Wybrane modele rozmyte i schematy wnioskowania

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
System lingwistyczny - wnioskowanie
Advertisements

Metody Sztucznej Inteligencji 2012/2013Zastosowania systemów rozmytych Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Zastosowania.
Sieć jednokierunkowa wielowarstwowa
Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury
Mechanizm wnioskowania rozmytego
Sztuczna Inteligencja Reprezentacja wiedzy I Logika przybliżona
Hydraulika SW – modele elementów i systemu
Modele hydrauliki elementów SW
Modele systemu wodociągowego ciśnieniowego
Inteligencja Obliczeniowa Zbiory rozmyte, modelowanie wiedzy.
KNW- Wykład 8 Wnioskowanie rozmyte.
Sztuczna Inteligencja Reprezentacja wiedzy I Logika rozmyta
Czy potrafimy obliczyć wartość wyjścia sieci znając wartości jej wejść? Tak, przy założeniu, że znamy aktualne wartości wag i progów dla poszczególnych.
Etapy modelowania matematycznego
Komputerowe wspomaganie decyzji 2010/2011Wprowadzenie – mapa pojęć Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1 Określenie.
Systemy rozmyte Systemami rozmytymi nazywamy systemy (statyczne lub dynamiczne) w których wykorzystujemy zbiory rozmyte i właściwy im aparat matematyczny.
Model lingwistyczny – wnioskowanie Mamdani’ego
Model Takagi – Sugeno – Kang’a - TSK
Nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Problem transportowy. Transport towarów od dostawców (producentów) do odbiorców odbywa się dwustopniowo przez magazyny hurtowe z przeładunkiem na mniejsze.
Liniowe modele decyzyjne – rozwiązania i analiza post-optymalizacyjna
Modelowanie matematyczne
Teoria sterowania SNSchematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1.
Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych
Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury
Wykład 25 Regulatory dyskretne
Semestr letni roku akademickiego 2013/2014
Modelowanie i identyfikacji SN 2013/2014Modele fenomenologiczne - linearyzacja Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1.
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Schematy analogowe i blokowe, realizowalność modeli stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii.
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Organizacja prowadzenia i program przedmiotu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów.
Określenie zakresu przedmiotu
strukturalizacja powtarzalnych reguł postępowania
Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Organizacja prowadzenia i program przedmiotu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów.
Wybrane zadania automatyka, w których stosuje on modele:
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2012/2013Modele fenomenologiczne - dyskretyzacja Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1.
Podstawy modelowania i identyfikacji 2011/2012Modele fenomenologiczne - metodyka Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1.
Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury
Etapy modelowania matematycznego
Modelowanie i identyfikacja 2012/2013Organizacja prowadzenia i program przedmiotu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1.
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1.
Metody sterowania – sterowanie rozmyte
Wnioskowanie w stylu Takagi - Sugeno.
SYSTEMY EKSPERTOWE I SZTUCZNA INTELIGENCJA
Modele dyskretne – dyskretna aproksymacja modeli ciągłych lub
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015Organizacja prowadzenia i program przedmiotu  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów.
Wybrane zadania automatyka, w których stosuje on modele:
Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury
Sterowanie rozmyte i neuronowe I
Zagadnienia AI wykład 4.
Zagadnienia AI wykład 2.
Zagadnienia AI wykład 6.
Zagadnienia AI wykład 5.
Teoria sterowania SNUpraszczanie schematów blokowych transmitancyjnych – znajdowanie transmitancji zastępczej  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra.
Wnioskowanie Mamdani’ego
Systemy wspomagające dowodzenie twierdzeń
Warstwowe sieci jednokierunkowe – perceptrony wielowarstwowe
Metody Sztucznej Inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Wnioskowanie Mamdani’ego - rozwinięcia  Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii.
Modelowanie i identyfikacja 2014/2015Modele rozmyte  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1 Systemy rozmyte są modelami.
 Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Metody sztucznej inteligencji – Technologie rozmyte i neuronoweSystemy.
© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy,
Etapy procesu sterowania rozmytego
Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.
© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016 Modelowanie rozmyte – podstawy,
Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.
Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Podstawowe rodzaje modeli rozmytych
Systemy neuronowo – rozmyte
Metody sztucznej inteligencji
Sterowanie procesami ciągłymi
Zapis prezentacji:

Wybrane modele rozmyte i schematy wnioskowania Model lingwistyczny Model lingwistyczny został wprowadzony jako sposób ujęcia wiedzy jakościowej eksperckiej w formie reguł IF-THEN x – zmienna lingwistyczna przesłanki/wejścia Xi – wartość zmiennej lingwistycznej przesłanki/wejścia y – zmienna lingwistyczna konkluzji/wyjścia Yi – wartość zmiennej lingwistycznej konkluzji/wyjścia

Zwykle wymaga się żeby zbiór określeń/wartości zmiennej lingwistycznej posiadał pewne właściwości – wymienimy teraz jedną:  kompletność Kompletność. Kompletność oznacza, że każdy element przestrzeni rozważań jest przypisany do co najmniej jednego zbioru rozmytego z niezerowym stopniem przynależności Alternatywnie może być nakładane wymaganie nazywane -kompletnością

Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu gazu Wejście – x, natężenie dopływu tlenu O2, skalar Wyjście – y, moc grzejna, skalar Wartości lingwistyczne wejścia – T(x) = {Low, OK, High} Wartości lingwistyczne wyjścia – T(y) = {Low, High}

Przykład – model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku

Agregacja relacji Grafik/wykres rozmyty

Model lingwistyczny - wnioskowanie Wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza konkluzje w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia Wnioskowanie w systemie opartym o reguły rozmyte jest procesem opartym na złożeniowej zasadzie wnioskowania (Zadeh-1973)

