 P = 𝐴𝐵 ℎ 1 2 P = 𝐴𝐶 ℎ 2 2 P = 𝐵𝐶 ℎ 3 2 Zadanie 1 Oblicz długość wysokości poprowadzonej na bok AC trójkąta ABC, jeśli 𝐴𝐵 = 6, 𝐴𝐶 =5, ℎ 1 = 10.

Wzór z wykorzystaniem długości boków (wzór Herona) p = 𝟏 𝟐 (a + b + c) HERON z ALEKSANDRII (około 80 r. p.n.e.) P = 𝑝 𝑝 −𝑎 (𝑝 −𝑏)(𝑝 −𝑐)

Zadanie 2 Oblicz pole trójkąta, którego długości boków mają odpowiednio: 4cm, 6cm i 10cm. 

Wzór z wykorzystaniem długości dwóch sąsiednich boków i miary kąta zawartego między nimi P = 1 2 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑏𝑐 P = 1 2 sin𝛽 ac P = 1 2 sinγab

Zadanie 2 Oblicz pole trójkąta, którego sąsiadujące boki mają odpowiednio długości 4cm i 6cm, a miara kąta zawartego pomiędzy tymi bokami wynosi 30 o.  

Wzór z wykorzystaniem długości promienia okręgu opisanego i miar kątów P = 2 𝑅 2 𝑠𝑖𝑛𝛼 sin𝛽 sinγ P = 𝑎𝑏𝑐 4𝑅

Zadanie 3 Oblicz pole trójkąta, którego miary kątów wynoszą: 30o, 60o, 90o  a długość promienia okręgu opisanego wynosi 8cm. 

Wzór z wykorzystaniem długości boków i długości promienia okręgu wpisanego P = pr p = 𝟏 𝟐 (a + b + c)

 Zadanie 4 Oblicz pole trójkąta, którego boki mają długości: 3cm, 4cm, 5cm oraz promień okręgu wpisanego ma długość 1cm.  

Układ współrzędnych Za jedyną pewność uważał fakt myślenia i wyraził to w znanej powszechnie formule "Myślę, więc jestem" ("Cogito ergo sum"). W matematyce chciał powiązać algebrę z geometrią. Wprowadził metodę opisywania punktów za pomocą współrzędnych Rene Descartes w prostokątnym układzie współrzędnych, (1596 , 1650) zwanym również kartezjańskim układem współrzędnych.

W podobny sposób opisuje się położenie figur na szachownicy.

W miarę rozwoju nauki i techniki człowiek odczuł potrzebę opisywania świata za pomocą map i planów.

Trójkąt w układzie współrzędnych

Pole trójkąta w układzie współrzędnych Wzór Picka P = W + 1 2 B - 1 W – liczba punktów kraty leżących wewnątrz trójkąta B – liczba punktów kraty leżących na brzegu trójkąta

Georg Alexander Pick (1859 -1942), austriacki matematyk, który jako pierwszy odkrył w 1899 roku wzór, znany obecnie jako wzór Picka. Wzór można uogólnić na przestrzeń trójwymiarową.

Pole trójkąta w układzie współrzędnych B = (4, -2) C = (6, 6) P = 1 2 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 𝑥 𝐶 − 𝑥 𝐴

Zagadka 1

Zagadka 2 Płytkę 6 x 6 podzieloną liniami na 36 kratek, należy rozciąć na 8 trójkątów różnej wielkości. Wierzchołki trójkątów powinny znaleźć się w węzłach siatki (węzły i linie są także na brzegach płytki).