AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 9) Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

Układy liniowe z opóźnieniem W praktyce występują układy regulacji, których człony mogą przejawiać opóźnioną reakcję na sygnał wejściowy. Rozróżniamy dwa rodzaje reakcji i członów: człony z opóźnieniem skupionym, człony z opóźnieniem rozłożonym. Człony z opóźnieniem skupionym nie powodują znie-kształcenia sygnałów w czasie, a tylko przesuwają je wzdłuż osi czasu. Z reakcjami tego typu mamy najczęściej do czynienia w pro-cesach transportu i mieszania.

Układy liniowe z opóźnieniem Człony z opóźnieniem rozłożonym powodują defor-mację sygnałów zależną od miejsca i czasu. Z reakcjami tego typu mamy najczęściej do czynienia w pro-cesach przesyłania energii liniami o znacznej długości, na przykład elektrycznymi, cieplnymi, pneumatycznymi i hydrau-licznymi. Będziemy rozpatrywać wyłącznie człony z opóźnieniem skupionym, a opóźnienie skupione będziemy nazywać krótko opóźnieniem. Ponadto założymy, że opóźnienie w obiekcie regulacji ma charakter dominujący, a ewentualne opóźnienia w pozo-stałych członach układu są pomijalnie małe.

Układy liniowe z opóźnieniem Rys. Ogólny schemat blokowy układu regulacji z opóźnieniem

Układy liniowe z opóźnieniem Przyjmijmy funkcje przejścia członów układu: Kr, K, Kz – współczynniki wzmocnienia, Ti, Td, Tz – stałe czasowe, τ – czas opóźnienia.

Układy liniowe z opóźnieniem Rys. Szczegółowy schemat blokowy układu regulacji z opóźnieniem i funkcjami przejścia

Układy liniowe z opóźnieniem Schematy blokowe układów G1, G2, G3 i G4 do badań symulacyjnych.

Charakterystyki skokowe układów G1, G2, G3 i G4 Układy liniowe z opóźnieniem Pobudzając układy skokowym sygnałem sterującym, możemy zaobserwować wyraźny wpływ wzrostu czasu opóźnienia na pogorszenie się właściwości eksploatacyjnych układów Charakterystyki skokowe układów G1, G2, G3 i G4

Układy liniowe z opóźnieniem W porównaniu z układami bez opóźnienia może wystąpić: wzrost przeregulowania i czasu regulacji, pojawienie się drgań typowych dla granicy stabilności, niestabilna praca układu.

Przykład 1 Przykłady członów z opóźnieniem Jako pierwszy przykład rozważymy zawór dozujący, będący fragmentem układu regulacji stężenia związku chemicznego w roztworze wodnym, jak na rysunku. Rys. Schemat zaworu dozującego

Przykłady członów z opóźnieniem Właściwe proporcje składników występują już w punkcie 1 zaworu dozującego, jednak ze względu na konieczność wymieszania się składników układ pomiarowy znajduje się w punkcie 2. Stężenie ck określone w punkcie 1 zostanie zarejestrowane w punkcie 2 jako wartość c po upływie czasu τ wynoszącego Stąd sposób opóźnionej reakcji możemy zapisać

Przykłady członów z opóźnieniem - przykład 2 Rys. Fragment układu stabilizacji grubości walcowanego pasma – schemat walcowania

Przykłady członów z opóźnieniem - przykład 2 Jako drugi przykład rozważymy fragment układu stabilizacji grubości walcowanego pasma. Właściwa grubość walco-wanego pasma hk zostaje wytworzona w kotlinie wal-cowniczej. Poza tą kotliną nie ma deformacji wymiarów pasma, więc reakcja czujnika mierzącego wartość h będzie opóźniona o czas τ wynoszący Wtedy

Przykłady członów z opóźnieniem - przykład 3 Rys. Schemat przenośnika taśmowego

Układy liniowe z opóźnieniem Jako trzeci przykład weźmiemy fragment układu regulacji grubości warstwy materiału na przenośniku taśmowym Zmiana grubości warstwy, a więc zmiana masy transportowanego materiału zachodzi w urządzeniu zasypowym i zarejestrowana jest przez czujnik po upływie czasu Reakcja czujnika jest więc opóźniona w czasie

