Dane INFORMACYJNE: Nazwa szkoły: LO im. B. Krzywoustego w Kamieniu Pomorskim ID grupy: 97_29_mf_g2 Opiekun: Jarosław Boboryko Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: „Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa” Semestr/rok szkolny: IV/ 2011-2012

CEL realizacji I praca nad projektem… To kolejny temat, który realizowaliśmy w ramach projektu „As – Kompetencji”. Podjęliśmy się jego realizacji, ponieważ chcieliśmy się dobrze przygotować do zapowiadanych programem nauczania - podobno niełatwych - lekcji z rachunku prawdopodobieństwa. Chcieliśmy, aby zdobyta tutaj wiedza i umiejętności pozwoliły na swobodne przebrnięcie przez ten dział matematyki i sprawiła, że staniemy się wśród rówieśnikiem ekspertami w tej tematyce.

… CEL realizacji I praca nad projektem … Teraz, gdy kończymy pracę nad tym tematem, na lekcjach matematyki zaczynamy rachunek prawdopodobieństwa. Nie mamy żadnych obaw z nim związanych. Duża liczba rozpatrzonych, a także wymyślanych samodzielnie przykładów użycia kombinatoryki na zajęciach „Asa”, daje nam komfort swobodnego uczestniczenia na tych lekcjach.

… CEL realizacji I praca nad projektem Tworząc tą prezentację zaangażowaliśmy się bardzo w rozwiązywanie różnych zadań związanych z tematem i (po zdobyciu pewnego doświadczenia) opracowaniem nowych – naszych autorskich. W związku z tym, prezentację ograniczyliśmy do pojęć najbardziej naszym zdaniem użytecznych dla ucznia szkoły ponadgimnazjalnej. W układaniu zadań narzuciliśmy sobie ograniczenie, aby każde z nich w jakiś sposób dotyczyło Mistrzostw Europy w piłce nożnej. Chcielibyśmy, aby prezentacja posłużyła naszym koleżankom i kolegom lepszemu zrozumieniu i nauczeniu się zasad kombinatoryki. Mamy nadzieję, że kibice piłki nożnej znajdą w niej odpowiedź na niejedno pytanie, które być może będą sobie zadawali podczas oglądania turnieju EURO 2012.

„Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa”

rachunek prawdopodobieństwa (probabilistyka)… To dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Matematyczna teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeniami do analizy gier losowych podjętej w siedemnastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się niemal wyłącznie zjawiskami dyskretnymi i używała metod kombinatorycznych. Za początek stworzenia współczesnej teorii prawdopodobieństwa powszechnie uważa się jej aksjomatyzację, której w 1933 dokonał Andriej Kołmogorow. Współczesna teoria prawdopodobieństwa jest ściśle związana z teorią miary.

…rachunek prawdopodobieństwa W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa spotykamy się najczęściej z takimi doświadczeniami losowymi, w których zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony, a wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne; wówczas stosujemy klasyczna definicję prawdopodobieństwa Do stosowania tego wzoru potrzebna jest umiejętność obliczania liczebności zbiorów. Tutaj w sukurs idzie dziedzina matematyki stworzona na te potrzeby – KOMBINATORYKA.

KOMBINATORYKA To teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych. Poza tym znajduje zastosowanie w teorii grafów, teorii informacji i innych działach matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej.

Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka … Zbiór {x1 , x2, ..., xn} oznacza zbiór o elementach x1 , x2, ..., xn. Każdy zbiór nie zawiera dwóch identycznych elementów, to znaczy każdy element traktujemy tak, jakby występował tylko jeden raz, a kolejność elementów zbioru nie odgrywa roli. Multizbiór - to zbiór, który może zawierać elementy identyczne, a więc każdy z różnych elementów multizbioru może występować więcej niż jeden raz. Ciąg (a1 , a2, ..., an) oznacza ciąg o wyrazach a1 , a2, ..., an. Kolejność ustawienia wyrazów w ciągu jest bardzo ważna. Zmieniając kolejność wyrazów w ciągu otrzymujemy inny ciąg. Ciąg może zawierać wyrazy identyczne lub nie.

Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka Silnia n! oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. n! = 1 · 2 · 3 · ... · n 0! = 1 Symbol Newtona dla n, k∈N i 0 ≤ k ≤ n oznacza liczbę określoną wzorem Mocą zbioru skończonego A nazywamy liczbę jego elementów. Oznaczamy

Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka TRÓJKĄT PASCALA Wartości symboli Newtona możemy ustawić w następującą tabelę mającą kształt trójkąta, zwaną trójkątem Pascala

Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka TRÓJKĄT PASCALA Ponieważ Więc wszystkie wyrazy skrajne w trójkącie Pascala są równe 1. Ponadto Każdy z pozostałych wyrazów jest sumą najbliższych dwóch wyrazów znajdujących się nad nim. Dzięki temu trójkąt Pascala łatwo odtworzyć z pamięci.

Podstawowe pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka TRÓJKĄT PASCALA Wartości symboli Newtona możemy ustawić w następującą tabelę mającą kształt trójkąta, zwaną trójkątem Pascala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...............................

zasada mnożenia

ELEMENTY KOMBINATORYKI ZASADA Mnożenia… Iloczyn kartezjański zbiorów A i B, to zbiór oznaczany AxB i określany następująco: Można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Np.: dla czterech zbiorów A, B, C, D mamy:

ELEMENTY KOMBINATORYKI … ZASADA Mnożenia Jeżeli zbiór A składa się z n różnych elementów, a zbiór B z k różnych elementów, to iloczyn kartezjański tych zbiorów liczy nk elementów.

ELEMENTY KOMBINATORYKI … ZASADA Mnożenia PRZYKŁAD: W jadłodajni są do wyboru 3 rodzaje zup, 4 rodzaje drugich dań i 2 rodzaje deserów. Ile różnych 3- daniowych zestawów obiadowych można wybrać w tej jadłodajni? Rozwiązanie: A – zupy B – drugie dania C – desery Odp.: Można utworzyć 24 takie zestawy obiadowe.

Permutacje

ELEMENTY KOMBINATORYKI Permutacje … Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Inaczej mówiąc, permutacja, to ustawienie zbioru n- elementowego w ciąg, czyli przestawienie elementów tego zbioru. Stąd nazwa: „permutatio” to po łacinie: „przemieszczenie”, „przestawienie”.

ELEMENTY KOMBINATORYKI …Permutacje … Twierdzenie Liczba permutacji w dowolnym zbiorze n-elementowym wynosi: Pn=n! dla dowolnej liczby naturalnej n.

ELEMENTY KOMBINATORYKI …Permutacje … PRZYKŁAD: Do biegu przystąpiło 6 zawodników o numerach 1,2,3,4,5,6. Za wynik biegu uważamy kolejność przybycia zawodników na metę. Ile może być różnych wyników tego biegu? Rozwiązanie: X – zbór zawodników pojedynczy wynik biegu, to 6 – elementowy ciąg o niepowtarzających się wyrazach pochodzących ze zbioru X, czyli permutacja zbioru 6 – elementowego.

Wariacje bez powtórzeń

ELEMENTY KOMBINATORYKI Wariacje bez powtórzeń … k-wyrazową wariacją bez powtórzeń n- elementowego zbioru A (gdzie 0  k  n ) nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów, zbioru A.

ELEMENTY KOMBINATORYKI … Wariacje bez powtórzeń … Twierdzenie: Jeśli 0  k  n, to wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest:

ELEMENTY KOMBINATORYKI … Wariacje bez powtórzeń… PRZYKŁAD: Na ile sposobów można wylosować kolejno 5 kart bez zwracania z talii 52 kart? Rozwiązanie: liczba wszystkich możliwych losowań kart, to 52 51  50  49  48 = 52 możliw. 51 możliw. 50 możliw. 49 możliw. 48 możliw.

Wariacje z powtórzeniami

ELEMENTY KOMBINATORYKI Wariacje z powtórzeniami … k-wyrazową wariacją z powtórzeniami n- elementowego zbioru A nazywamy każdy k- wyrazowy ciąg elementów tego zbioru.

ELEMENTY KOMBINATORYKI … Wariacje z powtórzeniami … Twierdzenie: Wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest

ELEMENTY KOMBINATORYKI … Wariacje z powtórzeniami… PRZYKŁAD: Ile liczb 5-cyfrowych można utworzyć z cyfr 4, 5, 6? Rozwiązanie: liczba wszystkich możliwych liczb, to 3 3 33 3 = 3 możliw. 3 możliw. 3 możliw. 3 możliw. 3 możliw.

