Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek

Wahania ceny akcji z Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać, jednak w dłuższym okresie czasu zaobserwujemy wyraźny średni wzrost. zBadania wykazują, że cena jednostki jest dobrze opisana niesymetrycznym rozkładem, w którym wartość maksymalna jest zdecydowanie bardziej oddalona od wartości średniej, niż wartość minimalna. Przyjmuje się, że takim rozkładem może być rozkład lognormalny

Wahania ceny jednostki P t to cena w momencie t P 0 to cena początkowa e N to wskaźnik wzrostu P t = P 0 e N N to wartość uzyskiwana z rozkładu normalnego o średniej μ (ang. Drift=Dryf) i odchyleniu σ (ang. Volatility=zmienność) Parametry te uzyskuje się zwykle ze średniej rocznej stopy przyrostu ceny oraz odchylenia standardowego stopy przyrostu Jeżeli np. średni roczny przyrost ceny wynosi 12% a roczne odchylenie standardowe 30% to odpowiednie miesięczne parametry równają się 1% (=12/12) oraz 8,6% (=30/12 0,5 ) Pamiętajmy o pierwiastku!

Wahania ceny jednostki zAby wyznaczyć cenę P t należy cenę początkową P 0 przemnożyć przez wskaźnik e N (wskaźnik wzrostu). zWskaźnik ten uzyskamy generując najpierw wartość N z rozkładu normalnego a następnie wstawiając wyznaczoną wartość jako parametr funkcji EXP(). zFormuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego to: Rozkład.Normalny.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie) zFormuła na pozyskiwanie wartości zmiennej losowej z rozkładu normalnego o średniej 0 i odchyleniu 1: Rozkład.Normalny.S.ODW(LOS(), Średnia, Odchylenie)

Stopa przyrostu ceny μ to średnia procentowa stopa zwrotu z akcji (dryf) σ to odchylenie standardowe dla wzrostu ceny (zmienność) Z to standaryzowana zmienna losowa o rozkładzie normalnym Wartości μ i σ podawane są w postaci liczby, np. μ =0.06 oznacza 6% średni wzrost ceny. Obie wielkości są mierzone dla tej samej jednostki czasu, np. 1 roku

Opcje zOpcja to prawo a nie obowiązek zWartość opcji jest zależna od ceny waloru, będącego przedmiotem transakcji: określonego papieru wartościowego (akcja, obligacja, bon skarbowy), waluty, indeksu giełdowego, stopy procentowej etc. Walor ten nazywa się instrumentem pierwotnym (underlying instrument), a opcja (option) utworzona na jego bazie – instrumentem pochodnym (derivative instrument)

Opcje zOpcja jest to umowa między nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą) dająca nabywcy prawo do kupna (opcja kupna) lub sprzedaży (opcja sprzedaży) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym dniu w przyszłości po określonej cenie w zamian za opłatę. Pod koniec okresu, na jaki wystawiono opcję, czyli w terminie jej wygaśnięcia, kończy się prawo związane z opcją. Opcja europejska jest instrumentem terminowym, dla którego wykonanie może nastąpić tylko w ostatnim dniu okresu jej życia. Nie można jej wykonać wcześniej ani, oczywiście, później

Wycena opcji na akcję Polecenie 1: Chcemy prześledzić ścieżkę zmiany wartości ceny akcji spółki X w ciągu roku (z krokiem 1 miesiąca oraz z krokiem 1 roku). Należy wykorzystać notowania spółki X z pliku Notowania.xlsx, zakładka Notowania 1 1.Obliczyć dryf i zmienność z pliku Notowania w ujęciu miesięcznym i rocznym 2.Przeprowadzić dwie symulacje (1 rok) z wykorzystaniem modelu Hulla (model błądzenia geometrycznego): (1) z krokiem miesięcznym i (2) z krokiem rocznym 3.Wykonać 500 powtórzeń dla obu symulacji 4.Wyznaczyć średnią cenę akcji dla obu symulacji

Obliczanie dryfu i zmienności

Polecenie 1 Wykonujemy 500 powtórzeń

Wycena opcji na akcję Polecenie 2: Chcemy zbadać, jaka będzie dobra cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą symulacji) Musimy określić średnią wartość zysku z opcji, zdyskontowaną do chwili 0, przy założeniu, że cena akcji zmienia się w warunkach niezależnych od ryzyka. Wartość czynnika dyskontującego niezależnego od ryzyka to e (-r * t) gdzie r - stopa procentowa wolna od ryzyka, t – moment wygaśnięcia opcji na akcję

Polecenie 2 L4=MAX(…?...) N4=MAX(…?...)

Polecenie 3 Polecenie 3: Chcemy zbadać, jaka będzie dobra cena za opcję (wyceniamy opcję za pomocą modelu Blacka-Scholesa)

Polecenie 3 C17=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C15) C18=ROZKŁAD.NORMALNY.S(C16)

Zadanie domowe TP zW przypadku opcji azjatyckich, zysk z opcji zależy NIE od ceny akcji w dniu wygaśnięcia opcji, ale od średniej ceny akcji przez cały czas obowiązywania opcji. Np. jeżeli ceną wykonania opcji jest p e, to zysk z opcji wynosi MAX(p avg -p e ; 0) zAktualna cena akcji to 100 zł. Średnia roczna stopa zwrotu to 10% a roczne odchylenie standardowe to 33%. Jaka jest wartość opcji azjatyckiej, która wygasa za 52 tygodnie (1 rok) z ceną wykonania 100 zł. Proszę założyć, że stopa wolna od ryzyka to 6%.

Zadanie domowe TN zKnockout call option (Opcja barierowa wyjścia) ma wartość zero (przestaje być aktywna) w momencie gdy cena instrumentu podstawowego spada poniżej pewnej granicy (knockout level). Jednorazowe osiągnięcie przez cenę instrumentu bazowego poziomu bariery powoduje, iż opcja przestaje istnieć niezależnie od tego, co stanie się z ceną aktywu bazowego w przyszłości. zWyceń następującą opcję typu knockout: aktualna cena akcji to 20 zł. Średnia roczna stopa zwrotu to 12% a roczne odchylenie standardowe to 40%, stopa wolna od ryzyka to 10%. Opcja wygasa za 1 rok (250 dni). Ceną wykonania 21 zł. Granica knockout to 19,50 zł. zProszę rozważyć: y barierę amerykańską obserwowaną przez całą długość trwania kontraktu, od momentu zawarcia transakcji do dnia zapadalności; ybarierę europejską – obserwowaną w dniu zapadalności kontraktu zCo możesz powiedzieć o cenie takiej opcji w porównaniu ze zwykłą opcją call?