Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół im. Karola Marcinkowskiego w Ludomach Publiczne Gimnazjum w Człopie ID grupy: 98/33_MF_G2 i 98/7_MF_G1 Kompetencja: MATEMATYKA I FIZYKA Temat projektowy: POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH. Semestr/rok szkolny: semestr 1/ rok szkolny 2010/2011

Cele projektu Ogólne: kształcenie umiejętności samodzielnego korzystania z różnych źródeł informacji, gromadzenie, selekcjonowanie i przetwarzanie zdobytych informacji, doskonalenie umiejętności prezentacji zebranych materiałów, rozwijanie własnych zainteresowań, samokształcenie, wyrabianie odpowiedzialności za pracę własną i całej grupy, kształcenie umiejętności radzenia sobie z emocjami , godnego przyjmowania niepowodzeń i ich właściwej interpretacji. W zakresie rozwinięcia umiejętności pracy w grupach: układania harmonogramów działań, planowania i rozliczania wspólnych działań, przekonywania członków grupy do proponowanych rozwiązań w celu wspólnej realizacji planowanych działań, przewidywanie trudności w realizacji projektu i radzenia sobie z nimi.

Cele projektu c.d. Rozwój wiedzy Poznanie i prawidłowe posługiwanie się potęgami. Poprawne stosowanie nazewnictwa (podstawa potęgi, wykładnik, potęga iloczynu, ilorazu). Praktyczne wykonywanie obliczeń na potęgach z zastosowaniem odpowiednich twierdzeń (iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach/ wykładnikach, potęga potęgi). Poprawne posługiwanie się pojęciami: system addytywny i nieaddytywny liczenia, podstawa systemu, liczba zapisana w systemie.

Cele projektu c.d. Rozwój umiejętności: Kształcenie biegłości w wykonywaniu obliczeń z zastosowaniem potęg, biegłe zamienianie postaci liczby na wykładniczą oraz zamienianie potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych na odpowiednie potęgi o wykładnikach naturalnych. Kształcenie umiejętności szacowania. Kształcenie biegłości w zapisywaniu liczb w różnych systemach, wykonywaniu obliczeń wewnątrz systemu i konwertowania liczb pomiędzy systemami (system dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy).

Cele projektu c.d. Rozwój postaw Wyrabianie postawy współodpowiedzialności za powierzone zadanie, nawyku samooceny swojej pracy, zachowań i postaw. Kształtowanie umiejętności rozwiązywania problemów, planowania pracy, ustalania terminarza i podziału obowiązków. Rozwijanie umiejętności interpersonalnych podczas grupowego przygotowywania materiałów. Kształcenie postawy krytycznej w trakcie rozwiązywania zadań. Rozwijanie u uczniów dociekliwości poznawczej, ukierunkowanej na poszukiwanie prawdy, dobra i piękna. Kształtowanie aktywnej postawy wobec siebie i rówieśników. Umiejętność kierowania własnymi emocjami podczas prezentowania wyników pracy grupowej, wdrażanie do pracy nad sobą, kształtowanie poczucia odpowiedzialności za swoje słowa i czyny, za własny rozwój intelektualny. Kształcenie umiejętności matematyzacji sytuacji realistycznej i posługiwania się językiem matematycznym.

Liczby duże

Zapis dużych liczb w notacji wykładniczej tysiąc 103 1 000 milion 106 1 000 000 miliard 109 1 000 000 000 bilion 1012 1 000 000 000 000 biliard 1015 1 000 000 000 000 000 trylion 1018 1 000 000 000 000 000 000 tryliard 1021 1 000 000 000 000 000 000 000 kwadrylion 1024 1 000 000 000 000 000 000 000 000 kwintylion 1030 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 sekstylion 1036 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 septylion 1042 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 oktylion 1048 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 nonylion 1054   decylion 1060 centylion 10600 Zapis dużych liczb w notacji wykładniczej

jedna tysiąc bilionowa (10-15) Przedrostek Oznaczenie Nazwa liczby eksa- E trylion (1018) peta- P tysiąc bilionów (1015) tera- T bilion (1012) giga- G miliard (109) mega- M milion (106) kilo- k tysiąc (103) hekto- h sto (102) deka- da dziesięć (10) decy- d jedna dziesiąta (10-1) centy- c jedna setna (10-2) mili- m jedna tysiączna (10-3) mikro-    jedna milionowa (10-6) nano- n jedna miliardowa (10-9) piko- p jedna bilionowa (10-12) femto- f jedna tysiąc bilionowa (10-15) atto- a jedna trylionowa (10-18)

