dr hab. Dariusz Piwczyński Teoria estymacji dr hab. Dariusz Piwczyński 2017-03-28

Estymacja to postępowanie statystyczne zmierzające do oszacowania parametrów populacji generalnej (, ) na podstawie statystyk (estymatorów) uzyskanych z populacji próbnej. 2017-03-28

Estymatory a Parametry Sx POPULACJA PRÓBNA POPULACJA GENERALNA Parametry ():  – przeciętna w populacji  – odchylenie standardowe w populacji Estymatory: , Sx, 2017-03-28

Cechy dobrego estymatora to Nieobciążoność. Estymator nazywamy nieobciążonym, gdy jego wartość oczekiwana jest równa parametrowi populacji generalnej, czyli E(Tn)= . Efektywność. Estymator efektywny, to taki, którego wariancja jest najmniejsza. Zgodność. Estymator nazywamy zgodnym, jeżeli wraz ze wzrostem liczebności próby jego wartość zbliża się do szacowanego parametru. 2017-03-28

Rodzaje estymacji punktowa przedziałowa 2017-03-28

Estymacja punktowa polega na uznaniu estymatora z próby losowej, jako wartości parametru. Powyższemu stwierdzeniu towarzyszy dodatkowo podanie błędu oszacowania. Średni błąd średniej arytmetycznej: 2017-03-28

Błąd średniej Jeżeli względny błąd estymatora nie przekracza 7,5%, to można uznać, iż wynik estymacji jest wysoce precyzyjny. Jeśli przyjmuje wartości z przedziału 7,5%-15%, to dopuszczalny, a powyżej – nie jest do przyjęcia. 2017-03-28

Estymacja przedziałowa polega na wyznaczeniu przedziału liczbowego, który z określonym prawdopodobieństwem zawiera szacowany parametr. Końce przedziału zależą od wartości estymatora. 2017-03-28

Przedział ufności to losowy przedział, który z określonym prawdopodobieństwem określa wartość parametru. To inaczej przedział liczbowy, w którym znajduje się prawdziwa, lecz nieznana wartość parametru . Przedział (g1,g2) jest przedziałem ufności parametru , określonym na poziomie ufności 1-, jeżeli prawdopodobieństwo, że  leży w tym przedziale jest równe 1-. 2017-03-28

Poziom ufności 1 –  jest prawdopodobieństwem, że  leży w przedziale (g1,g2). Jeżeli  = 0,05, to 1-  =0,95 oznacza to, że średnio na każde 100 przedziałów ustalonych na 100 prób losowych, w 95 przypadkach prawdziwa wartość parametru  znajduje się wewnątrz przedziału, natomiast w 5 przypadkach znajduje się poza przedziałem. 2017-03-28

Przedział ufności dla średniej Stosowany wtedy, gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym (N(, )),  jest znane. u - wartość zmiennej standaryzowanej U (U=(X-)/) o normalnym rozkładzie 2017-03-28

Wartości krytyczne Wartości krytyczne są to takie wartości danej statystyki u, że prawdopodobieństwo, iż zmienna losowa przyjmie wartość większą od u lub mniejszą od u wynosi . 2017-03-28

Wartości krytyczne rozkładu normalnego  0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 u 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291 2017-03-28

Przedział ufności dla średniej Stosowany wtedy, gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym lub innym,  jest nieznane, próba duża > 30. u - wartość zmiennej standaryzowanej U (U=(X-)/) o normalnym rozkładzie 2017-03-28

Przykład Kontrolowano masę ciała 115 ślimaków winniczków. Średnia masa wyniosła 16,165 g, zaś odchylenie standardowe 6,103 g. Oszacuj 95% przedział ufności dla tej cechy. Nie znamy , nie znamy rozkładui, próba jest duża. 2017-03-28

Rozwiązanie Oszacowany przedział ufności to: (15,05; 17,28). 2017-03-28

Przedział ufności dla średniej 1 Stosowany wtedy, gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym, ale nie znamy  i próbie małej, tj. poniżej 30 elementów. (w mianowniku wzoru na odchylenie standardowe znajduje się „/n”). t - odczytujemy z tabeli testu t-Studenta dla liczby stopni swobody równej n-1 i odpowiedniego poziomu ufności. 2017-03-28

Rozkład t-Studenta Załóżmy, że jeżeli z populacji o jakimkolwiek rozkładzie ze średnią  i odchyleniem standardowym  pobieramy próby o dużej liczebności N, to rozkład średnich z tych prób będzie rozkładem normalnym o średniej  i odchyleniu 2017-03-28

Rozkład t-Studenta Jeżeli z populacji o rozkładzie normalnym pobieramy próby N - elementowe, to dla każdej próby możemy obliczyć statystykę t. 2017-03-28

Rozkład t-Studenta Wartości krytyczne są to takie wartości danej statystyki t, że prawdopodobieństwo, iż zmienna losowa przyjmie wartość większą od t lub mniejszą od t wynosi . 2017-03-28

Wartości krytyczne t 2017-03-28 Rozkład dwuśladowy =ROZKŁAD.T.ODW(a, st.swobody) st.swob. 0.5 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001 1 1.000 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619 2 0.816 2.920 4.303 6.965 9.925 31.599 3 0.765 2.353 3.182 4.541 5.841 12.924 4 0.741 2.132 2.776 3.747 4.604 8.610 5 0.727 2.015 2.571 3.365 4.032 6.869 6 0.718 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959 7 0.711 1.895 2.365 2.998 3.499 5.408 8 0.706 1.860 2.306 2.896 3.355 5.041 9 0.703 1.833 2.262 2.821 3.250 4.781 10 0.700 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587 11 0.697 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437 12 0.695 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318 13 0.694 1.771 2.160 2.650 3.012 4.221 14 0.692 1.761 2.145 2.624 2.977 4.140 15 0.691 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073 2017-03-28

Przedział ufności dla średniej Stosowany wtedy, gdy mamy do czynienia z rozkładem normalnym, ale nie znamy  i próbie tj. poniżej 30 elementów. (w mianowniku wzoru na odchylenie standardowe znajduje się „/n-1”). t - odczytujemy z tabeli testu t-Studenta dla liczby stopni swobody równej n-1 i odpowiedniego poziomu ufności. 2017-03-28