Zmiany strukturalne i/a zjawisko długiej pamięci w szeregach czasowych Robert Kozarski SGH

obserwacje odległe w czasie są nadal od siebie zależne (skorelowane). Zjawisko długiej pamięci (long memory) lub zależności długookresowej (long range dependance) oznacza, że funkcja autokorelacyjna szeregu czasowego wygasa w tempie hiperbolicznym, a nie wykładniczo jak to jest w przypadku procesów mających reprezentację w postaci procesu ARMA. Tym samym pojawiające się zaburzenia są długo oddziałują na zachowanie się badanego zjawiska, lub inaczej obserwacje odległe w czasie są nadal od siebie zależne (skorelowane).

Zjawisko długiej pamięci zostało zaobserwowane po raz pierwszy przez hydrologa i konstruktora tam na Nilu Harolda Hursta (Hurst [1951]), który zauważył, że tradycyjne metody zawodzą w przypadku prognozowania poziomu Nilu. Wprowadził wykładnik Hursta H (pierwotnie oznaczył to jako k) będący miarą zmienności poziomu zmienności wody

Własność długiej pamięci można zdefiniować (por. Baillie [1996]): 1) Jeśli proces dyskretny proces ma funkcje autokorelacyjną dla opóźnień j. 2) Funkcja gęstości spektralnej jest nieograniczona dla częstotliwości 3) Bardziej ogólna definicja (Heyde, Yang [1997]):

Jedną klase dla procesów długiej pamięci - procesy samopodobne (self similar processes) z paramerem d wprowadził Madelbrot i Ness (Mandelbrot, Ness [1968]). Są one uogólnieniem ułamkowego ruchu Browna (fractional brownian motion), gdzie: lub Drugą klasą modeli są modele ARFIMA jako pewna generalizacja modeli ARIMA wprowadzone przez Grangera i Joeux (Granger, Joeux [1981]).

Analogicznie używając funkcji gęstości spektralnej Wprowadzając pojęcie współczynnika Hursta H i współczynnika integracji ułamkowej d mamy do czynienia ze zjawiskiem długiej pamięci, gdy: Czyli, funkcja autokorelacyjna zbiega wraz ze wzrostem opóźnienia zbiega do funkcji autokorelacyjnej ułamkowego procesu Gaussowskiego (pierwsze przyrosty ułamkowego ruchu Browna). Analogicznie używając funkcji gęstości spektralnej możemy stwierdzić, że:

Własności procesu w zależności od parametrów H, d Długa pamięć, stacjonarność, persystencja** -0,5<d<0 0<H<0,5 Krótka pamięć, stacjonarność, antypersystentny d=0 H=0,5 Niezależność, brak pamięci*, biały szum 0,5<=d<1 . Proces niestacjonarny, I(1), persystentny, *-standard short memory ** persistency – trwałość, trwałe utrzymywanie kierunków zmian Tak więc wartość współczynnika d lub H może świadczyć o występowaniu lub braku w szeregu czasowym długiej pamięci.

Wśród ekonometryków jest duże zainteresowanie estymacją parametrów d i H (Baillie [1996]) wskazujących na istnienie lub nie zjawiska długiej pamięci w szeregu. Pomija się jednak często dwie ważne kwestie: Testowanie zajścia zmian strukturalnych w szeregach z długą pamięcią (Hidalgo, Robinson [1996] (Lobato, Savin [1997], Engle, Smith [1999], Granger, Hyung [1999], Diebold, Inoue [1999]). Estymacja d lub H bez zwracania uwagi na pojawianie się zmian strukturalnych (Teverovsky, Taqqu [1997], Kramer, Sibbertsen [2000], Wright [1998]).