Kombinacje

ELEMENTY KOMBINATORYKI kombinacje… k-elementową kombinacją n-elementowego zbioru A (gdzie 0  k  n ) nazywamy każdy k- elementowy podzbiór zbioru A.

ELEMENTY KOMBINATORYKI … kombinacje… Twierdzenie: Wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego jest

ELEMENTY KOMBINATORYKI … kombinacjE PRZYKŁAD: Ile istnieje możliwych wyborów 3- osobowej delegacji z grupy 20 osób? Rozwiązanie: liczba wszystkich możliwych takich podzbiorów (delegacji), to - zbiór osób, n=20 jedna z możliwych delegacji – 3-elem. podzbiór zbioru X

algorytm postępowania przy Rozwiązywaniu zadań z kombinatoryki Poniższe drzewko pokazuje jak można rozumować przy podejmowaniu decyzji o wyborze odpowiedniego elementu kombinatoryki podczas rozwiązywania zadań. Czy ważna jest kolejność występowania elementów? NIE TAK Kombinacje bez powtórzeń Czy elementy mogą się powtarzać? Czy wszystkie elementy są wykorzystane? Wariacje z powtórzeniami Permutacje Wariacje bez powtórzeń

Zestaw zadań na zastosowanie poszczególnych elementów kombinatoryki

ZESTAW Zadań Do rozwiązania I. permutacje Zadanie I.1 Klub kibica „Polska do boju” otrzymał od organizatorów EURO 2012 6 biletów w jednym rzędzie na mecz finałowy w Kijowie. Na ile sposobów 6 działaczy klubu kibica może usiąść na trybunach? Rozwiązanie

ZESTAW Zadań Do rozwiązania I. permutacje Zadanie I.2 Drużyna narodowa składająca się z bramkarza, czterech obrońców, czterech pomocników i dwóch napastników podczas półfinału EURO 2012 w Warszawie wchodzi na boisko kolejno jeden po drugim. Ile jest takich możliwości wejścia na stadion, w których:   bramkarz idzie bezpośrednio za napastnikiem; bramkarz nie idzie bezpośrednio za żadnym z pomocników; pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą, ale do grupy dołączył trener? Rozwiązanie Rozwiązanie Rozw. Rozw.

ZESTAW Zadań Do rozwiązania II. wariacje bez powtórzeń Zadanie II.1 W finałach Mistrzostw Europy w piłce nożnej po rozgrywkach grupowych, do dalszej części przechodzą dwa najlepsze zespoły z grupy. Na ile sposobów można wytypować drużyny awansujące z polskiej grupy (Polska, Rosja, Grecja, Czechy), biorąc pod uwagę fakt, że bardzo duże znaczenie ma, czy się wyjdzie z grupy na I, czy na II miejscu? Rozwiązanie

ZESTAW Zadań Do rozwiązania II. wariacje bez powtórzeń Zadanie II.2 W finałach EURO 2012 bierze udział 16 państw europejskich. Przed rozpoczęciem turnieju typujemy: mistrza, wicemistrza i brązowego medalistę. Ile jest możliwych wariantów ustalenia tej zwycięskiej trójki? Rozwiązanie

ZESTAW Zadań Do rozwiązania II. wariacje bez powtórzeń Zadanie II.3 Do plebiscytu na 10-ciu najlepszych piłkarzy EURO 2012 dziennikarze z grupą trenerów zgłosili 20 piłkarzy. Oblicz, ile istnieje sposobów wyłonienia z tej grupy, poprzez głosowanie kibiców, pierwszej dziesiątki? Rozwiązanie

ZESTAW Zadań Do rozwiązania III. wariacje z powtórzeniami Zadanie III.1 Ile dwuliterowych kodów można utworzyć z liter U,E,F,A, jeżeli litery mogą się powtarzać? Rozwiązanie

ZESTAW Zadań Do rozwiązania III. wariacje z powtórzeniami Zadanie III.2 Autobus z 22 kibicami powracającymi z meczu zatrzymuje się na 8 przystankach. Na ile sposobów kibice mogą wysiąść z tego autobusu? Rozwiązanie