Krótkie podsumowanie Układy liniowe z opóźnieniem W pokazanych przykładach czas opóźnienia wynikał głównie z konieczności przetransportowania medium (cieczy, metalu, sypkiego materiału itp.) z miejsca, w którym zadanie regulacyjne zostało wyko-nane do miejsca, w którym zaistniała zmiana mogła zostać zarejestrowana. Taki czas opóźnienia nosi często nazwę opóźnienia transportowego.

i charakterystyki członu z opóźnieniem Model matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Wcześniejsze wzory zapiszemy ogólnie w postaci Funkcję przejścia układu członu można wyznaczyć na podstawie twierdzenia o przesunięciu wzdłuż osi czasu

Sygnał wejściowy i odpowiedź członu z opóźnieniem Model matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Sygnał wejściowy i odpowiedź członu z opóźnieniem

i charakterystyki członu z opóźnieniem Model matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Dla wyznaczenia charakterystyk częstotliwościowych wyznaczamy widmową funkcję przejścia członu Wobec tego:

i charakterystyki członu z opóźnieniem Model matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu z opóźnieniem

i charakterystyki członu z opóźnieniem Model matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa i fazowa członu z opóźnieniem

i charakterystyki członu z opóźnieniem Model matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Na podstawie tych charakterystyk można stwierdzić, że układy z opóźnieniem są układami niemini-malnofazowymi. Układy minimalnofazowe mają dwie charakterystyczne cechy: na podstawie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej można przewidzieć kształt logarytmicznej charakterystyki fazowej, charakterystyka fazowa zmierza do skończonej wartości, gdy ω zmierzała do nieskończoności.

i charakterystyki członu z opóźnieniem Model matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Układy nieminimalnofazowe mają również dwie cechy charakterystyczne: nie można przewidzieć kształtu logarytmicznej cha-rakterystyki fazowej na podstawie logarytmicznej cha-rakterystyki amplitudowej, 2) charakterystyka fazowa zmierza do minus nieskoń-czoności, gdy ω zmierza do nieskończoności.

Wybrane obiekty z opóźnieniem Obiekt inercyjny pierwszego rzędu Funkcję przejścia obiektu inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem zapisujemy w postaci

Charakterystyka czasowa skokowa Transformata odpowiedzi Na podstawie twierdzenia o splocie otrzymujemy

Charakterystyka czasowa skokowa Charakterystyka skokowa obiektu inercyjnego z opóźnieniem

Charakterystyki częstotliwościowe Widmowa funkcja przejścia obiektu, jej moduł i argument

Charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyka amplitudowo-fazowa obiektu inercyjnego z opóźnieniem

Aproksymacja właściwości obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem. Aproksymacja właściwości obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem. Aproksymacja właściwości obiektów inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem.

Aproksymacja właściwości obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem. Do obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia zaliczymy między innymi obiekt inercyjny i całkujący z inercją. Ich modele zastępcze są następujące: Tz – zastępcza stała czasowa, τ – zastępczy czas opóźnienia.

Parametry zastępczego modelu obiektu inercyjnego wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej. Charakterystyka skokowa inercyjnego obiektu regulacji.

Parametry zastępczego modelu obiektu inercyjnego wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej. Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie współczyn-niki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie: Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym wzorem Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć bez- pośrednio z charakterystyki jak pokazano na rysunku

Parametry zastępczego modelu obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej Charakterystyka skokowa obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu

Parametry zastępczego modelu obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie współczyn-niki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie: Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym wzorem Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć ze wzorów

Parametry zastępczych modeli obiektów inercyjnych wyższych rzędów Lp. Funkcja przejścia 1 1.865 0.282 2 a 2.786 0.386 3 3.700 0.450 4 4.632 0.498 5 5.566 0.534 6 6.535 0.555 7 8 8.456 0.614 10 10.424 0.636 9 2.455 0.805