Zmiany strukturalne vs długa pamięć Zjawisko pozornej długiej pamięci (spurious long memory) procesu może często być generowane przez zachodzące zmiany strukturalne lub trendy występujące w badanych danych Typowe dla procesów z długa pamięcią hiperboliczne zanikanie funkcji autokorelacyjnej, może być również generowane dla szeregów z krótka pamięcią, w których występują zmiany strukturalne. 2. Własność długiej pamięci może powodować występowanie pozornych zmian strukturalnych (Kramer, Siebbertsen [2000], Siebbertsen [2003]). Niektóre testy na występowanie zmian strukturalnych, mogą dawać mylne wyniki wskazując na występowanie zmian strukturalnych tam gdzie ich nie ma.

Testy CUSUM na występowanie zmian strukturalnych w szeregach z długą pamięcią Test MNK–CUSUM zaproponowany przez Ploberger, Kramer [1992]. Rozważamy równanie regresji (estymowane MNK): gdzie: Weryfikujemy hipotezę alternatywną, że zaszła nieoczekiwana zmiana strukturalna parametru regresji. Statystyka testująca ma postać: gdzie W przypadku, gdy odchylenia resztowe są białym szumem rozkład Statystyki zbiega do standardowego ruchu Browna. Natomiast czyli ułamkowego ruchu Browna z parametrem d.

Test standardowy CUSUM zaproponowany przez Brown, Durbin, Evans [1975]. Wykorzystuje rekursywne reszty z modelu regresji: Statystyka testowa ma postać: Podobnie jak w przypadku MNK-CUSUM rozkład statystyki czyli ułamkowego ruchu Browna.

Sibbertsen [2000] udowodnił, że dla dużych prób w przypadku ułamkowego zintegrowania reszt modelu, rozkład statystyk testowych w przypadku braku zmian strukturalnych zbiega do nieskończoności. Czyli w efekcie odrzucamy hipotezę o braku zmian strukturalnych w procesie. Tym samym testy nie są odporne na zjawisko długiej pamięci. Aby to zbadać wygenerowano proces mający reprezentacje ARFIMA (0,d,0) (algorytm Davies-Harte’a (Davis, Harte [1987])) dla d = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4, czyli w przypadkach kiedy reszty wykazują własność długiej pamięci.

Dla testu MNK-CUSUM Dla testu standardowego CUSUM

Wybrane estymatory parametru d mające O istnieniu zmian strukturalnych może również świadczyć zachowanie się estymatora parametru d. Wybrane estymatory parametru d mające znaczenie w wykrywaniu zmian strukturalnych Metoda wariancyjna Metoda GPH Metoda TGPH Metoda falkowa

Metoda wariancyjna Zaproponowana przez Teverowsky, Taqqu [1997] i Giraitis [2000]. Estymator d jest uzyskiwany graficzne poprzez wykres ln(V) w zależności od różnych wartości i ln(m). Jeśli szereg wykazuje długą pamięć wykres powinien być linia prostą ze współczynnikiem b = 2d-1

Wyniki estymacji metodą wariancyjną w przypadku zachodzących zmian strukturalnych Teverovsky i Taqqu [1997] pokazali, że w przypadku pozornej długiej pamięci wykres ln (V) w zależności od ln(m) nie jest linią prostą tylko ma przebieg wykładniczy z ujemnym współczynnikiem kierunkowym. Takie zachowanie może wskazywać na zachodzące zmiany strukturalne, które generują pozorne zjawisko długiej pamięci.

Metoda GPH – log periodogramu Zaproponowana przez Geweke, Porter-Hudak [1983] Niech będzie periodogramem procesu Estymator parametru d wyznaczany jest MNK z równania regresji postaci: Gdzie: oznacza j-ta częstotliwość Fouriera Jednak GPH jest wrażliwy na zmiany strukturalne występujące w badanym procesie

Metoda tapered GPH – zawężonego periodogramu Zaproponowany przez Velsaco [1999] oraz Hurvitch,Ray [1995] Rozważamy periodogram procesu: Gdzie: Oznacza tzw. taper-zawężacz, czyli czynnik, który redukuje w pewnym stopniu wpływ niskich i niestacjonarnych częstotliwości, jak również zmian strukturalnych i występujących trendów.