ZESTAW Zadań Do rozwiązania III. wariacje z powtórzeniami Zadanie III.3 Między hotelem, a stadionem prowadzą 3 trasy. Na ile sposobów można przejechać z hotelu na stadion i z powrotem? Rozwiązanie

ZESTAW Zadań Do rozwiązania IV. kombinacje Zadanie IV.1 Trener piłkarzy ma do dyspozycji na treningu szesnastoosobową grupę zawodników. Na ile sposobów może wybrać z nich jedenastoosobową drużynę? Rozwiązanie

ZESTAW Zadań Do rozwiązania IV. kombinacje Zadanie IV.2 Trener w 16 osobowej grupie zawodników dysponuje 2 bramkarzami, 6 pomocnikami, 2 napastnikami i 6 obrońcami . Na ile sposobów można wybrać drużynę jeżeli trener zdecydował się zagrać w systemie 4 4 2; 4 5 1? Rozwiązanie Rozwiązanie

ZESTAW Zadań Do rozwiązania IV. kombinacje Zadanie IV.3 W finałach Euro 2012 I etap rozgrywek prowadzony jest w czterech, cztero drużynowych grupach. Do II etapu rozgrywek przechodzą 2 najlepsze zespoły z każdej grupy. Zatem w II etapie meczy będzie rozgrywało osiem zespołów. Ile jest możliwych składów tej 8 drużynowej grupy? Rozwiązanie