Parametry zastępczych modeli obiektów całkujących z inercjami wyższych rzędów Lp. Funkcja przejścia 1 1.471 0.529 2 a 2.290 0.710 3 3.198 0.802 4 4.146 0.854 5 5.114 0.886 6 6.092 0.908 7 8 8.066 0.934 10 10.050 0.950 9 1.830 1.170

Aproksymacja właściwości obiektów inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem. Do obiektów inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem możemy zaliczyć obiekty o jednakowych stałych czasowych, opisane funkcją przejścia Przybliżenia tego modelu mogą być następujące

Parametry zastępczych modeli obiektów na Parametry zastępczych modeli obiektów na podstawie charakterystyki skokowej Charakterystyka skokowa obiektu

Parametry zastępczych modeli obiektów na Parametry zastępczych modeli obiektów na podstawie charakterystyki skokowej Współczynnik wzmocnienia w obu modelach zastępczych wynosi: Dla jednej stałej czasowej mamy wzory: Dla dwóch identycznych stałych czasowych mamy:

Parametry zastępczych modeli obiektów na Parametry zastępczych modeli obiektów na podstawie ich funkcji przejścia n 1 2 3 4 5 6 1.568 1.980 2.320 2.615 2.881 0.552 1.232 1.969 2.741 3.537 - 1.263 1.480 1.668 1.838 0.535 1.153 1.821 2.5253

Stabilność układów z opóźnieniem Układ regulacji jest stabilny wtedy, gdy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste ujemne lub mają ujemną część rzeczywistą, czyli leżą w lewej części płaszczyzny zmiennej zespolonej.

Kryterium Nyquista Schemat blokowy układu regulacji Równanie charakterystyczne układu, konwencjonalnie i widmowo

Kryterium Nyquista Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym: a) układu stabilnego b) układu niestabilnego Badany układ regulacji jest stabilny, gdy charak-terystyka amplitudowo-fazowa w układzie otwar-tym nie obejmuje punktu (-1, j0)

Stabilność układów z opóźnieniem Kryterium Nyquista, oprócz zbadania stabilności, umożliwia także wyznaczenie krytycznego czasu opóźnienia. Krytycznym czasem opóźnienia nazywamy czas opóźnienia powodujący utratę stabilności układu regulacji. Zagadnienie to ilustrują charakterystyki amplitudowo-fazowe kilku układów dla różnych czasów opóźnienia.

Stabilność układów z opóźnieniem Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym dla różnych wartości czasów opóźnienia

Stabilność układów z opóźnieniem Fragment charakterystyki amplitudowo-fazowej układu w otoczeniu granicy stabilności

Stabilność układów z opóźnieniem Dla granicy stabilności, czyli dla punktu G, warunek na moduł i argument widmowej funkcji przejścia wynoszą: Podane warunki są układem równań, przy czym: warunek pierwszy służy zwykle do wyznaczenia pulsacji na granicy stabilności, warunek drugi umożliwia wyznaczenie krytycznego czasu opóźnienia.

Stabilność układów z opóźnieniem - przykład Schemat blokowy układu regulacji przekształcony do postaci z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym Zbadać stabilność układu regulacji dla danych:

Rozwiązanie Stabilność układów z opóźnieniem - przykład Transmitancja operatorowa i widmowa w układzie otwartym Moduł i argument transmitancji widmowej (liczby zespolonej):

Stabilność układów z opóźnieniem - przykład Po podstawieniu: Na podstawie tych wzorów sporządzono dwie charakterystyki Bez opóźnienia (krzywa zielona). Z opóźnieniem (krzywa czerwona).

Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym

Stabilność układów z opóźnieniem - przykład Podsumowanie Z rysunku widać, że Charakterystyka układu bez opóźnienia świadczy o stabilności układu. Charakterystyka układu z opóźnieniem świadczy o niestabilności układu, a więc o istotnym wpływie czasu opóźnienia na właściwości układu.

Rozwiązanie Stabilność układów z opóźnieniem - przykład Wyznaczyć krytyczny czas opóźnienia poprzednio rozpatry-wanego układu. Rozwiązanie Warunek modułu i argumentu analizowanego układu wynoszą

Stabilność układów z opóźnieniem - przykład Z warunku modułu otrzymujemy Z warunku argumentu otrzymujemy