Pitagoras z Samos

Pitagoras z Samos (572 p. n. e. - 497 p. n. e Pitagoras z Samos (572 p.n.e. - 497 p.n.e.) żył w czasach, gdy w Indiach nauczał Budda, a w Chinach Konfucjusz. Był nie tylko matematykiem, ale także filozofem. Założył szkołę, która głosiła m.in. wiarę w reinkarmację. Pitagorejczycy wierzyli, że dusza człowieka może wcielić się nawet w roślinę. Prowadzili też działalność naukową.

Nie wiadomo, czy twierdzenie Pitagorasa udowodnił po raz pierwszy sam Pitagoras, czy też któryś z jego uczniów. Jest natomiast pewne, że było ono znane wcześniej, gdyż archeologowie znaleźli przykłady jego użycia już w egipskich papirusach.

Twierdzenie Pitagorasa brzmi: W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. c a2+b2=c2 a b

Dowód twierdzenia Pitagorasa

a i b są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, a c jest długością przeciwprostokątnej. Udowodnię, że a2+b2=c2 c a b

Popatrz na rysunek: c c b a Na przeciwprostokątnej c trójkąta prostokątnego położyłam kwadrat.

Teraz do każdego z pozostałych 3 boków kwadratu o boku c zbuduję 3 identyczne trójkąty prostokątne bokach a, b i c. b a a b c a b c a b

Kąt kwadratu o boku c i dwa kąty ostre trójkątów tworzą kąt półpełny Kąt kwadratu o boku c i dwa kąty ostre trójkątów tworzą kąt półpełny. Zatem otrzymana figura to czworokąt, a dokładniej kwadrat o boku a+b. b a a b c a b c a b

Pole tego kwadratu można obliczyć w różny sposób. I sposób to: P= (a+b)2 = a2 +2ab+b2 Przy tym obliczaniu korzystałam ze wzoru na pole kwadratu. II sposób to: P=4*(a*b)1/2+c2 P=2ab+c2 II sposób obliczyłam wykorzystując , że otrzymany kwadrat składa się z czterech trójkątów i kwadratu.

2

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. P3 P1 Czyli P1+P2=P3 P2

P1+P2=P3 Można tę równość zapisać w następujący sposób: a2+b2=c2 Gdyż:

A oto dowód…

Przy pomocy trójkąta prostokątnego zbuduję kwadrat, którego boki będą równe sumie długości przyprostokątnej a i b tego trójkąta. a b + c a b

Następnie dzielę kwadrat (pionowo) na dwa prostokąty Następnie dzielę kwadrat (pionowo) na dwa prostokąty. Jeden o bokach b+a i a. Drugiego boki wynoszą b+a i b. a b b a a

Widzimy, że powstały 2 prostokąty i 2 kwadraty. Teraz dzielę dwa prostokąty (poziomo) tworząc 2 kwadraty o bokach b i a. Widzimy, że powstały 2 prostokąty i 2 kwadraty. b b a a

Prostokąty dzielę wzdłuż przekątnej na dwa trójkąty prostokątne. Powstały 4 przystające trójkąty prostokątne: b 1 b 2 3 a 4 a

Jeśli ułożę te trójkąty w odpowiedni sposób, otrzymamy pośrodku kwadrat o polu c2 1 1 b b a b 2 c2 3 4 3 a a b 4 2 a a b

Pole kwadratu o boku długości a i b wynosi: 1 a b c2 3 4 a b 2 a b WNIOSEK: Pole kwadratu o boku długości a i b wynosi: (a+b)2=a2+2ab+b2 Pola 4 trójkątów o bokach a, b i c oraz pole kwadratu o boku c wynoszą: P=4*(a*b)1/2 +c2=2ab+c2

Czyli: c2=a2+b2

Opracowała: Iwona Sokołowska