Rozwiązania Zadań I. permutacje Rozwiązanie zadanie I.1 X={ d1, d2, d3 , d4 , d5 , d6 } – zbiór działaczy n=6   Przykładowe usadowienia działaczy: - permutacje zbioru X P=6!=720 d4 d2 d6 d3 d5 d1 d6 d5 d4 d3 d2 d1 6x 5x 4x 3x 2x 1x Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań I. permutacje Rozwiązanie zadanie I.2 a) bramkarz idzie bezpośrednio za napastnikiem X={ b , o1 , o2 , o3 , o4 , p1 , p2 , p3 , p4 , n1 , n2 } - drużyna piłkarska n=11 Mamy następujące „typy” wejść drużyny ( - kierunek wchodzenia):   n1vn2 b 2x 1x 9x 8x 7x 6x 5x 4x 3x n1vn2 b 9x 2x 1x 8x 7x 6x 5x 4x 3x 10 „typów” ... n1vn2 b 9x 8x 7x 6x 5x 4x 3x 2x 1x P=10∙ 9! ∙ 2!=7257600 Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań I. permutacje Rozwiązanie zadanie I.2 b) bramkarz nie idzie bezpośrednio za żadnym z pomocników X={ b , o1 , o2 , o3 , o4 , p1 , p2 , p3 , p4 , n1 , n2 } - drużyna piłkarska n=11 Mamy następujące „typy” wejść drużyny ( - kierunek wchodzenia): b 1x 10x 9x 8x 7x 6x 5x 4x 3x 2x nvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 1 „typ” 10 „typów” P=10!+10∙6∙9!=10!+6∙10!=7∙10! P=25401600 Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań I. permutacje Rozwiązanie zadanie I.2 c) pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą X={ b , o1 , o2 , o3 , o4 , p1 , p2 , p3 , p4 , n1 , n2 } - drużyna piłkarska n=11 Skoro napastnicy i pomocnicy nie sąsiadują ze sobą więc powinni być oddzielani obrońcami i bramkarzem. Mamy 6-elementowy zbiór A napastników z pomocnikami i 5-elementowy zbiór B obrońców z bramkarzem. Pochód musi zacząć i zakończyć element zb. A, bo jest ich więcej Modelowo, wyjście zawodników wygląda następująco ( - kierunek wchodzenia): a b 6x 5x 4x 3x 2x 1x P=6! ∙ 5! = 86400 Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań I. permutacje Rozwiązanie zadanie I.2 d) pomocnicy i napastnicy nie idą bezpośrednio za sobą, ale do grupy dołączył trener X={t, b , o1 , o2 , o3 , o4 , p1 , p2 , p3 , p4 , n1 , n2 } - drużyna piłkarska n=12 Skoro napastnicy i pomocnicy nie sąsiadują ze sobą więc powinni być oddzielani obrońcami, bramkarzem lub trenerem. Mamy 6-elementowy zbiór A napastników z pomocnikami i 6-elementowy zbiór B obrońców z bramkarzem i trenerem. Tym razem modelowo, wyjście zawodników można przedstawić na dwa sposoby ( - kierunek wchodzenia): a b 6x 5x 4x 3x 2x 1x lub P= 2∙ 6! ∙ 6! = 1036800 Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań II. wariacje bez powtórzeń Rozwiązanie zadanie III.1 X={ Polska, Rosja, Grecja, Czechy } Przykładowe klasyfikacje: Miejsce Drużyna 1 Polska 2 Czechy Miejsce Drużyna 1 Grecja 2 Polska Przedstawiane warianty to dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru X (4-elementowego). Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań II. wariacje bez powtórzeń Rozwiązanie zadanie III.2 X – państwa uczestniczące w finałach Euro 2012. Zwycięska trójka to 3-wyrazowa wariacja bez powtórzeń zbioru X, w której: I wyrazem jest mistrz, II – wicemistrz, a III – brązowy medalista. Liczba wszystkich takich wariacji, to: Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań II. wariacje bez powtórzeń Rozwiązanie zadanie III.3 X – 20-tu zgłoszonych przez dziennikarzy piłkarzy. Lista 10-ciu najlepszych piłkarzy, to 10-cio wyrazowy ciąg różnych elementów zbioru X, czyli 10-wyrazowa wariacja bez powtórzeń zbioru X (20-elementowego). Zatem wszystkich możliwości jest: Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań III. wariacje z powtórzeniami Rozwiązanie zadanie III.1 X={U, E, F, A} n=4 Przykładowe pary: UE FU EE UF 2-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru X Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań III. wariacje z powtórzeniami Rozwiązanie zadanie III.2 X – Przystanki X = {P1; P2; P3; P4; P5; P6; P7; P8} Y – Kibice Y = {K1; K2; K3; K4; K5; K6; … K22}   Przykładowe możliwości wysiadania kibiców: K1 K2 K3 K4 K5 K6 . . . K20 K21 K22 P6 P4 P2 P7 P1 P3 P5 P8 12-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru X Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań III. wariacje z powtórzeniami Rozwiązanie zadanie III.3 X={T1; T2; T3}- możliwe trasy n = 3   Przykładowe drogi przejazdu: T1  T2 T3  T2 T2  T2 2-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru X k=2 Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań IV. Kombinacje Rozwiązanie zadanie IV.1 X - 16 piłkarzy Jedenastoosobowa drużyna, to 11-elementowa kombinacja zbioru X n=16 k=11 Zatem, liczba możliwych wyborów grającej jedenastki to Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań IV. Kombinacje Rozwiązanie zadanie IV.1 a) System 4 4 2 N - Dwóch napastników z dwóch P - Czterech z sześciu pomocników O - Czterech z sześciu obrońców B - Jeden z dwóch bramkarzy Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań IV. Kombinacje Rozwiązanie zadanie IV.1 b) System 4 5 1 N - Jeden z dwóch napastników P - Pięciu z sześciu pomocników O - Czterech z sześciu obrońców B - Jeden z dwóch bramkarzy Powrót do zadania

Rozwiązania Zadań IV. Kombinacje Rozwiązanie zadanie IV.3 Mamy 4 czteroelementowe zbiory A, B, C, D będące kolejnymi grupami pierwszej fazy rozgrywek. Żeby otrzymać 8-drużynową grupę ćwierćfinałową należy z każdego z tych zbiorów wybrać po 2 elementy. Zatem liczba wszystkich możliwych, ćwierćfinałowych grup jest równa Powrót do zadania

Bibliografia „Vademecum Matura 2012 zakres rozsz.” wyd. OPERON „Encyklopedia szkolna –MATEMATYKA” wyd. WSiP Komputerowy program edukacyjny „Matematyka 1-4 dla szkół średnich” firma PiK http://matematyka.pisz.pl/ http://pl.wikipedia.org http://www.megamatma.pl http://math.edu.pl

KONIEC prezentacji Dziękujemy za uwagę