Zastosowanie rzutu środkowego na przykładzie zdjęć

Wstęp Nauka o rzucie środkowym, zwana perspektywą, zajmuje się odwzorowaniem znajdujących się w trójwymiarowej przestrzeni utworów geometrycznych na dowolnie ustawioną płaszczyznę zwaną tłem ( bądź też płaszczyzną tłową) oraz procesem odwrotnym, tj. odtwarzaniem rzeczywistych kształtów tych utworów na podstawie ich rzutów. W przypadku restytucji elementem wyjściowym jest obraz perspektywiczny, a elementem wtórnym sam przedmiot.

Zadania restytucji są rozległe. Może ona być stosowana m. in Zadania restytucji są rozległe. Może ona być stosowana m.in. przy inwentaryzacji, renowacji czy restauracji obiektów. Pewne możliwości restytucji uwidaczniają się przy odtwarzaniu rzeczywistych wymiarów elewacji budynków.

Podstawowe elementy perspektywy Pojęcia ogólne Podstawowe elementy perspektywy W ogólnym przypadku podstawowymi elementami, które określają perspektywę, są: środek rzutów S oraz płaszczyzna rzutowania π nie zawierająca środka rzutów S, zwana płaszczyzną tłową bądź tłem. Rzut środka rzutów S na płaszczyznę tłową π nazywamy punktem głównym perspektywy. π ----Punkt główny perspektywy Sπ Środek rzutów -- S Tło --

Podstawowe elementy perspektywy Przy przyjętym na rysunku układzie perspektywy obrazem perspektywicznym odcinka AB będzie jego rzut A’B’, który powstaje przez przebicie płaszczyzny tłowej π promieniami rzutującymi sa i sb przechodzącymi przez środek rzutów S i końce odcinka AB. B Sa π B’ S A’ Sb A

Kąt widzenia Istotną rolę spełnia odległość środka rzutów S od obserwowanego przedmiotu, a także miejsce, w którym ustawiamy miedzy nimi płaszczyznę tłową π. Z zagadnieniem tym jest związany tzw. kąt widzenia , który tworzą skrajne promienie rzutujące sk i si łączące środek rzutów S z punktami KL odcinka.

Kąt widzenia K K S L L  - kąt widzenia Sk Sk 1 2 Sl Przy bliższym położeniu odcinka KL względem środka rzutów S kąt  jest większy, a przy położeniu dalszym kąt  jest mniejszy. Dla zapewnienia doznania wrażeń zbliżonych do naturalnej obserwacji przedmiotów wielkości kąta  powinna być dostosowana do właściwości naszego wzroku.

Głębokość tłowa Przesuwanie równoległe płaszczyzny tłowej π względem środka rzutów S nie powoduje zmiany kąta widzenia i nie wpływa też na zachwianie proporcji obrazu. Dla ustalenia położenia płaszczyzny tłowej między środkiem rzutów i odwzorowywanym przedmiotem nie ma określonych „recept”, może ono być uwarunkowane co najwyżej celem, dla którego zamierzamy odwzorować dany przedmiot.

Głębokość tłowa K π 1 K’ π 1 K’ L’ S L’ L M’ M’ M  Dla celów poglądowych skala obrazu może być mniejsza, a zatem i odległość płaszczyzny tłowej od środka rzutów też może być mniejsza. Dla celów dokumentacyjnych, dla których jest wymagana większa skala rysunku, odległość ta powinna być większa (tło powinno być bardziej zbliżone do przedmiotu).

