Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Budowa układu sterującego, poza znajomością celu, czyli pożądanego rezultatu oddziaływania na obiekt sterowany, wymaga posiadania wiedzy o: obiekcie sterowanym, aby móc przewidywać skutki sterowania w różnych warunkach ograniczeniach sterowania, które mogą wynikać z cech obiektu sterowanego lub z ograniczonych możliwości oddziaływania układu sterującego, wskaźniku dobroci/jakości sterowania, który pozwoli nam ocenić na ile dobre jest wskazane przez nas sterowanie

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 uświadamiane lub nawet nie uświadamiane reguły, którym podlega zachowanie obiektu, ustalone z doświadczenia i spisane w utrukturalizowany sposób reguły reakcji obiektu na określone bodźce w określonych warunkach ustalone w oparciu o wiedzę aprioryczną lub o doświadczenie zależności matematyczne pozwalające wyznaczać dla określonych warunków reakcje – odpowiedzi obiektu na określone bodźce – wymuszenia Wiedza o systemie/obiekcie sterowanym może być przedstawiona w rożnej postaci

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Propozycja kroków budowy modelu obiektu/systemu dynamicznego w oparciu o wiedzę aprioryczną Budowa modelu matematycznego, który będzie opisywał idealizowaną reprezentację obiektu Krok I: Dokładne określenie obiektu, który ma być modelowany i jego wyodrębnienie z otoczenia Krok II: Obmyślenie idealizowanej reprezentacji obiektu, której właściwości będą w dostatecznym stopniu zgodne w zakresie interesujących nas cech (wynikających m. in. z celów modelowania) z właściwościami obiektu rzeczywistego Krok III:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Krok I Wyodrębnienie obiektu Wyodrębnienie obiektu wyraża się wyborem wielkości wejściowych – tych wielkości, którymi otoczenie oddziałuje na obiekt oraz wielkości wyjściowych – tych wielkości, którymi obiekt oddziałuje na otoczenie Krok II Idealizowana reprezentacja Idealizowana reprezentacja obiektu powstaje poprzez przyjęcie szeregu założeń, które w modelowanym obiekcie rzeczywistym są spełnione w określonym stopniu

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Krok III Budowa modelu (struktury) Budowę modelu w oparciu o wiedzę aprioryczną przeprowadza się wykorzystując: (a)prawa zachowania lub inne podstawowe prawa o charakterze bilansowym (np. prawa Kirchhoffa, Newtona, zachowania masy, itd..) (b) zasadę najmniejszego działania, zwaną często zasadą Hamiltona

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Zmienne modelu dogodnie jest podzielić na zmienne: przepływu, naporu Zmienne przepływu są wielkościami, które wyrażają intensywność przepływu określonej wielkości przez element obiektu/systemu, bądź szybkość zmian w czasie określonej wielkości Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – prędkość liniowa wyrażona np. w metrach/sekundę lub prędkość kątowa wyrażona np. w radianach/sekundę; 2) W systemach elektrycznych – natężenie prądu wyrażone np. w amperach (kulombach/sekundę);

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Przykłady (c.d.): 3) W systemach płynowych – objętościowe natężenie przepływu wyrażone np. w metrach sześciennych/sekundę, lub masowe natężenie przepływu wyrażone w np. w kilogramach/sekundę; 4) W systemach cieplnych – natężenie przepływu ciepła wyrażone np. w joulach/sekundę

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – siła działająca na element wyrażona np. w niutonach; 2) W systemach elektrycznych – napięcie wyrażone np. w woltach; 3) W systemach płynowych – spadek ciśnienia wyrażony np. w pascalach 4) W systemach cieplnych – temperatura wyrażona np. w stopniach Celsjusza Zmienne naporu są wielkościami, które są miarą różnicy stanów określonej wielkości na dwóch końcach elementu obiektu/systemu, wyrażają napór jakiemu poddany jest element

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Budowa modelu obiektu/systemu w oparciu o prawa zachowania sprowadza się do: sformułowania zależności wyrażających warunki równowagi, lub zależności wyrażających warunki spójności Zależności równowagi są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i nazywane są czasem zależnościami dla węzłów lub zależnościami ciągłości (I prawo Kirchhoffa, równanie ciągłości strugi, równanie sił w węźle,...) Zależności spójności są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi naporu (II prawo Kirchhoffa, spadek ciśnienia na połączonych kolejno odcinkach rurociągu,...)

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Po wyprowadzeniu równań bilansowych rozwijamy (uszczegóławiamy) je przez uwzględnienie w nich zależności wiążących zmienne związane z poszczególnymi elementami systemu Zależności wiążące są zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i naporu dla każdego poszczególnego elementu systemu (np....)

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Przykład 1: obiekt - czwórnik RC Cel budowy modelu: ustalenie zależności wiążących napięcie wejściowe czwórnika z napięciem wyjściowym, przy nie obciążonym prądowo wyjściu czwórnika Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Zmienne obiektu: - spadku: u we (t), u wy (t), u R (t), u C (t), - wejście: u we (t) - naporu: i R (t), i C (t), i obc (t), - wyjście: u wy (t),

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek spójności - II prawo Kirchhoffa dla wejściowego oczka: Uwzględnienie założeń: Założenie:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Uwzględnienie tożsamości (więzów): Wypisanie zależności wiążących dla elementów czwórnika:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Podstawienia – wykorzystanie założeń, tożsamości i zależności wiążących:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Przy ustalaniu warunków początkowych przydatne wskazówki Przypomnijmy zależności wiążące wartości napięcia i prądu na podstawowych elementach układów elektrycznych - możliwa skokowa zmiana prądu - możliwa skokowa zmiana napięcia - możliwa skokowa zmiana prądu - niemożliwa skokowa zmiana napięcia

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 - możliwa skokowa zmiana napięcia - niemożliwa skokowa zmiana prądu W naszym przykładzie: Jeżeli przed załączeniem wyłącznika to ponieważ to

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 1: Struktura modelu

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Cel budowy modelu: ustalenie zależności wiążących napięcie wejściowe obwodu z prądem płynącym przez cewkę indukcyjną Przykład 2: obiekt – obwód RL

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Zmienne obiektu: - spadku: u we (t), u wy (t), u R (t), u L (t), - wejście: u we (t) - naporu: i R (t), i L (t) - wyjście: i L (t), Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek spójności - II prawo Kirchhoffa dla wejściowego oczka: Uwzględnienie tożsamości (więzów):

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Wypisanie zależności wiążących dla elementów obwodu: Podstawienia – wykorzystanie tożsamości i zależności wiążących:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 2: Struktura modelu

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Wniosek z przykładów 1 i 2: Różne układy elektryczne - taka sama struktura modeli – równań różniczkowych MnMn MoMo Przykład 3: obiekt – wirnik silnika elektrycznego

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek równowagi - II prawo Newtona dla ruchu obrotowego: M B - moment dAlemberta (bezwładności) określony wzorem

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Zależności wiążące: - przyjmując założenie upraszczające, że obwody magnetyczne silnika pracują w zakresie liniowych części charakterystyk magnesowania G – indukcyjność rotacji silnika i w – prąd obwodu wzbudzenia silnika i t – prąd obwodu twornika silnika - przyjmując założenie, że prąd wzbudzenia silnika utrzymywany jest na stałej wartości K w – stała elektromechaniczna obwodu wzbudzenia

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 - przyjmując założenie, że na moment oporowy składają się opory wewnętrzne silnika oraz zewnętrzny moment oporowy M ow – moment oporowy wewnętrzny M oz – moment oporowy zewnętrzny D – współczynnik tarcia wewnętrznego (lepkiego) - przyjmując założenie, że moment oporowy zewnętrzny jest pomijalnie mały

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 Podstawienia – wykorzystanie założeń i zależności wiążących:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 3: Struktura modelu

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Wniosek z przykładów 1 i 2 oraz 3 Różne natura fizyczna układów - taka sama struktura modeli – równań różniczkowych Jeżeli założenie, że moment oporowy zewnętrzny jest pomijalnie mały, nie może być przyjęte Przykład 4: obiekt – wirnik silnika elektrycznego, moment obciążenia niepomijalny

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Podstawienia – wykorzystanie założeń i zależności wiążących:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 4: Struktura modelu

Podstawy automatyki 2011/2012Dynamika obiektów – modele Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż.; Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Połączmy wyniki uzyskane w przykładach 2, 3 oraz 4, wykorzystajmy naszą wiedzę aprioryczną o procesach w silniku prądu stałego i zbudujmy jego model (przy określonych założeniach) – następny wykład Spostrzeżenie z przykładu 4 Dwa rodzaje wejść – wejście na które możemy mieć wpływ, i t – sterowanie oraz wejście na które wpływu nie mamy, M oz - zakłócenie