(Gimnazjum nr 7 im. Adama Mickiewicza w Poznaniu) Twierdzenia i pojęcia geometryczne oraz ich ilustracja za pomocą fotografii Opracowały grupy 98/64_MF_G1 (Gimnazjum Nr 7 im. Sybiraków w Szczecinie) oraz 98/89_MF_G1 (Gimnazjum nr 7 im. Adama Mickiewicza w Poznaniu)

Kąt środkowy Definicja Przykłady Kąt środkowy – kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona wyznaczone są przez wychodzące z niego promienie. Przykłady Kawałek sera Wykres kołowy Pac Man Kawałki pizzy Talerzyk

Wielokąty przystające i podobne Puzzle to też wielokąty przystające Wielokąty przystające Wielokąty podobne Figura z całości składająca się z wielokątów podobnych Trójkąt Sierpińskiego

Rzuty figur przestrzennych na płaszczyznę

Pary figur symetrycznych Odbicie w lustrze Para figur symetrycznych Odbicie w wodzie

Figury, które mają oś symetrii Tadż Mahal Latarnia Petronas Towers Wieża Eiffla

Figury, które mają środek symetrii London Eye Kopuła Gwiazda Dawida Koło ratunkowe

Pary figur symetrycznych względem prostej i punktu

Oś symetrii Przykłady figur z jedną osią symetrii: -trójkąt równoramienny -trapez równoramienny -deltoid   Przykłady figur z dwiema osiami symetrii: -odcinek -prostokąt -romb Przykład figury z trzema osiami symetrii: -trójkąt równoboczny Przykład figury z czterema osiami symetrii: -kwadrat Przykłady figur z nieskończoną osią symetrii: -okrąg -koło Przykład figur bez osi symetrii: -równoległobok Oś symetrii figury, jest prostą, względem, której ta figura jest do siebie osiowo symetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części. Środek symetrii figury jest punktem, względem którego ta figura jest do siebie środkowo symetryczna. Figura obrócona o 180o wokół swego środka symetrii nałoży się na siebie.

Oś symetrii i środek symetrii

Graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe

Wielokąt foremny   Wielokąt foremny - to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków jest trójkąt równoboczny. Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.

Wielokąty foremne

* Długości okręgu i łuku okręgu Przykłady obliczeń w zakresie: * Długości okręgu i łuku okręgu * Pola koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego * Pole i obwód trójkątów i czworokątów

Zadanie 1: Oblicz pola poszczególnych kół: Nakrętki od kleju Gumki koła na Sali gimnastycznej a) Dane: średnica (d) = 2,9 cm P = πr2 P = π1,452 = π2,1025 = 3,14 * 2,1025 = 6,60185 [cm2] Zadanie 2: Oblicz pole powierzchni korytarza szkolnego oraz płytki podłogowej. Ile płytek zmieści się na całej powierzchni korytarza? Dane: a1 = 56 m = 5600 cm b1 = 5,8 m = 580 cm a2 = 30 cm P1 = a1 * b1 – pole korytarza P2 = a22 – pole płytki podłogowej P1 = 5600 * 580 = 3248000 [cm2] P2 = 302 = 900 [cm2] P1 : P2 = 3248000 : 900 = 3608,8 b) Dane: średnia (d) = 1,6 cm P = π0,82 = π0,64 = 3,14 * 0,64 = 2.0096 [cm2] c) Dane: średnica (d) = 160 cm P = π802 = π6400 = 3,14 * 6400 = 20096 [cm2]

Zadanie 4: Oblicz pole koła i długość okręgu: a) krążka, b) nakrętki od surówki, c) zegara, d) kapsla. a) d = 6 cm P = 32 * 3,14 = 9 * 3,14 = 28,26 cm2 l = 6 * 3,14 = 18,84 cm b) r = 6 cm P = 62 * 3,14 = 36 * 3,14 = 113,04 cm2 l = 12 * 3,14 = 37,68 cm c) d = 20 cm P = 102 * 3,14 = 100 * 3,14 = 314 cm2 l = 20 * 3,14 = 62,8 cm d) d = 2,5cm P = 1,252 * 3,14 = 1,5625 * 3,14 = 4,90625 cm2 l = 2,5 * 3,14 = 7,85 cm Zadanie 3: Oblicz pole elementu ławki szkolnej w kształcie trapezu prostokątnego. Dane: a = 10 cm b = 5 cm h = 7,5 cm P = (a+b)h /2 P=