Liczby małe-liliputy

Przykłady wag liliputów Masa cząsteczki wody - 0,000 000 000 000 000 000 000 00003 kg Masa protonu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg Masa elekronu - 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 95 kg

Liczby bardzo małe Oznaczenie Nazwa naukowa Ile to jest Nazwa potoczna decy 10-1 jedna dziesiąta c centy 10-2 jedna setna m mili 10-3 jedna tysiączna u mikro 10-6 jedna milionowa n nano 10-9 jedna miliardowa p piko 10-12 jedna bilionowa f femto 10-15 jedna biliardowa a atto 10-18 jedna trylionowa

Zapis wykładniczy małych liczb 0,000 000 000 1=10-10 0,000 000 000 3=3* 0,000 000 000 1=3*10-10 Masa protonu w kilogramach: 16 726*10-31=1672,6*10-30= =16,726*10-28= =1,6726*10-27

Ciekawostka Gdybyśmy chcieli porównać rozmiary atomu z wielkością pyłku, to rzec by można, że elektron tak się ma do pyłku, jak pyłek do globu ziemskiego

na liczbach dużych i małych Przykłady zadań na liczbach dużych i małych

ZADANIE 1. Masa protonu wynosi około 1,7 ∙ 10-27 kg, a masa elektronu 9,1 ∙ 10-31 kg. Ile razy proton jest cięższy od elektronu? Rozwiązanie: Żeby odpowiedzieć na pytanie wystarczy podzielić masę protonu przez masę elektronu : Odpowiedź: Proton jest ok. 1868 razy cięższy od elektronu.

ZADANIE 2. Oblicz objętość sześcianu o krawędzi długości 3 ∙ 10-30 m. Rozwiązanie: Przypomnijmy wzór na objętość sześcianu o boku długości a: V = a3. U nas a = 3 ∙ 10-30 m, stąd mamy: V = (3 ∙ 10-30 )3 = 33 ∙ (10-30)3 = 27 ∙ 10-30 ∙ 3 = 27 ∙ 10-90 = = 2,7 ∙ 10-89 (m3).

ZADANIE 3. Przyjmując, że odległość Ziemi od Słońca jest równa 1,5 ∙ 1011 m, a prędkość światła wynosi 300 000 km/s, oblicz, w jakim czasie światło dociera ze Słońca na Ziemię. Wynik podaj w minutach i sekundach. Rozwiązanie: Najpierw należy zapisać prędkość światła w notacji wykładniczej i zamienić jednostkę na m/s: 300 000 km/s = 3 ∙ 105 km/s 1 km = 1000 m = 103 m 3 ∙ 105 km/s = 3 ∙ 105 ∙ 103 m/s = 3 ∙ 108 m/s .

ZADANIE 3 – ciąg dalszy. W celu wyliczenia czasu, w jakim światło dociera ze Słońca na Ziemię dzielimy odległość Słońca od Ziemi przez szybkość światła (t = s : v): Otrzymany wynik – 500 s – zamieniamy na minuty dzieląc przez 60: Odpowiedź: Czas, w jakim światło dociera ze Słońca na Ziemię wynosi 8 min 20 s.

Ciekawostki, anegdoty, opowiadania historyczne o liczbach „Matematyka jest miarą wszystkiego” (Arystoteles)

Ciekawostki matematyczne Wielokątem o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych. Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146m wysokości, a krawędź jej podstawy wynosi 230m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3m i grubości 25cm to opasałby on całą Polskę. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością czterech miejsc po przecinku.

Ciekawostki o liczbach Starożytni Grecy uważali liczby parzyste i nieparzyste za przeciwieństwo. Liczbami nieparzystymi chętnie posługiwały się czarownice i wróżki, zwłaszcza 3 i 9. Zgodnie z wierzeniami były to liczby przynoszące szczęście i mające czarodziejską moc. Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonilionów gramów, czyli 20*1054. Ciało ludzkie składa się z 1028 atomów, Ziemia ma ich 1052. Widocznych gwiazd jest około 1087 . Największa znana obecnie liczba pierwsza jest ogromna - ma ona 2 098 960 cyfr. Gdyby zapisać cyfry tej liczby jedna za drugą na pasku papieru, to miałby on długość ponad 4 km.

Opowiadania historyczne o liczbach Zero pojawiło się w historii zaskakująco późno. Starożytni Grecy, którzy ogromnie przyczynili się do rozwoju matematyki, nie znali pojęcia zera, co bardzo poważnie komplikowało ich sposób zapisywania liczb. Zero wprowadzono, wraz z liczbami ujemnymi, w Indiach (VI-VIII wiek n. e., choć podobno Chińczycy znali je wcześniej).

Anegdoty o liczbach 6a cc d ae 13eff7i 31 9n4o4q rr 4s 9t 12 vx złożony zarówno z liter, jak i cyfr. To logogryf, którego Newton używał do kodowania wyników swoich badań, aby Leibniz nie mógł ich odczytać i przypisać sobie ich autorstwa. Mówi się, że ten ostatni więcej pracy musiałby włożyć w odszyfrowanie samego kodu, niż w zrozumienie zawartych w nim sekretów.

Trójkąty Wielokątem o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych. Wyróżniamy trójkąty: -Trójkąt pitagorejski -Trójkąt Egipski -Trójkąt Pascala

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Szyfr Cezara Jeden z najstarszych sposobów szyfrowania pochodzi od Juliusza Cezara, który szyfrował swoją korespondencję z Cyceronem. Sposób ten polegał na tym, że zamiast każdej litery pisał literę występującą w alfabecie trzy miejsca dalej. Tak więc, jeśli użyjemy dzisiejszego alfabetu łacińskiego. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z To zamiast c będziemy pisać f, zamiast g piszemy j, zamiast y piszemy b. Alfabet traktujemy cyklicznie, tzn. po ostatniej literze z następuje znów litera a itd.

Ciekawe przypadki działań matematycznych 3 x 37 = 111, a 1 + 1 + 1 = 3 6 x 37 = 222, a 2 + 2 + 2 = 6 9 x 37 = 333, a 3 + 3 + 3 = 9 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888

Figura geometryczna o polu równym zero Figurą geometryczną o zerowym polu jest kwadrat sito, który powstaje poprzez wyeliminowanie z jego środka punktu, podzieleniu go na 4 kwadraty, z każdego powstałego kwadratu wyeliminowaniu środka, podzieleniu go na 4 kwadraty, itd. Po takim zabiegu pozostanie kwadrat z pozostałą nieskończoną liczbą punktów wewnątrz, ale o polu równym 0.

Systemy zapisu liczb

System liczbowy System liczbowy - to inaczej zbiór reguł do jednolitego zapisywania liczb. Rozróżniamy pozycyjne systemy liczbowe i addytywne systemy liczbowe. W addytywnych systemach liczbowych wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Na addytywnym systemie zapisu opierają się systemy liczbowe: hieroglificzny, rzymski, alfabetyczny. W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia (pozycji) w liczbie. Przykładami takiego systemu są m.in. dziesiątkowy system liczbowy, dwójkowy system liczbowy.

RZYMSKI SYSTEM PISANIA LICZB

Zajrzyjmy do historii Rzymski system zapisywania liczb powstał ponad dwa tysiące lat temu. Używano go powszechnie jeszcze w piętnastym wieku. Obecnie cyfry rzymskie stosuje się rzadko. Służą one do zapisywania dat, oznaczania numerów pięter, rzędów w kinie, itp.