Okrąg głębokości tłowej Mając wyznaczone położenie punktu głównego Sπ zataczamy z niego na płaszczyźnie π okrąg k, o promieniu  równym głębokości tłowej. Okrąg k będziemy nazywać okręgiem oddalenia lub okręgiem głębokości tłowej. π k Sπ 

Elementy bazowe perspektywy Można odtworzyć właściwe położenie środka rzutów S znając położenie punktu głównego Sπ. A zatem podstawowe elementy bazowe perspektywy to: Sπ - punkt główny perspektywy s – promień główny  - głębokość tłowa k – okrąg oddalenia

Elementy bazowe perspektywy π π k k s Sπ Sπ    S Sπ - punkt główny perspektywy, s – promień główny,  - głębokość tłowa, k – okrąg oddalenia W praktyce, przy wykreślnych metodach odwzorowań, płaszczyznę tłową π zastępujemy arkuszem papieru, na którym utrwalamy położenie punktu głównego S i okręgu oddalenia k.

Niezmienniki rzutu środkowego Właściwości obiektu w trójwymiarowej przestrzeni różnią się od jego rzutu na płaszczyznę, niektóre jednak właściwości obiektu nie zmieniają się przy rzutowaniu, nazywają się wiec niezmiennikami. współliniowość punktów niezmienniczość dwustosunku czwórki punktów leżących na jednej prostej równość kąta o ramionach równoległych do płaszczyzny tłowej π

Współliniowość punktów wyraża się tym, że rzutem środkowym prostej l jest prosta l’. l’ =k l π C k C’  Sπ B’ S B A=A’

Dwustosunek czwórki punktów ABCD leżących na dowolnej prostej l i ich rzutów A’B’C’D’ na płaszczyznę tłową  jest równy : l l’ D π k D’ C C’ Sπ B’ S B A’ A

Równość kąta o ramionach równoległych do płaszczyzny tłowej π. Kąt, którego ramiona a i b są równoległe do płaszczyzny tłowej π jest równy kątowi jakie tworzą rzuty środkowe a’b’ ramion a i b na płaszczyznę tłową π. A π b’ a’ a//  k ’= b//   A’ Sπ S C’ C E’ B’ E D’ B D

Rzut punktu Rzutem środkowym punktów przestrzeni za wyjątkiem tych, które leżą na płaszczyźnie zniknienia, tj. na płaszczyźnie  przechodzącej przez środek rzutów S i równoległej do π są punkty właściwe. Natomiast rzutem środkowym wszystkich punktów leżących na płaszczyźnie zniknienia  są punkty niewłaściwe. π  k Sπ ∞ S A A

Rzut punktu π k Sπ S sb B’ B Na podstawie rzutu samego punktu nie możemy restytuować jego położenia przestrzennego. Wszystkie bowiem punkty, które leżą na promieniu rzutującym ten punkt, będą rzutować się na płaszczyznę tłową na siebie. Dlatego też przy odwzorowaniu perspektywicznym punktów należy zawsze wiązać je z prostymi.

Rzut prostej Rzutem środkowym prostej może być prosta lub punkt. Jeżeli weźmiemy pod uwagę prostą l nie leżącą na płaszczyźnie zniknienia , to jej rzutem środkowym na płaszczyznę tłową będzie prosta l’, którą łatwo znajdziemy obierając na prostej l dwa dowolne punkty A i B i wyznaczając ich rzuty A’ i B’. Rzut l’ prostej l określamy za pomocą: Zl i Tl , gdzie: Tl – ślad tłowy, czyli punkt przebicia płaszczyzny π prostą l, Zl – ślad zbiegu prostej, utożsamiany z jej punktem niewłaściwym powiązanym z kierunkiem tej prostej.

Rzut prostej Dowolna prosta Zl l’ π k Zl lz Zl Zl Sπ Sπ S l’ Tl Tl l Ślad zbiegu Zl i ślad tłowy Tl prostej l wyznaczają rzut prostej. Rzutem prostej l zawierającej środek rzutów S jest punkt l’, w którym prosta przebija płaszczyznę tłową.

Prosta leżąca na płaszczyźnie zniknienia nie posiada swojego rzutu. π A  k k l’ Sπ l S Sπ B B Prosta leżąca na płaszczyźnie zniknienia nie posiada swojego rzutu.

