Podstawowe elementy liniowe Własności statyczne i dynamiczne

Elementy liniowe klasyfikuje się najczęściej ze względu na ich własności dynamiczne. Wyróżniamy sześć grup elementów podstawowych: Bezinercyjne (proporcjonalne) Inercyjne Całkujące Różniczkujące Oscylacyjne Opóźniające. Własności statyczne określa charakterystyka statyczna, a własności dynamiczne równanie różniczkowe, transmitancja operatorowa i widmowa a także charakterystyki czasowe i częstotliwościowe.

Człon bezinercyjny (proporcjonalny) Ogólna postać równania elementu bezinercyjnego jest następująca: y = k x , gdzie y – wielkość wyjściowa, x – wielkość wejściowa, k – współczynnik proporcjonalności (wzmocnienia). Transmitancja elementu bezinercyjnego jest równa współczynnikowi wzmocnienia:

Odpowiedzią na skok jednostkowy członu proporcjonalnego jest skok o wartości k. h(t) k 1 t Charakterystyki częstotliwościowe są linią prostą o stałym wzmocnieniu z przesunięciem fazowym równym 0.

- + R1 R2 R2 R1 Przykłady realizacji członu proporcjonalnego: dzielnik napięciowy mnożenie przez stałą (wzmacniacz operacyjny) R1 R2 - + R1 R2

Człon inercyjny I rzędu Ogólna postać równania różniczkowego elementu inercyjnego pierwszego rzędu jest następująca: Stąd wynika transmitancja: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa [s]

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca: Stąd

Charakterystyki częstotliwościowe członu inercyjnego I rzędu wyglądają następująco:

Przykładem układu inercyjnego I rzędu jest filtr dolnoprzepustowy RC, w którym sygnałem wejściowym i wyjściowym jest napięcie, lub silnik prądu stałego (lub indukcyjny 3-fazowy), w którym skokowe włączenie zasilania jest sygnałem wymuszającym a wyjściem jest prędkość kątowa wału silnika. R C

Człon całkujący idealny Ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego idealnego jest następująca: Stąd wynika transmitancja: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia W przypadku szczególnym (k ma wymiar odwrotności czasu), może zajść:

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca: Stąd

Charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego idealnego wyglądają następująco:

Przykładem układu całkującego jest układ zawierający idealny kondensator C, przy czym sygnałem wejściowym jest prąd a wyjściowym napięcie na kondensatorze. C - + R C

Człon całkujący rzeczywisty Ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego rzeczywistego (z inercją) jest następująca: Stąd wynika transmitancja: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa.

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca: Stąd

Charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego rzeczywistego wyglądają następująco:

Przykładem układu całkującego rzeczywistego jest układ filtru RC w układzie , lub silnik obcowzbudny prądu stałego, w którym wymuszeniem jest skok napięcia wirnika a wyjściem kąt obrotu wirnika. R C

Człon różniczkujący idealny Ogólna postać równania różniczkowego elementu różniczkującego idealnego jest następująca: Stąd wynika transmitancja: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia.

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca: Stąd

Charakterystyki częstotliwościowe członu różniczkującego idealnego wyglądają następująco:

Przykładem układu różniczkującego idealnego jest kondensator idealny C , przy czym sygnałem wejściowym jest napięcie a wyjściowym prąd. C - + R C

Człon różniczkujący rzeczywisty Ogólna postać równania różniczkowego elementu różniczkującego rzeczywistego (z inercją) jest następująca: Stąd wynika transmitancja: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa.

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Transmitancja widmowa jest następująca: Stąd

Charakterystyki częstotliwościowe członu różniczkującego rzeczywistego wyglądają następująco:

Przykładem układu różniczkującego rzeczywistego jest układ filtru górnoprzepustowego RC.

Człon oscylacyjny Ogólna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest następująca: przy czym Stąd wynika transmitancja: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T1, T2 – stałe czasowe.

Inna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest następująca: przy czym Stąd wynika transmitancja: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa,  – współczynnik tłumienia.

Odpowiedź na skok jednostkowy obliczamy na podstawie własności przekształcenia Laplace’a, otrzymując:

Odpowiedź członu oscylacyjnego na skok jednostkowy wygląda następująco:

Transmitancja widmowa jest następująca: Stąd

Charakterystyki częstotliwościowe członu oscylacyjnego wyglądają następująco:

Przykładem układu oscylacyjnego jest układ RLC.

Człon opóźniający Równanie elementu opóźniającego ma postać: skąd na podstawie twierdzenia o przesunięciu rzeczywistym wynika transmitancja: Element opóźniający nie zniekształca sygnału wejściowego lecz jedynie przesuwa go w czasie.

Dziękuję za uwagę!