Wybrane modele rozmyte i schematy wnioskowania Model lingwistyczny Model lingwistyczny został wprowadzony jako sposób ujęcia wiedzy jakościowej eksperckiej w formie reguł IF-THEN x – zmienna lingwistyczna przesłanki/wejścia Xi – wartość zmiennej lingwistycznej przesłanki/wejścia y – zmienna lingwistyczna konkluzji/wyjścia Yi – wartość zmiennej lingwistycznej konkluzji/wyjścia
Zwykle wymaga się żeby zbiór określeń/wartości zmiennej lingwistycznej posiadał pewne właściwości – wymienimy teraz jedną: kompletność Kompletność. Kompletność oznacza, że każdy element przestrzeni rozważań jest przypisany do co najmniej jednego zbioru rozmytego z niezerowym stopniem przynależności Alternatywnie może być nakładane wymaganie nazywane -kompletnością
Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu gazu Wejście – x, natężenie dopływu tlenu O2, skalar Wyjście – y, moc grzejna, skalar Wartości lingwistyczne wejścia – T(x) = {Low, OK, High} Wartości lingwistyczne wyjścia – T(y) = {Low, High}
Przykład – model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku
Agregacja relacji Grafik/wykres rozmyty
Model lingwistyczny - wnioskowanie Wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza konkluzje w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia Wnioskowanie w systemie opartym o reguły rozmyte jest procesem opartym na złożeniowej zasadzie wnioskowania (Zadeh-1973)
Każda reguła może być rozważana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne występowanie określonych wartości x oraz y) z funkcją przynależności obliczaną z formuły (dla uproszczenia zapisu opuścimy dalej indeks i)
Operator I może być: implikacją rozmytą w sensie klasycznym implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) W modelu rozmytym Mamdani’ego stosowana jest implikacja rozmyta inżynierska Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani’ego (t-norma MIN) - implikacja Larsena (t-norma PROD)
Mechanizm wnioskowania oparty jest na uogólnionej regule modus ponens Mając regułę if-then oraz fakt x is A’ zbiór wyjściowy B’ jest wyliczany w oparciu o złożeniową zasadę wnioskowania
Uogólniona złożeniowa reguła wnioskowania Jeżeli A’ jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A’ i R oznaczone jako A’ R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B’(x,y) określoną wzorem: gdzie: A’ jest rozszerzeniem cylindrycznym A’ na przestrzeń X x Y
Wnioskowanie klasyczned - reguła Modus Ponens Reguła Modus Ponens (klasyczna): Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = A Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = A TO y = B Wniosek/conclusion y = B gdzie: A, B - zbiory rozmyte x, y – zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest dojrzały
Podstawą wnioskowania w rozmytej logice jest tautologia Uogólniony Modus Ponens: Przesłanka 1/premise 1 (fakt/fact) x = A’ Przesłanka 2/premise 2 (implikacja/implication) JEŚLI x = A TO y = B Wniosek/conclusion y = B’ gdzie: A’, B’ oznacza „bliski A”, „bliski B” odpowiednio A, A’, B, B’, - zbiory rozmyte x, y – zmienne lingwistyczne Przykład: Fakt: Pomidor jest prawie czerwony Reguła: Jeżeli pomidor jest czerwony to jest dojrzały Wniosek: Pomidor jest prawie dojrzały Skróty: Uogólniony Modus Ponens - UMP Generalised Modus Ponens - GMP
Wykorzystując złożeniową regułę wnioskowania można sformułować procedurę wnioskowania rozmytego Każda reguła IF-THEN może być traktowana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne pojawienie się x oraz y): R:(XxY) [0,1] obliczana Operator I może być typu (i) klasycznego - uogólnienie implikacji klasycznej, albo typu (ii) inżynierskiego – operacja przecięcia realizowana t-normą
Niech A, A’ oraz B będą zbiorami rozmytymi (wartościami zmiennej lingwistycznej) w przestrzeniach rozważań X, X oraz Y, odpowiednio. Załóżmy, że implikacja rozmyta A B jest dana relacją rozmytą R określoną na X x Y. Wówczas zbiór rozmyty B’ indukowany przez fakt „x jest A’ ” oraz regułę „jeżeli x jest A to y jest B” jest określony przez funkcję przynależności: lub równoważnie:
Możliwe realizacje: Podejście formalne oparte o relacje rozmyte Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdaniego Ograniczymy się w tym przedmiocie do podejścia uproszczonego – wnioskowania Mamdaniego
Ebrahim MAMDANI Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London
Wnioskowanie Mamdani’ego 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł przez fakt: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia (wniosku) dla każdej z reguł: 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia:
Wnioskowanie Mamdani’ego – ilustracja
Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Tablice funkcji przynależności: Przesłanek Konkluzji Wartość lingwistyczna Element dziedziny 1 2 3 Low 1.0 0.6 0.0 OK 0.4 High 0.1 Wartość lingwistyczna Element dziedziny 25 50 75 100 Low 1.0 0.6 0.0 High 0.3 0.9
Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł: Zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie)
Procedura wnioskowania Mamdani’ego 1. Obliczenie stopnia spełnienia przesłanek Wybieramy t-normę MIN dla obliczania stopnie spełnienia przesłanek
2. Obliczenie zbiorów rozmytych wyjścia (wniosków) dla poszczególnych reguł: Wybieramy t-normę MIN dla obliczania zbiorów rozmytych wyjścia każdej z reguł
3. Zagregowanie zbiorów rozmytych wyjścia: Max Uzyskany wynik Approximately Low
Przykład – ponownie, model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł:
Niech zbiór rozmyty wejścia - singleton R1: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R2: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R3: stopień spełnienia przesłanki równy zeru
Agregacja zbioru rozmytego wyjścia Jakiego poziomu cieczy można się spodziewać? Wynik wnioskowania rozmytego B’ jest zbiorem rozmytym ! Jeżeli występuje wymaganie, aby wyjście systemu rozmytego był ostrą liczbą, wyjściowy zbiór rozmyty musi być poddany wyostrzaniu - defuzyfikacji
Wyostrzanie - defuzyfikacja Defuzyfikacja zbioru rozmytego B’(y) (całościowej wynikowej funkcji przynależności zbioru reguł i faktu) to operacja określenia „ostrej” wartości y’ reprezentującej ten zbiór (w sposób jak najbardziej sensowny) Najbardziej znane metody defuzyfikacji: metoda środka maksimum (SM) – Middle of Max (MOM), Mean of Maxima (MOM) metoda pierwszego maksimum (PM) – Smallest of Max (SOM), metoda ostatniego maksimum (OM) – Largest of Max (LOM) metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG) metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA)
Wyostrzanie - defuzyfikacja
Metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG) Metoda środka ciężkości (SC) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją
Metoda środka maksimum (SM) - Middle of Max (MOM) Metoda środka maksimum (SM) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y będącą wartością średnią wyjść dla których wynikowa funkcja przynależności osiąga maksimum
Metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA) Metoda środka sum (SS) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y spełniającą zależność gdzie:
Metoda środka ciężkości (COA, COG) stosowana jest we wnioskowaniu Mamdani’ego, czyli w podejściu uproszczonym Metoda środka maksimum (MOM) stosowana jest we wnioskowaniu opartym na podejście formalnym
Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Approximately Low