Proste równoległe Proste l i m wzajemnie równoległe mają wspólny punkt niewłaściwy Z. Zatem proste równoległe l i m będą miały na płaszczyźnie tłowej wspólny ślad zbiegu. Zl=Zm k Sπ Tl Tm l’ m’ π k Sπ l’ S Zl=Zm l m Tl Tm m’

Rzut płaszczyzny Jeżeli płaszczyzna nie zawiera środka rzutów, to jej rzutem jest cała płaszczyzna tłowa. Dla jednoznacznego i jednocześnie odwracalnego sposobu odwzorowania płaszczyzny będziemy posługiwać się tylko charakterystycznymi jej elementami. Będą to: - krawędź przecięcia płaszczyzny α z płaszczyzną tłową π, którą będziemy nazywać śladem tłowym tα płaszczyzny α, - krawędź przecięcia płaszczyzny tłowej π z płaszczyzną zbiegu α¯ poprowadzoną równolegle do płaszczyzny α i przechodzącą przez środek rzutów S; krawędź tę będziemy nazywać śladem zbiegu zα płaszczyzny α.

Rzut płaszczyzny Sπ k zα tα π S Sπ α¯ α tα zα

Prosta prostopadła do płaszczyzny k(π,ε) π S L ε α¯ Sπ p¯ Zp zα k(ε, α¯)

π α¯ α k1 R Sπ L S A A° l’ Tl Zl l¯ l°¯ l l° S° ε φ φ° φ°¯ φ¯ k(π,ε)

zα tα S° l°¯ Sπ R¯ a’ b’ k(π,ε) A° B° l° b b° a a° S¯ k1 k B’ A’ a°¯ Za Zb Zl Ta Tb Tl zα tα l’

So Za L M Sπ B’ A’ zα tα S¯ Ta Ao Bo ao A¯ B¯ Punkt mierzenia

Natomiast w fotografii mamy sytuację nieco inną (b): Przy wykreślnych metodach rzutowania środkowego płaszczyznę tłową π zawsze ustawiamy po stronie odwzorowywanego przedmiotu (przed lub za przedmiotem). W takim ustawieniu płaszczyzny tłowej uzyskiwany obraz figury płaskiej nie jest odwrócony do oryginału (a). Natomiast w fotografii mamy sytuację nieco inną (b): A C B A’ C’ B’ S π1 π a b

Perspektywa pionowa Cechą charakterystyczną pionowego układu perspektywy jest to, że proste prostopadłe do płaszczyzny podstawy mają niewłaściwy ślad zbiegu, a więc ich rzuty zachowują wzajemną równoległość i są jednocześnie prostopadłe do linii horyzontu h oraz do linii podstawy p. k p h Sπ hp Linia horyzontu h – jako ślad zbiegu płaszczyzny podstawy h  Sπ Linia podstawy p jako ślad tłowy Płaszczyzny podstawy Wysokość linii horyzontu hp

Proste prostopadłe do płaszczyzny tłowej mają wspólny ślad zbiegu pokrywający się z punktem głównym Sπ perspektywy, a punkty mierzenia M tych prostych znajdują się w miejscach przecięcia się linii horyzontu h z okręgiem głębokości tłowej k. k M Sπ M h

Proste poziome równoległe do płaszczyzny tłowej π mają niewłaściwy ślad zbiegu i ślad tłowy oraz rzutują się równolegle do linii podstawy p i horyzontu h. Wszystkie inne proste poziome mają ślady zbiegu na linii horyzontu.

Perspektywa pionowa S° b h p a k Sπ M2 M1 Z2 Z1 A

PRZYKŁADY PERSPEKTYWY

Prezentację przygotował Kamil Kowalczyk, jako załącznik do pracy magisterskiej pt. „Zastosowanie rzutu środkowego na przykładzie zdjęć” Autor serdecznie dziękuje Pani dr Renacie Jędryczce za pomoc merytoryczną i cenne uwagi podczas pisania pracy oraz w przygotowywaniu prezentacji. Uniwersytet Warmińsko-Mazurski Wydział Geodezji i Gospodarki Przestrzennej Olsztyn 2001