AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 4) Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

Podstawowe człony dynamiczne obiekt bezinercyjny Przykład fizyczny. Schemat równoważni: x(t) y(t) a b

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu Przykład fizyczny. Schemat dwójnika RC: u(t) y(t) i(t) C R Zakładamy, że sygnałem sterującym jest napięcie zasilające u(t), a sygnałem wyjściowym – spadek napięcia na kondensatorze y(t) Po przekształceniu w dziedzinie zmiennej zespolonej otrzymujemy:

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu Przykład fizyczny. Schemat procesu mieszania w zbiornikach: Roztwór o natężeniu objętościowym  i stężeniu  przechodzi przez dwa zbiorniki – mieszalniki o objętościach c1 oraz c2.

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu Jeżeli przyjmiemy całkowite wymieszanie, to dla stężeń 1 oraz 2 w poszczególnych zbiornikach możemy sformułować następujące równania bilansowe: Przyjmujemy, że sygnałem wyjściowym jest stężenie w drugim zbiorniku 1. Sygnałem wejściowym stężenie zadane . Po przekształceniach i transformacji otrzymanego równania otrzymamy:

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny n-tego rzędu Gdzie: k – współczynnik wzmocnienia T1 … Tn – stałe czasowe. u(t)=1(t) czas y(t) k 1 2 3 4 Charakterystyki czasowe

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny n-tego rzędu Q(ω) k ω=0 1 2 3 4 Charakterystyki amplitudowo-fazowe :

Podstawowe człony dynamiczne obiekt różniczkujący rzeczywisty Transmitancja obiektu: gdzie: T – czas różniczkowania, k – współczynnik wzmocnienia Charakterystyka czasowa: t y(t) T Ak T/k

Podstawowe człony dynamiczne obiekt różniczkujący rzeczywisty Q( w ) P( kT d /T

Podstawowe człony dynamiczne obiekt różniczkujący rzeczywisty Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy. ω 20logM(ω) Φ(ω) 20log(Td/T) +20dB/dekadę ω=1/T /4 /2

Podstawowe człony dynamiczne obiekt różniczkujący rzeczywisty Przykład fizyczny. Schemat dwójnika RC: i(t) C R u(t) y(t)

Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący idealny Transmitancja obiektu: gdzie: Ti – czas całkowania. u(t)=1(t) czas y(t) Ti 1 Charakterystyka czasowa

Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący idealny Q(ω) ω=0 Charakterystyka amplitudowo-fazowa :

Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący idealny ω 20logM(ω) Φ(ω) -20dB/dekadę -/2 Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.

Podstawowe człony dynamiczne Logarytm modułu jest najczęściej mierzony w decybelach [dB], przy czym 1 dB jest równy 20 log M(). Charakterystyka częstotliwościowa logarytmiczna jest więc linią prostą o ujemnym nachyleniu. Nachylenie tej charakterystyki możemy łatwo obliczyć: załóżmy na początku, że rozważamy dwie wartości pulsacji, powiązane z sobą następująco: 1 =  , 2 = 101. Wtedy –(20log2T-20log1T) = -20 ( log101T - log1T ) = -20( 1 + log1T - log1T ) = -20dB. Zmianę częstotliwości w stosunku 1 : 10 nazywamy dekadą. Stąd mówimy, że nachylenie charakterystyki wynosi –20 dB/dekadę.

Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący idealny Przykład fizyczny. Jako przykład fizyczny obiektu całkującego rozważmy zbiornik o stałym polu przekroju równym S, z wymuszonym dopływem i odpływem. Załóżmy, że natężenie dopływu jest równe Fd. Oznaczmy gęstość cieczy w zbiorniku przez  , a poziom cieczy przez h. Wtedy na podstawie bilansu masy możemy zapisać równanie stanu tego systemu: S Fd h

Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzędu Transmitancja obiektu: gdzie: T – stała czasowa, kv - współczynnik wzmocnienia prędkościowego . Charakterystyka czasowa

Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzędu Charakterystyka amplitudowo-fazowa :

Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzędu ω 20logM(ω) Φ(ω) -20dB/dekadę -/2 - -40dB/dekadę ω=1/T Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.

Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzędu Przykład fizyczny. Przykładem obiektu całkującego z inercją jest silnik prądu stałego przy założeniu, że zbiornik energii pola magnetycznego ( indukcyjność uzwojeń ) jest pomijalnie mały w porównaniu ze zbiornikiem energii kinetycznej ruchu obrotowego ( wirujące masy ). Wtedy, przyjmując że prąd wzbudzenia jest stały i żadne opory ruchu nie występują otrzymujemy następujący schemat: Schemat silnika prądu stałego:

Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzędu Przyjmujemy, że sygnałem wejściowym jest napięcie zasilania u(t), a sygnałem wyjściowy – kąt obrotu wału (t) Zakładamy, że: Równanie silnika można zapisać w następującej postaci: Po przeprowadzeniu transformacji Laplace’a otrzymujemy: Definiując transmitancję jako: Otrzymujemy:

Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjny Transmitancja obiektu: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T0 – okres drgań własnych,  - współczynnik tłumienia . Warunek wystąpienia oscylacji:  <1

Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjny y(t) 1 u(t)=1(t) Charakterystyka czasowa czas

Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjny Charakterystyka amplitudowo-fazowa : P(ω) Q(ω) ω=0 k

Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjny ω 20logM(ω) Φ(ω) 20log(k) -20dB/dekadę ω=1/T0 -/2 -

Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy Sygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest przesunięcie trzpienia x. A - powierzchnia membrany, m - masa części ruchomych ( membrana i trzpień ), k - stałą sprężystości sprężyny podpierającej, R - współczynnik oporów ruchu części ruchomych.

Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp. Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na podstawie bilansu sił występujących w nim: Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp. Fp(t) = Apz(t) Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia Fs(t)=kx(t) Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do prędkości: FR(t)=Rv(t) jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem: Fb(t)=ma(t)

Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp. Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na podstawie bilansu sił występujących w nim: Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp. Fp(t) = Apz(t) Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia Fs(t)=kx(t) Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do prędkości: FR(t)=Rv(t) jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem: Fb(t)=ma(t)

Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy: Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy Bilans sił można zapisać następująco: Fp = Fs+FR+Fb Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy: Apz(t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t) Wiedząc, że: Otrzymujemy: Transformata Laplace’a powyższego równania, przy założeniu zerowych warunków początkowych na x oraz będzie mieć następującą postać: APz(s) = kX(s) + RsX(s) +ms2X(s) Jeżeli teraz przypomnimy, że wyjściem układu jest sygnał x, a wejściem – sygnał pz, to widzimy, że transmitancja operatorowa układu będzie mieć postać:

Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniający Transmitancja obiektu: gdzie:  - opóźnienie (czas martwy) obiektu. Charakterystyka czasowa: y(t) y(t) u(t)=1(t) 1  czas

Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniający Charakterystyka amplitudowo-fazowa : Q(ω) 1 1 1 P(ω) 1

Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniający Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy. 20logM(ω) M() = 1 L()=20logM()=0 Φ(ω) ω Φ(ω)=- ω

Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniający Przykład fizyczny. Z elementami opóźniającymi najczęściej spotykamy się podczas opisu wszelkiego rodzaju procesów transportu, np. z użyciem przenośników taśmowych. Rozważamy układ pokazany na rys. 2.28. Materiał sypki na przenośnik jest podawany w punkcie a, a do zbiornika podawany jest w punkcie b, odległym od a o długość l. Taśmociąg jako element opóźniający.

Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniający W rozważanym układzie możemy zauważyć, że jeśli prędkość przesuwu taśmy taśmociągu jest stała i równa v, wielkością wejściową w układzie jest masa materiału podawana na wejście w punkcie a, a wyjściem układu jest masa podawana do zbiornika w punkcie b to opóźnienie wnoszone przez ten element jest równe:  = l/v . Jeżeli oznaczymy masę substancji podawaną w punkcie a przez ma, a masę podawaną do zbiornika w punkcie b przez mb, to zależność pomiędzy tymi masami jako funkcja czasu może tu być zapisana w uproszczeniu ( przy założeniu braku strat po drodze ) następująco: mb(t) = ma(t-)

Podstawowe człony dynamiczne obiekt I rzędu z opóźnieniem Transmitancja obiektu: gdzie: - opóźnienie (czas martwy) obiektu, k – wzmocnienie obiektu, T – stała czasowa obiektu. u(t)=1(t) czas y(t) T k  Charakterystyka czasowa

Podstawowe człony dynamiczne obiekt I rzędu z opóźnieniem Charakterystyka amplitudowo-fazowa : P(ω) Q(ω) k

Podstawowe człony dynamiczne obiekt I rzędu z opóźnieniem ω 20logM(ω) Φ(ω) 20log(k) -20dB/dekadę ω=1/T Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.

Modele zastępcze obiektów dynamicznych Załóżmy, że mamy eksperymentalnie wyznaczoną odpowiedź skokowa nieznanego obiektu wysokiego rzędu. u(t)=1(t) czas y(t) k

Modele zastępcze obiektów dynamicznych Budowa poprawnie działającego układu sterowania nie wymaga znajomości dokładnego modelu obiektu. W wielu sytuacjach wystarczy model przybliżony, mający postać np. transmitancji zastępczej z opóźnieniem. Model zastępczy Kupfmullera I rzędu:

Identyfikacja parametrów modelu: Metoda graficzna: u(t)=1(t) czas y(t) k y(t) ym(t)  T

Model zastępczy Kupfmullera II rzędu: Inne modele zastępcze obiektów dynamicznych Model zastępczy Kupfmullera II rzędu:

Model zastępczy Strejca bez opóźnienia: Inne modele zastępcze obiektów dynamicznych Model zastępczy Strejca bez opóźnienia:

Model zastępczy Strejca z opóźnieniem: Inne modele zastępcze obiektów dynamicznych Model zastępczy Strejca z opóźnieniem: