Rzut stereograficzny Spinory Cartana Referat przygotowany na ćwiczenia z kursu MMF II prowadzone przez dra W. Karasia Radosław Strzałka 27.10.2008

RZUT STEREOGRAFICZNY (co po czym?) Skąd to się wzięło i kto to wymyślił? (trochę historii) Co na to analiza zespolona? (postać zespolona rzutu) Obrót sfery urodził homografię? (reprezentacja grup obrotów i odbić)

Ptolemeusz czy Hipparchos? (starożytność) Tworzenie map geograficznych – głównie obszarów podbiegunowych. Odwzorowanie to zachowuje równokątność, ale gubi długości linii i pola powierzchni figur Hipparchos z Nikei (190 r. p.n.e. - 120 r. p.n.e.) grecki matematyk, geograf i astronom. To jemu przypisuje się znajomość konstrukcji rzutu stereograficznego już w II w p.n.e. Klaudiusz Ptolemeusz (100 r. - 175 r. n.e.) grecki uczony z Aleksandrii (słynnej greckiej szkoły nauk przyrodniczych). Znany głównie ze stworzenia geocentrycznego układu planetarnego. Niektóre źródła jemu właśnie przypisują rozwinięcie techniki rzutu stereograficznego do zastosowań geometrycznych.

Konstrukcja geometryczna Sfera jednostkowa w przestrzeni rzeczywistej Odwzorowanie stereograficzne – przekształcenie sfery na płaszczyznę Rzut stereograficzny – punkt przecięcia prostej, łączącej biegun południowy z punktem x = (x1,x2,x3) na sferze, z płaszczyzną  płaszczyzna zespolona Obraz rzutu sfery na płaszczyznę, wraz z obrazem bieguna południowego (nieskończoność) – sfera Riemanna (uzwarcona płaszczyzna Gaussa) z Współrzędna zespolona (czemu tak?)

Gdzie tu jest ta HOMOGRAFIA?! Spróbujmy znaleźć zależność odwrotną, tzn. wyliczmy w zależności od z oraz Mamy teraz 2 sfery zbudowane na przestrzeniach X i Y i dwa zespolone punkty z i t. oraz pewną grupę obrotów, reprezentowaną w przestrzeni rzeczywistej macierzą ortogonalną Będziemy chcieli znaleźć relację t(z) – dającą prawidła transformacji płaszczyzny zespolonej przy obrocie sfery. Gdzie tu jest ta HOMOGRAFIA?!

Macierze obrotu w przestrzeni Euklidesowej: Po zastosowaniu kilku ostatnich faktów dostajemy następujące relacje: Jest homografia! w ogólnej postaci , jednak zauważamy pewne szczególne właściwości , które pozwalają zapisać: Widzimy więc, że do pełnego opisu transformacji obrotu płaszczyzny zespolonej pod wpływem obrotu przestrzeni rzeczywistej, w wyniku której rzutu stereograficznego powstała, wystarczają 2 parametry – a,c  tzw. param. Cayleya-Kleina, spełniające relację:

…jeszcze 2 słowa o odbiciach Odbicie w osiach układu współrzędnych ma oczywisty związek w operacjami obrotu. Dlatego można odbiciu przypisać homografię: Można pokazać, że wówczas: A stąd już krok do ostatecznej postaci – otrzymujemy tzw. antyhomografię Siedlemin koło Jarocina (fot. ~Radek)

SPINORY (po czym co?) Drobniejsza moneta – i kto to wymyślił? (trochę historii – tym razem XXw.) Obrót – i znów homografia? (reprezentacja grupy obrotów spinora) Zaskakujący minus, jednostka urojona i Pauli (znak, odbicie i wektor spinora)

Rozmienić wektor na drobne Początek: Cartan 1913 r. Motywacja: Problem z rozkładem wektorów w bazie czterowektorowej. Definicja: Spinory to (w najprostszym ujęciu) wektory o współrzędnych zespolonych, używane do transformacji 3-wymiarowych grup obrotów do ich 2-wymiarowcyh reprezentacji. Zastosowanie: W mechanice kwantowej spinorów używa się do opisu funkcji falowej fermionów – związek z pojęciem spinu. Kondensat Bosego-Einsteina: spinory służą do reprezentacji funkcji falowej spinu. W doświadczeniach związanych z KBE (ang. BEC) wykreśla się zależności zmian spinora w czasie. Élie Joseph Cartan (1869 r. -1951 r.) francuski matematyk, szczególnie zasłużony w pracach nad teorią grup Liego i ogólną teorią grup, autor prac z geometrii różniczkowej i fizyki matematycznej.

Rozważamy dwa prostopadłe i o takiej samej długości wektory w=(w1,w2,w3) i v=(v1, v2,v3) z przestrzeni rzeczywistej. Możemy wprowadzić 2 parametry u0 i u1 takie, że współrzędne wektorów wyrazimy w postaci: Te nowe współrzędne u0 i u1 tworzą SPINOR – nową wielkość algebraiczną (geometryczną) Jeżeli teraz dokonamy transformacji obrotu wektorów w i v wg przepisu dla sfer jednostkowych z poprzedniej części, to współrzędne spinora przetransformują się wg macierzy Cayleya-Kleina Jeśli teraz zdefiniujemy liczbę zespoloną HOMOGRAFIA! – znów obrót jakiegoś obiektu geometrycznego w przestrzeni rzeczywistej ma na pł. zespolonej swoją reprezentację w postaci homografii. Rozważając obrót przestrzeni rzeczywistej wokół trzeciej osi (osi z), doszlibyśmy do bardzo zaskakującego wniosku: Przy pełnym obrocie spinor ZMIENIA ZNAK! to

Wykorzystując wyrażenie w żółtej ramce z poprzedniego slajdu, łatwo pokazać, że wyrażenie jest niezmiennikiem transformacji obrotu – KWADRAT WIELKOŚCI SPINORA Ostatnią z rozważanych przez nas transformacji geometrycznych jest odbicie w osiach układu współrzędnych. Jeśli rozważymy całkowite odbicie (tzn. w→ w’=w oraz v→ v’=v), to Z poprzednich rozważań o rzucie stereograficznym pamiętamy , natomiast przed chwilą przyjęliśmy, że Stąd po połączeniu wszystkich faktów otrzymujemy 3 liczby są to współrzędne tzw. WEKTORA SPINORA Okazuje się, że składowe tego wektora można zapisać prostą formułą w oparciu o macierze Pauliego gdzie

LITERATURA Algebra i geometria. Wykład dla fizyków. prof. Andrzej Staruszkiewicz, wyd. UJ, 1993 Spinory. dr Sławomir Brzezowski, wyd. UJ, 1995 Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Jacek Komorowski, wyd. PWN, 1978 Źródła internetowe: Wikipedia i inne