LICZBY W MATEMATYCE

COŚ O LICZBACH… Liczba pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego. Dawniej określano liczbą nie tylko ilość czegoś, co można było zobaczyć, ale też myśli,znaczenie ludzi,magiczne, święte siły.

LICZBY BLIŹNIACZE Liczbami bliźniaczymi nazywamy pary kolejnych liczb nieparzystych,będących liczbami pierwszymi,których różnica pomiędzy nimi wynosi 2. Pary liczb bliźniaczych przykłady: 3 i 5 5-3=2 5 i 7 7-5=2 11 i 13 13-11=2 17 i 19 19-17=2 59 i 61 61-59=2 71 i 73 73-71=2 Najciekawszą liczbą jest 5, ponieważ jest ona bliźniacza zarówno z liczbą 3 jak i z liczbą 7. Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych sugeruje, że istnieje ich nieskończenie wiele. Największymi znanymi dziś liczbami bliźniaczymi są:  16869987339975 · 2171960 - 1 oraz  16869987339975 · 2171960 + 1 Para powyższych liczb bliźniaczych została odkryta w 1995 roku przez naukowców z Padeborn University.

LICZBA DOSKONAŁA Liczba doskonała to taka liczba naturalna, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej. Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy. Pierwsza liczba doskonała to 6. D6 = { 1, 2, 3, 6 } 6 = 1 + 2 + 3 Druga liczba doskonała to 28.  D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 } 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. On też zauważył, że jeśli liczby p i 2p - 1 są pierwsze, to liczba postaci 2p-1(2p - 1) jest liczbą doskonałą. Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi.

LICZBY GNOMICZNE,LUSTRZANE Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n+1, które dodane do kwadratu liczby n dają kwadrat następnej liczby. n 2n+1 n^2 (n+1)^2 1 3 4 2 5 9 7 16 25 11 36 6 13 49 Liczby lustrzane liczby które są swoim lustrzanym odbiciem (tzn. takie których jedna powstaje przez zapisanie drugiej w odwrotnej kolejności). np. 54 i 45 12 i 21 13 i 31 321 i 123 4554 i 4554

Jednocyfrowe liczby automorficzne to: 0, 1, 5 i 6. Liczby automorficzne to takie liczby, których kwadrat kończy się tymi samymi cyframi, co sama liczba.  Liczby automorficzne w zapisie dziesiętnym z wyjątkiem 0,1 kończą się cyfrą 5 lub 6. Na przykład: 625*625=390625 76*76=5776 9376*9376=87909376 Jednocyfrowe liczby automorficzne to: 0, 1, 5 i 6. Pierwszych dwadzieścia liczb automorficznych możemy przedstawić w ciągu: 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625.

LICZBY PALINDROMICZNE Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: 57775, 626, 11111 741147 12345678987654321 Przykładem palindromu jest zdanie: Kobyła ma mały bok Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był Sotades (III w p.n.e.) z Maronei, twórca poezji frywolnej na dworze Ptolemeusza. Palindromy powstały jako zabawa słowna, choć niektóre z palindromów miały być czymś w rodzaju szyfru, może zaklęcia. Współczesnie palindrom to przede wszystkim rozrywka umysłowa. Ciekawostką matematyczną jest, że każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

LICZBY ARMSTRONGA(NARCYSTYCZNA) Liczba Armstronga to taka liczba naturalna, n-cyfrowa, której suma cyfr podniesionych do potęgi n jest równa tej liczbie. Istnieją dokładnie cztery liczby 3-narcystyczne:   Własności: Jeśli x jest liczbą narcystyczną, to Ponieważ dla to z powyższych nierówności wnioskuje się, że istnieje skończona ilość liczb Armstronga. Pokazano, że istnieje dokładnie 88 takich liczb. Największa liczba Armstronga składa się z 39 cyfr.