Liczby: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,…. ......nazywają się liczbami naturalnymi. Każdą liczbę naturalną można zapisać cyframi: Np. liczba 234 zapisana jest cyframi 2, 3, 4. Są to cyfry arabskie. Rzymianie korzystali z systemu, który zawierał 7 znaków, które nazywamy znakami rzymskimi I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000

Gdy cyfry w rzymskim zapisie liczby występują w kolejności od największej do najmniejszej, to aby odczytać tą liczbę, dodajemy wartości jej cyfr. XVI 10+5+1=16 Gdy w zapisie rzymskim cyfra mniejsza poprzedza większą, to liczba odpowiadająca tym dwóm cyfrom jest równa ich różnicy. XIV 10+(5-1)=14

za pomocą znaków rzymskich Przykłady liczb zapisanych za pomocą znaków rzymskich XC 90 XIX 19 XVI 16 XXXI 31 CMX 910 LXIV 64 LV 55 CL 150 XL 40 CD 400 DCXXX 630 LXX 70 MCL 1150 MMCCII 2202 XCIX 99 CCCXL 340

Ciekawostki Wartość liczby zapisanej można zwiększyć: a)Stukrotnie, zapisując znak liczby w kreskach pionowych: C = 100 C = 10000 LXII = 62 LXII = 6200 b)Tysiąckrotnie, podkreślając ją u góry: XX = 20 XX = 20000 DLXV = 565 DLXV = 565000

System dwójkowy

System dwójkowy: Komputer składuje dane pod postacią impulsów elektrycznych. Lecz nie stosuje systemu dziesiętnego, w którym używamy różnych znaków, czyli cyfr, dla reprezentacji liczb do 9. a następnie tych samych na różnych pozycjach dla reprezentacji dziesiątek, setek, tysięcy i tak dalej. Maszyny używają systemu dwójkowego, w którym wystarczają do tego dwie cyfry. 0 i 1. Układ elektroniczny łatwo rozróżnia brak sygnału. reprezentujący 0, od sygnału, reprezentującego 1. Zera i jedynki można także łatwo przedstawić jako otwór lub jego brak na karcie perforowanej, bądź jako zmianę namagnesowania nośnika na dyskietce lub taśmie magnetycznej. Te sygnały tworzą kod. który komputer potrafi odczytywać i zapisywać.

Przykłady zapisu liczb: 10101₂=21₁₀ 1*2³+0*2²+1*2₁+0*2⁰=8+2=10 11110²=1*2+1*2³+1*2²+1*2+0*2⁰=1*16 +1*8+1*4+1*2+0*1=16+8+4+2=30

Podstawowe działania na systemie dwójkowym Liczby a=(52)10 i b=(3,7)10 zapisać w naturalnym systemie dwójkowym (brać 4 miejsca po przecinku), a następnie wykonać działania: a+b, a-b, a*b.

System pozycyjny dziesiętny Zwany jest również dziesiątkowym. Jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Nasza numeracja sprowadza się do dziesięciu cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) 10 jedności pierwszego rzędu tworzy jedność drugiego rzędu (dziesiątkę), 10 jedności drugiego rzędu tworzy jedność trzeciego rzędu (setkę) itd.. Czyli ogólnie: 10 jednostek rzędu niższego tworzy jedną jednostkę rzędu wyższego. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę (bazę) systemu (w naszym przypadku liczby 10)

Jak zapisywać liczby 384 oznacza liczbę złożoną z 4 jednostek, 8 dziesiątek i 3 setek. Jeżeli brak jest jedności pewnego rzędu, stawiamy w tym rzędzie zero. Liczba 407 posiada tylko 7 jednostek i 4 setki.

