Opiekun: Opracowanie: Marzena Buziuk Alicja Bućko Oktawia Halemba Natalia Sokołowska ZSO nr 1 w Jeleniej Górze Maj 2012

Biografia Pitagorasa Pitagoras z Samos urodził się na wyspie Samos ok. 572 zmarł ok.497p.n.e w Metaponcie. Był greckim matematykiem, filozofem, etykiem, politykiem, legendarnym założycielem szkoły pitagorejskiej. Interesował się też astronomią i medycyną. Twórca kierunku filozoficzno-religijnego, inaczej nazywanego pitagoreizmem. W młodości był utalentowanym pięściarzem i zapaśnikiem. Prawdopodobnie był wegetarianinem. Kiedy miał czterdzieści lat, około 572 roku p.n.e. opuścił ogarniętą wojną z Persami, Jonię. Po serii podróży osiadł w koloniach zachodnich, w Grecji. Mieszkał w Krotonie i tam zajął się szczegółową działalnością umysłową. Założył związek pitagorejski. Po jego wygnaniu , jego szkoła spłonęła, zaś sam osiedlił się w Metaponcie, gdzie wytrwał do końca swoich dni. Związek i jego działalność wykroczyła poza życie Pitagorasa. Nie pozostawił on po sobie żadnych pism, o jego dokonaniach dowiadujemy się z dzieł filozofów greckich, którzy żyli ponad 200 lat pózniej. Dla uczczenia swojego nauczyciela wiele własnych odkryć pitagorejczycy nazywali jego imieniem, dlatego trudno jest nam dzisiaj jednoznacznie określić, kto jest ich autorem. Pitagoras słynie z twierdzenia, które głosi "W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej".

Wierzenia Pitagorejczyków Wszystko jest liczbą. Wszechświat jest kosmosem, uporządkowaną całością i każdy z nas jest częścią kosmosu. Najkrótsze wyrazy - "TAK" i "NIE"-wymagają najdłuższego zastanowienia. Dusza istnieje oddzielnie od ciała. Dusza może łączyć się z dowolnym ciałem. Dusza jest trwalsza od ciała. Ciało jest dla dusz więzieniem. Dusza jest więziona w ciele za popełnione przez nie winy. Dusza będzie wyzwolona z ciała, gdy się oczyści, a oczyści się wtedy, gdy odpokutuje za winy.

Twierdzenie zwane twierdzeniem Pitagorasa , używane było już wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Twierdzenie Pitagorasa "Suma kwadratów przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej tego trójkąta„ a² + b²= c²

Obie te wersje są poprawne i oznaczają dokładnie to samo. "Suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta„ P1+P2=P3 Obie te wersje są poprawne i oznaczają dokładnie to samo.

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa możemy obliczyć jeden z boków trójkąta prostokątnego znając dwa pozostałe. Dzięki niemu możemy także sprawdzić czy jest on trójkątem prostokątnym. Korzystamy wtedy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, które brzmi: "Jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków w trójkącie jest równa kwadratowi dłuższego boku to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym".

Dowody twierdzenia Pitagorasa

Dowód hinduski

Drugie wielkie twierdzenie Pitagorasa: Suma kątów w trójkącie jest równa sumie dwóch kątów prostych.

Twierdzenie to można udowodnić na dwa sposoby: 1.Przeprowadzając prostą przez wierzchołek trójkąta równolegle do podstawy 2.Prostopadła opuszczona z wierzchołka dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne.

Trójki pitagorejskie Trójkąty pitagorejskie to trójkąty, których boki wyrażone są liczbami naturalnymi a, b, c związanymi warunkiem : a2 + b2 = c2 Trójka liczb naturalnych, które są bokami pewnego trójkąta prostokątnego nazywana jest trójką pitagorejską. Trójkątów pitagorejskich jest nieskończenie wiele.

a b c Przykłady trójek pitagorejskich : 3 4 5 6 8 10 12 13 15 17 21 20 29 60 80 100 7 24 25 11 61 144 145 UWAGA! Trójkąt o bokach wyrażonych liczbami 3,4 i 5 nazywamy trójkątem egipskim.