i. LICZBY UROJONE j związku z czym zapis Liczba urojona to liczba, która podniesiona do kwadratu daje wartość ujemną. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Gerolamo Cardano w XVI wieku, lecz nazwę nadał im Kartezjusz w 1637 roku. Nie zostały szerzej zaakceptowane aż do prac Eulera (1700–1783) i Gaussa (1777–1855). Każda liczba urojona może zostać zapisana jako   , gdzie: jest liczbą rzeczywistą, jest jednostką urojoną spełniającą zależność Należy pamiętać, że istnieją dwa pierwiastki spełniające tę równość oraz  związku z czym zapis jest niepoprawny. Dzięki liczbom urojonym można wyznaczyć pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej: W elektronice, elektrotechnice i pokrewnych dziedzinach, jednostka urojona jest często zapisywana jako w celu uniknięcia pomyłki z wartością chwilową prądu elektrycznego, tradycyjnie oznaczaną literą j i. W praktyce liczby urojone wykorzystuje się do rozwiązywania równań kwadratowych, które nie mają rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

KWATERNIONY(LICZBY ZESPOLONE) Liczby zespolone są to pary liczb rzeczywistych, dzięki którym możemy dowiedzieć się o geometrii płaszczyzny.  Słynny irlandzki matematyk William Rowan Hamilton (1805-1865) spędził sporo czasu na próbach zbudowania analogicznego systemu dla trójek liczb rzeczywistych, za pomocą którego chciał badać geometrię przestrzenną. Hamilton doszedł jednak do wniosku, że zamiast trzech współrzędnych należy wziąć cztery i zbudował nowy system liczb - liczby hiperzespolone, które nazwał kwaternionami. Te nowe liczby będące generalizacją liczb zespolonych, są definiowane przez cztery liczby rzeczywiste. Jedna z osi tego układu przedstawia liczby rzeczywiste, a trzy pozostałe - liczby urojone. Kwaternion to liczba postaci: q = a + bi + cj + dk, gdzie a to część skalrna, natomiast jego część urojona jest trójwymiarowym wektorem v = bi + cj + dk. Kwaterniony dodaje się w sposób oczywisty, ale do mnożenia należy stosować reguły Hamiltona: i2 = j2 = k2 = -1 ij = k, jk = i, ki = j ji = -k, kj = -i, ik = -j, przy czym należy pamiętać, że mnożenie kwaternionów Hamiltona nie jest przemienne. Spełniają jednak one prawa łączności i rozdzielności Odpowiednią miarą wielkości typowego kwaternionu a + bi + cj + dk jest jego miara a2 + b2 + c2 + d2.

LICZBY SFENICZNE Liczby sfeniczne to liczby naturalne, które są iloczynem trzech różnych liczb pierwszych. Wszystkie liczby sfeniczne mają dokładnie osiem dzielników, wynika to z stąd, że jeśli wyrazimy liczbę sfeniczną jako iloczyn liczb pierwszych n = p · q · r, wówczas zbiór dzielników liczby n będzie równy: {1, p, q, r, pq, pr, qr, n}.  Pierwszą liczbą sfeniczną jest 30 = 2 · 3 · 5 Przykłady liczb sfenicznych: 42 = 2 · 3 · 7  66 = 2 · 3 · 11  70 = 2 · 5 · 7  78 = 2 · 3 · 13 182 = 2 · 7 · 13  186 = 2 · 3 · 31  190 = 2 · 5 · 19  195 = 3 · 5 · 13  286 = 2 · 11 · 13  290 = 2 · 5 · 29   Największą znaną liczbą sfeniczną jest (243112609 − 1) × (242643801 − 1) × (237156667 − 1), czyli iloczyn trzech największych znanych liczb pierwszych.

LICZBA PI (LUDOLFINA) π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399…  Liczba π to stosunek długości dowolnego okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,14.  Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa. Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku. Pierwsze zapisy o liczbie pi sięgają ok. 2000 r.p.n.e(Babilończycy)  π≈3.  Niektóre wzory zawierające π: Datę święta liczby pi w Ameryce przypada 14 marca (data "14 marca" zapisywana jest w USA jako "3.14„) natomiast w Europie 22 lipca(europejski sposób zapisu daty 22/7 ≈ 3,1428). Tworzone są wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Pierwszym polskim wierszem tego typu jest wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku. objętość walca o wysokości H pole koła o promieniu r obwód okręgu o promieniu r Światowy potwierdzony rekord w zapamiętywaniu ciągu cyfr liczby ”pi” należy aktualnie do Japończyka Akiry Haraguchi, który podał ją z dokładnością do 100 tysięcy miejsc po przecinku bijąc własny rekord 83 431 cyfr po przecinku z roku 1995. powierzchnia kuli o promieniu r

. LICZBA ZERO Liczba zero to element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną. Pierwszy raz symbol ten został użyty przez  matematyków hinduskich jako oznaczenie braku czegoś. W większości kalendarzy nie ma roku zerowego. Rok przed 1 rokiem naszej ery nazywany jest 1 rokiem przed naszą erą. Nazwa "zero" o podobnym brzmieniu w większości języków europejskich pochodzi od arabskiego słowa "sifr" co oznacza pustka.  Własności liczby rzeczywistej zero: Wynik dzielenia przez zero jest nieokreślony: definicja dzielenia wymaga, aby dzielnik był różny od zera. Zgodnie z definicją potęgowania rzeczywista liczba dodatnia podniesiona do potęgi zero daje jeden: Wartość   jest w zależności od przyjętej konwencji – niezdefiniowana lub też równa 1. Logarytm przy dowolnej większej od zera podstawie z jedności jest równy zero: Zero symbolizuje nicość i bezwartościowość. W odniesieniu do szeregu liczb – symbolizuje też początek.

LICZBY TRÓJKĄTNE Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: wyrażające ilość jednakowych krążków potrzebnych do zbudowania trójkąta równobocznego o boku złożonym z n krążków i występujące we wzorze zwanym dwumianem Newtona. Początkowe liczby trójkątne:  1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, ... Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej. Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich  n - 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Oznaczmy przez Tn liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tę nazwano liczbą trójkątną. Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki.

LICZBY PRZESTĘPNE Liczby przestępne liczby rzeczywiste nie spełniające żadnego równania algebraicznego o całkowitych współczynnikach (pozostałe liczby rzeczywiste są liczbami algebraicznymi). Przykłady liczb przestępnych: „pi ”- udowodnił to Ferdinand Lindemann w 1882 „e” - udowodnił to Charles Hermite w 1873 oraz każda liczba postaci ab, gdzie a jest liczbą algebraiczną różną od 0 lub 1, b zaś jest liczbą niewymierną, ale algebraiczną. Istnienie liczb przestępnych udowodnił francuski matematyk Joseph Liouville w 1844 roku.  Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest zbiorem mocy continuum. 

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE Liczbami względnie pierwszymi nazywamy liczby, których największym wspólnym dzielnikiem jest 1. Oznacza to, że żadna liczba naturalna większa od 1 nie dzieli jednocześnie tych liczb. Rozkłady na czynniki pierwsze liczb względnie pierwszych wyróżniają się brakiem dzielników pierwszych wspólnych dla wszystkich liczb. Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb względnie pierwszych jest ich iloczyn.  Każde dwie kolejne liczby naturalne są względnie pierwsze. Każde dwie liczby parzyste nie są względnie pierwsze. Przykłady: 15 = 3 · 5 28 = 2 · 2 · 7 wspólne czynniki: brak NWD(15, 28) = 1 Liczby 15 i 28 są względnie pierwsze. 25 = 5 · 5 27 = 3 · 3 · 3 wspólne czynniki: brak NWD(25, 27) = 1 Liczby 25 i 27 są względnie pierwsze. 15 = 3 · 5 16 = 2 · 2 · 2 · 2 wspólne czynniki: brak NWD(15, 16) = 1 Liczby 15 i 16 są względnie pierwsze.

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników). Przykłady liczb zaprzyjaźnionych: 220 i 284 1184 i 1210 2620 i 2924 141664 i 153176 142310 i 168730 171856 i 176336 1511930 i 1598470 Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284) 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220) Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurra'ę ok. roku 850. Dzisiaj znanych jest już prawie 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, których składniki potrafią być rzędu 109. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości.

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ Klaudia Brejza kl.IIa ZSO im.Jana Pawła II w Pawłowicach