Każda reguła może być rozważana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne występowanie określonych wartości x oraz y) z funkcją przynależności obliczaną z formuły (dla uproszczenia zapisu opuścimy dalej indeks i)

Operator I może być:  implikacją rozmytą w sensie klasycznym  implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) W modelu rozmytym Mamdani’ego stosowana jest implikacja rozmyta inżynierska Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani’ego (t-norma MIN) - implikacja Larsena (t-norma PROD)

Mechanizm wnioskowania oparty jest na uogólnionej regule modus ponens Mając regułę if-then oraz fakt x is A’ zbiór wyjściowy B’ jest wyliczany w oparciu o złożeniową zasadę wnioskowania

Uogólniona złożeniowa reguła wnioskowania  Jeżeli A’ jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A’ i R oznaczone jako A’  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B’(x,y) określoną wzorem: gdzie: A’  jest rozszerzeniem cylindrycznym A’ na przestrzeń X x Y

Wnioskowanie klasyczned - reguła Modus Ponens Reguła Modus Ponens (klasyczna): Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = A Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = A TO y = B Wniosek/conclusion y = B gdzie: A, B - zbiory rozmyte x, y – zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest dojrzały

Podstawą wnioskowania w rozmytej logice jest tautologia Uogólniony Modus Ponens: Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = A’ Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = A TO y = B Wniosek/conclusion y = B’ gdzie: A’, B’ oznacza „bliski A”, „bliski B” odpowiednio A, A’, B, B’, - zbiory rozmyte x, y – zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest prawie czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest prawie dojrzały Skróty: Uogólniony Modus Ponens - UMP Generalised Modus Ponens - GMP

Wykorzystując złożeniową regułę wnioskowania można sformułować procedurę wnioskowania rozmytego  Każda reguła IF-THEN może być traktowana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne pojawienie się x oraz y): R:(XxY)  [0,1] obliczana Operator I może być typu (i) klasycznego - uogólnienie implikacji klasycznej, albo typu (ii) inżynierskiego – operacja przecięcia realizowana t-normą

 Niech A, A’ oraz B będą zbiorami rozmytymi (wartościami zmiennej lingwistycznej) w przestrzeniach rozważań X, X oraz Y, odpowiednio. Załóżmy, że implikacja rozmyta A  B jest dana relacją rozmytą R określoną na X x Y. Wówczas zbiór rozmyty B’ indukowany przez fakt „x jest A’ ” oraz regułę „jeżeli x jest A to y jest B” jest określony przez funkcję przynależności: lub równoważnie:

Możliwe realizacje:  Podejście formalne oparte o relacje rozmyte  Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdaniego Ograniczymy się w tym przedmiocie do podejścia uproszczonego – wnioskowania Mamdaniego

Ebrahim MAMDANI Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London

Wnioskowanie Mamdani’ego 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł przez fakt: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia (wniosku) dla każdej z reguł: 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia:

Wnioskowanie Mamdani’ego – ilustracja

Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Tablice funkcji przynależności: Przesłanek Konkluzji Wartość lingwistyczna Element dziedziny 1 2 3 Low 1.0 0.6 0.0 OK 0.4 High 0.1 Wartość lingwistyczna Element dziedziny 25 50 75 100 Low 1.0 0.6 0.0 High 0.3 0.9

Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł: Zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie)

Procedura wnioskowania Mamdani’ego 1. Obliczenie stopnia spełnienia przesłanek Wybieramy t-normę MIN dla obliczania stopnie spełnienia przesłanek

2. Obliczenie zbiorów rozmytych wyjścia (wniosków) dla poszczególnych reguł: Wybieramy t-normę MIN dla obliczania zbiorów rozmytych wyjścia każdej z reguł

3. Zagregowanie zbiorów rozmytych wyjścia: Max Uzyskany wynik Approximately Low

Przykład – ponownie, model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł:

Niech zbiór rozmyty wejścia - singleton R1: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R2: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R3: stopień spełnienia przesłanki równy zeru

Agregacja zbioru rozmytego wyjścia Jakiego poziomu cieczy można się spodziewać? Wynik wnioskowania rozmytego B’ jest zbiorem rozmytym ! Jeżeli występuje wymaganie, aby wyjście systemu rozmytego był ostrą liczbą, wyjściowy zbiór rozmyty musi być poddany wyostrzaniu - defuzyfikacji

Wyostrzanie - defuzyfikacja Defuzyfikacja zbioru rozmytego B’(y) (całościowej wynikowej funkcji przynależności zbioru reguł i faktu) to operacja określenia „ostrej” wartości y’ reprezentującej ten zbiór (w sposób jak najbardziej sensowny) Najbardziej znane metody defuzyfikacji:  metoda środka maksimum (SM) – Middle of Max (MOM), Mean of Maxima (MOM)  metoda pierwszego maksimum (PM) – Smallest of Max (SOM),  metoda ostatniego maksimum (OM) – Largest of Max (LOM)  metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG)  metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA)

Wyostrzanie - defuzyfikacja

Metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG) Metoda środka ciężkości (SC) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją

Metoda środka maksimum (SM) - Middle of Max (MOM) Metoda środka maksimum (SM) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y będącą wartością średnią wyjść dla których wynikowa funkcja przynależności osiąga maksimum

Metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA) Metoda środka sum (SS) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y spełniającą zależność gdzie:

Metoda środka ciężkości (COA, COG) stosowana jest we wnioskowaniu Mamdani’ego, czyli w podejściu uproszczonym Metoda środka maksimum (MOM) stosowana jest we wnioskowaniu opartym na podejście formalnym

Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Approximately Low