Wykrywanie istnienia zmian strukturalnych z wykorzystaniem Estymatorów GPH i TGPH Sibbertsen [2002] wykazał, że różnica powstała z porównania wartości estymatorów GPH i TGPH jest wyznacznikiem tego czy w badanym szeregu występuje długa pamięć lub zmiany strukturalne. GPH<<TGPH Zmiany strukturalne lub trend GPH TGPH Długa pamięć

Estymatory falkowe w estymacji d Estymator falkowy (wavelet) (Jensen [1999]), są odporne na zaburzenia ze strony zmian strukturalnych, jednak odporność zależy od wyboru rodzaju falki. Sibbertsen [2002] i Abry, Vietch [1998], proponują falkę Daubechies rzędu czwartego gdyż estymator d zbudowany na jej podstawie chrakteryzuje największą odpornością na występujące zmiany strukturalne.

Bootstrapowe wersje testów Bartlett’a i Cramera von Misses’a Zarys metody Rozważamy równanie regresji: Interesuje nas, czy parametr regresji pozostaje stały w czasie. Testem, który będzie weryfikować hipotezę o stałości parametru będzie: test Bartlett’a (test supremum); - Cramera von Misses’a (test odległości). Powyższe dwa testy maja zastosowanie w przypadku szeregów z krótką pamięcią. Rozszerzenie ich na modele z długą pamięcią powoduje, że ich postać zależy od nieznanych wartości estymatorów, których rozkład jest określony w sposób przybliżony. Wykorzystując metody boostrapowe możemy wyznaczyć rozkład empiryczny i na jego podstawie zweryfikować hipotezę o zmianie wartości parametru modelu regresji.

Hidalgo i Lazarova [2003] proponują, aby równanie regresji rozszerzyć do postaci: gdzie okres zajścia (ewentualnej) zmiany strukturalnej. Wyznaczamy estymatory MNK parametrów regresji . i Przekształcając równanie regresji na dziedzinę częstościową otrzymujemy: gdzie: Dyskretna transformata Fouriera Estymatory w dziedzinie częstościowej wyznacza się z:

Dziedzina częstościowa jest stosowana, gdyż bootstrapowanie nie wymaga wyznaczania różnych parametrów (tuning parameters) np. długości okna w metodzie blokowej, należącej do metod bootstrapowych dla szeregów czasowych W wyniku dalszych analiz okazuje się, że rozkład statystyki: zależy od nieznanych parametrów i Których zgodne estymatory mają postać: W szczególnych przypadkach funkcjonały ruchu Browna są znane i kwantyle Rozkładu można łatwo wyznaczyć. W innych przypadkach należy te funkcjonały wyznaczać symulacyjnie. Alternatywną metodą obliczenia wartości krytycznych Rozkładu statystyki jest metoda bootstrap. Zasadniczym celem tej metody jest zastąpienie nieznanego rozkładu rozkładem empirycznym wyznaczonym na podstawie badanej próby (szeregu czasowego).

1. Obliczamy wartości estymatorów parametrów modelu regresji oraz wyznaczamy reszty teoretyczne 2. Obliczamy wartość dyskretnej transformaty Fouriera: 3. Wyznaczamy jej postać znormalizowaną i spośród otrzymanych elementów dla kolejnych j, losujemy niezależnie n-1 elementów . 4. Generujemy próbę boostrapową składającą się z następujących elementów

5. Wyznaczamy wartości bootstrapowe szukanych estymatorów parametrów 6. Wyznaczamy poziomy bootstrapowe statystyk testujących 7. Porównujemy poziomy statystyk testowych otrzymanych z metody Bootstrapowej z poziomem nominalnym dla określonego α (z dystrybuanty rozkładu normalnego). Wyznaczamy frakcję p przypadków kiedy hipoteza o braku zmian strukturalnych została odrzucona.

Wyniki testów bootstrapowych Hipoteza o braku zmian strukturalnych była w większości przypadków przyjmowana tak więc rozkład empiryczny wyznaczony za pomocą procedury bootstrapowej dobrze „imituje” rozkład asymptotyczny.