SYSTEM SZESTNASTKOWY System szesnastkowy to system różny od tego, którego używamy na co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb w mniejszych przestrzeniach pamięci. W systemie szesnastkowym wyróżniamy 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Zapis liczby całkowitej w systemie heksadecymalnym ma postać: ai-1ai-2 ... a2a1a0 = ai-1 · 16i-1 + ai-2 · 16i-2 + ... + a2 · 162 + a1 · 161 + a0 · 160

SYSTEM DWUNASTKOWY Podstawą układu dwunastkowego jest liczba B (dwanaście), a wszystkie liczby można zapisywać dwunastoma cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Jednostka każdego następnego rzędu jest dwanaście razy większa od jednostki rzędu poprzedniego. Zapis liczby całkowitej w systemie dwunstkowym ma postać: ai-1ai-2 ...a2a1a0 = ai-1 · 12i-1 + ai-2 · 12i-2 + ... + a2 · 122 + a1 · 121 + a0 · 120

konwersja liczby w systemie dziesiętnym na szesnastkowy Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym na system heksadecymalny można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 16 i spisywanie reszt z dzielenia. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją szesnastkową liczby dziesiętnej.

Zamiana liczby dziesiętnej na binarną Podstawowy sposób polega na kolejnym dzieleniu liczby dziesiętnej przez 2 z resztą i zapisaniu liczby od najstarszego do najmłodszego bitu więc: 69 (10)= 1000101 (2) Każdą pozycję liczby binarnej nazywamy bitem (binary digit) i jest to najmniejsza jednostka ilości informacji

Zamiana liczby binarnej na dziesiętną Przypomnijmy, że aby obliczyć dziesiętną wartość naszej liczby binarnej mnożymy cyfrę stojącą na każdej pozycji przez jej wagę, czyli kolejną potęgę liczby 2 będącej podstawą systemu 1000101 (2)=1*26 + 0*25 + +0*24+0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = =64+0+0+0+4+0+1=69

OMNIBUS GUIZ GRUPOWY

OGÓLNE ZASADY QUIZU Grupa dzieli się na drużyny 4 osobowe. Każda osoba z grupy kolejno wybiera pytanie z ponumerowanej listy i odpowiada na nie. Pytania są za 1, 2 i 3 pkt. Grupa zdobywa punkty, gdy uczestnik gry udzieli poprawnej odpowiedzi w czasie max 3 minut. Zwycięża ta grupa, która za poprawne odpowiedzi zdobędzie największą liczbę punktów. Odpowiadamy do wyczerpania pytań.

Przykładowe pytania Przedstaw w postaci potęgi ZA 1 PUNKT ZA 2 PUNKTY ZA 3 PUNKTY Przedstaw w postaci potęgi Oblicz: Co to jest system addytywny? Oblicz: Drewniany sześcian wymiaru 5×5×5 został zbudowany poprzez sklejenie ze sobą 53 sześcianów jednostkowych. Kleofas sfotografował ten sześcian w taki sposób, aby na zdjęciu widać było największą możliwą liczbę sześcianów jednostkowych. Ile sześcianów jednostkowych było widocznych na zdjęciu wykonanym przez Kleofasa?

AUTORZY Adamska Dagmara Aniołek Adriana Bakiera Jakub Baran Dominik Botorowicz Paulina Graś Mirosław Kardasz-Szypa Patryk Kozubal Lidia Larek Sylwia Juszczak Kamil Osak Angelika Polcyn Joanna Rychlewska Angelika Stokłosa Monika Stokłosa Weronika Wolder Agata Opiekun: Magdalena Nogalska Aleksandra Kamińska Damian Kamiński Kinga Kliczkowska Mariusz Koperek Grzegorz Kowalczyk Aleksandra Pawlik Sylwia Piróg Wiesław Sadłek Grzegorz Turowski Jacek Węgrzyn Opiekun: Grażyna Wasilewska

literatura www.wikipedia.pl www.interklasa.pl Fizyka i astronomia w gimnazjum, wyd. Nowa Era Fizyka, wyd. WSiP M.Pawlikowska, Fizyka, wyd. Pazdro Fizyka z komputerem, wyd. Helion Systemy liczenia, Wiesław Sornat