Możemy się domyślać, że w dawnych czasach trójki pitagorejskie mogły służyć do wyznaczania kątów prostych w budownictwie. Zauważamy bowiem, że gdy ułożymy ( np. ze sznurka ) trójkąt o bokach 60 cm, 80 cm, 100 cm, to kąt między krótszymi bokami tego trójkąta będzie miał 90o. Pitagoras stworzył też regułę odnajdywania liczb naturalnych. Regułę tę wyraża się wzorem :   ( 2n + 1)2 + ( 2n2 + 2n )2 = ( 2n2 + 2n + 1)2

Oto tabela ułożona na tej podstawie: I przyprostokątna 2n + 1 II przyprostokątna 2n ( n + 1 ) Przeciwprostokątna 2n2 + 2n + 1 1 3 4 5 2 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61

Z tabeli wynika, ze liczby wyrażające II przyprostokątną i przeciwprostokątną są liczbami bezpośrednio sąsiadującymi w naturalnym ciągu liczb. Można więc powiedzieć, że gdziekolwiek w ciągu naturalnym znajdziemy dwie liczby sąsiednie, których suma jest pełnym kwadratem, liczby te wraz z pierwiastkiem drugiego stopnia z ich sumy stanowią zespół boków pitagorejskiego trójkąta : 4+5 = 9=32 12+13 =25= 52 24+25 = 49=72 40+41 = 81=92 60+61 = 121=112 84+85 = 169=132

Krąg Pitagorejski

Krąg pitagorejski polega na pewnym ciekawym zestawieniu liczbowym. Wzdłuż kręgu koła wpisujemy naturalny ciąg liczbowy od 1 do np. 3, więc 1, 2, 3, a następnie od 3 z powrotem do 1. n=3 suma=9 n=4 suma=16 n=5 suma=25 n=6 suma=36 n n2 Wniosek: Jeżeli wzdłuż kręgu będziemy pisać naturalny ciąg liczbowy od 1 do n, a następnie z powrotem do 1, to suma wszystkich tych liczb równać się będzie n2.

Dlaczego. Krąg pitagorejski przedstawia właściwie dwie sumy Dlaczego? Krąg pitagorejski przedstawia właściwie dwie sumy. 1 2 3 4 5 6 7=n 7*3=(7(7-1))/2 Uogólniając suma n-1 w naturalnym ciągu rozpoczętym 1 wynosi: Sn-1=(n(n-1))/2. Suma dwóch takich sum wynosi n(n-1)=n2-n Jeżeli dodamy jeszcze n, otrzymamy n2-n+n=n2.

Zapełnianie płaszczyzny równymi wielokątami foremnymi Przechodząc koło swego domu lub szkoły często zauważasz różne wzory poukładanych chodników. Wiele z nich jest zbudowanych z kwadratów lub innych figur tego samego kształtu i wielkości. Czy zastanawiałeś się kiedykolwiek jakich wielokątów foremnych (takich, które mają wszystkie boki jednakowej długości i kąty tej samej miary) należy użyć do takiej układanki? Wiemy, że Pitagoras jako pierwszy wykazał, iż płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych :   Trójkątami Kwadratami Sześciokątami

Przykłady zapełniania płaszczyzny równymi wielokątami foremnymi:

Dlaczego nie można pokryć płaszczyzny pięciokątami foremnymi? Dla n=5 mamy α5 = (5-2)*180/5=3*180/5 α5 =108 360:108=3,(3)

Pitagoras uznawany jest za twórcę pierwszych zasad budowy wielościanów foremnych, które nazywał figurami kosmicznymi. Wielościan foremny musi spełniać następujące trzy warunki: ściany są przystającymi wielokątami foremnymi, w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa ilość ścian, jest bryłą wypukłą. Figury kosmiczne

Porównanie wielościanów: Nazwa Nazwa grecka Grafika Ściana Liczba ścian Liczba krawędzi Liczba wierzchołków czworościan tetraedr trójkąt foremny (równoboczny)    4    6 sześcian heksaedr czworokąt foremny (kwadrat)    12    8 ośmiościan oktaedr dwunastościan dodekaedr pięciokąt foremny    30    20 dwudziestościan ikosaedr

Przykładowe siatki figur kosmicznych: dwunastościan sześcian

Przykładowe siatki figur kosmicznych: dwunastościan czworościan ośmiościan

liczba ścian przy wierzchołku ≥3 wielokrotność kąta <360° Wielościanów foremnych jest tylko 5. Jeden z dowodów istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych opiera się o analizę łącznej ilości kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku. ściana kąt wewnętrzy ściany liczba ścian przy wierzchołku ≥3 wielokrotność kąta <360° nazwa uwagi trójkąt 60° 3 180° czworościan foremny 4 240° ośmiościan foremny 5 300° dwudziestościan foremny ostatni z tej serii, bo 6•60°≥360° kwadrat 90° 270° sześcian jedyny z tej serii, bo 4•90°≥360° pięciokąt 108° 324° dwunastościan foremny jedyny z tej serii, bo 4•108°≥360° sześciokąt i następne ≥120° ≥360° - żaden z tej i następnych serii, bo 3•120°≥360°

Ciekawostka: Cztery wielościany foremne stały się symbolami żywiołów: czworościan symbolizował ogień, sześcian ziemię, ośmiościan powietrze, a dwudziestościan wodę. Dwunastościan foremny był symbolem ładu kosmicznego, wszechświata.