II. Matematyczne podstawy MK Mechanika Kwantowa II. Matematyczne podstawy MK WYKŁAD 7 Równanie Schrödingera

Plan wykładu równanie Schrödingera zależne od czasu – ogólna metoda rozwiązania, równanie Schrödingera niezależne od czasu, cząstka swobodna, ewolucja paczki gaussowskiej.

Równanie Schrödingera zależne od czasu Stany opisane przez funkcję zależną od czasu zmieniają się zgodnie z równaniem w którym H jest operatorem całkowitej energii układu (hamiltonianem).

Równanie Schrödingera zależne od czasu Równanie Schrödingera z dowolnym hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej Dowolna funkcja falowa (stan układu fizycznego) raz unormowana do jedności pozostaje unormowana w dowolnej innej chwili czasu.

Równanie Schrödingera zależne od czasu W przypadku gdy operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu (układ fizyczny nazywamy wtedy zachowawczym lub konserwatywnym) poszukujemy rozwiązania równania Schrödingera w postaci separowalnej: Po przekształceniach otrzymujemy: Jest to rozwiązanie szczególne.

Równanie Schrödingera niezależne od czasu Funkcja spełnia tzw. stacjonarne równanie Schrödingera: gdzie H jest hamiltonianem, E jest energią układu. Dla pojedynczej cząstki mamy:

Równanie Schrödingera zależne od czasu Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera: gdzie jest jednym z rozwiązań zagadnienia własnego stacjonarnego równania Schrödingera:

Cząstka swobodna Rozważając przypadek cząstki swobodnej mamy: Równanie Schrödingera ma postać: Po separacji równania ogólnego otrzymamy: gdzie E jest energią cząstki.

Cząstka swobodna Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrödingera gdzie

Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera dla cząstki swobodnej gdzie Cząstka swobodna Rozwiązanie ogólne równania Schrödingera dla cząstki swobodnej gdzie

Cząstka swobodna Wprowadzając oznaczenia: otrzymamy (dla jednego wymiaru): Gęstość prawdopodobieństwa wynosi: Gęstość prądu prawdopodobieństwa:

Cząstka swobodna Wyrażenie na gęstość prawdopodobieństwa zawiera człon interferencyjny (dla A = B mamy falę stojącą):

Ewolucja paczki gaussowskiej Rozważamy ruch cząstki o masie m wzdłuż osi x: gdzie k jest rzeczywistym parametrem ciągłym. Pełna funkcja falowa ma postać paczki fal:

Ewolucja paczki gaussowskiej Dla warunku początkowego w postaci: Korzystając z faktu, że: otrzymamy:

Ewolucja paczki gaussowskiej Tak więc pełna funkcja falowa przyjmie postać: skąd:

Ewolucja paczki gaussowskiej Wykres funkcji dla różnych wartości t (t=0, 2.5, 5, 10). Stałe równe jedności.

Ewolucja paczki gaussowskiej Czas podwojenia szerokości paczki: w przypadku ciała makroskopowego (m = 10-9 g, a = 0.001 cm): w przypadku elektronu zlokalizowanego na obszarze a = 10-8 cm:

Ewolucja paczki gaussowskiej Prędkość fazowa paczki falowej: Prędkość grupowa paczki falowej: kolor czerwony – prędkość fazowa, kolor zielony – prędkość grupowa