Zadanie 6: Oblicz pole i obwód trójkąta: a) piramidy żywieniowej, b) wysokiego napięcia. a) P = a*h/2 a=13 cm h= 20 cm P= O = a + b + c a = 23 cm b = 23 cm c = 13 cm Zadanie 5: Oblicz pole pierścienia: a) zegara, b) płyty. a) r1 = 10 cm P1 = 102 * 3,14 = 314 cm2 r2 = 9 cm P2 = 92 * 3,14 = 81 * 3,14 = 254,34 cm2 P1 – P2 = 314 – 254,34 = 59,66 cm2 b) r1 = 6 cm P1 = 62 * 3,14 = 36 * 3,14 = 113,04 cm2 r2 = 0,75 cm P2 = 0,752 * 3,14 = 0,5625 * 3,14 = 1,76625 cm2 P1 – P2 = 113,04 – 1,76625 = 111,27375 cm2 O = 23 + 23 + 13 = 59 cm b=a*h/2 a= 6cm h= 5,5cm P= 16,5 O = a + b + c a = 6 cm b = 6 cm c = 6 cm O=6+6+6=18

Dwusieczna kąta

Symetralna odcinka

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg wpisany w trójkąt

Przykład 1 Narysuj kwadrat o boku 2cm i jedną z jego przekątnych Przykład 1 Narysuj kwadrat o boku 2cm i jedną z jego przekątnych. Na jakie trójkąty został podzielony ten kwadrat?

Kwadrat o boku długości a Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przekątnej kwadratu: d² = a² + a² d² = 2a² d = a√2 45° d= a√2 a a ● 45° a

Przykład 2 Narysuj trójkąt równoboczny o boku długości 10cm oraz jedną z jego wysokości. Otrzymasz w ten sposób dwa przystające trójkąty. Jakie kąty mają otrzymane trójkąty? Jakie zależności łączą boki każdego z tych trójkątów?

2a 2a h= a√3 a 2a Trójkąt równoboczny o bokach długości 2a 60° Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość trzeciego boku trójkąta: h² = (2a)² - a² h² = 4a² - a² h² = 3a² h = a√3 30° 2a 2a h= a√3 60° ● 60° a 2a

Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 60° Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 60°. Oblicz pole powierzchni i obwód tego trójkąta, jeżeli: A. Krótsza przyprostokątna ma długość 8cm B. Dłuższa przyprostokątna ma długość 8cm C. Przeciwprostokątna ma długość 8cm

Zadanie 2 W prostokącie przekątne przecinają się pod kątem 120° Zadanie 2 W prostokącie przekątne przecinają się pod kątem 120°. Oblicz pole powierzchni i obwód tego prostokąta, jeżeli jego dłuższy bok ma długość 26cm. Zadanie 3 Kąt ostry rombu ma 60°, a dłuższa przekątna ma długość 14cm. Oblicz długość boku tego rombu. Zadanie 4 Oblicz obwód trapezu prostokątnego, w którym krótsza podstawa ma 6cm, dłuższe ramię 8cm, zaś kąt ostry ma 60°.

Cechy przystawania trójkątów

Przystawanie trójkątów bok – bok – bok odpowiednie boki trójkątów są równe bok – kąt – bok odpowiednie dwa boki trójkątów są równe i kąt między nimi kąt – bok – kąt odpowiednie dwa kąty trójkątów są równe i bok do nich przyległy

Zadania

1. Czy narysowane trójkąty są przystające 1. Czy narysowane trójkąty są przystające? Na podstawie jakiej cechy przystawania trójkątów? Tak, na mocy cechy bkb

2. Wskaż wszystkie pary trójkątów przystających oraz podaj cechę, z której wynika przystawanie. A i C na mocy cechy bkb

3. Narysowane trójkąty: są przystające na mocy cechy bbb

4. Narysowane trójkąty: są przystające na mocy cechy kbk

Dostrzeganie związków Dwa punkty wyznaczają prostą. Na prostej znajduje się nieskończenie wiele punktów, a na płaszczyźnie nieskończenie wiele prostych. Rozpatrzmy dwie dowolne proste przecięte trzecią prostą. Zauważmy, że proste te tworzą kąty. Kąty nazywamy kątami odpowiadającymi. Kąty nazywamy kątami naprzemianległymi, przy czym: Kąty nazywamy kątami naprzemianległymi wewnętrznymi a kąty kątami naprzemianległymi zewnętrznymi.

Przypomnijmy, że możemy tu wskazać również: kąty wierzchołkowe, np.: i kąty przyległe, np.: , gdzie

Dla W przypadku szczególnym, gdy dwie z rozważanych prostych są równoległe, np. to zachodzą pewne prawidłowości dotyczące miar odpowiednich kątów. A mianowicie:   Kąty odpowiadające przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą są kątami równymi. Kąty naprzemianległe wewnętrzne przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą są kątami równymi. Kąty naprzemianległe zewnętrzne przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą są kątami równymi.

Dla i

i jako kąty odpowiadające

Dziękujemy za uwagę. Opracowały grupy 98/64_MF_G1 (Gimnazjum Nr 7 im. Sybiraków w Szczecinie) oraz 98/89_MF_G1 (Gimnazjum nr 7 im. Adama Mickiewicza w Poznaniu)