Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

DANE INFORMACYJNE Nazwa szkół: ZESPÓŁ SZKÓŁ TECHNICZNYCH W SŁUBICACH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W ŚREMIE ID grupy: 97/23_MF_G1 97/54_mf_g1 Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNA Temat projektowy: Wzór Eulera dla wielościanów Semestr/rok szkolny: semestr trzeci/rok szkolny 2010/2011

Twierdzenie Eulera o wielościanach, twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych twierdzenie o wielościanach wypukłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu. gdzie: W liczba wierzchołków S liczba ścian K liczba krawędzi

Wyobraźmy sobie wykonany z jakiegoś materiału (np. z tektury) wielościan. Jeżeli go rozetniemy wzdłuż krawędzi, tak jednak, aby jedna ściana przylegała do sąsiedniej, to możemy całą bryłę rozwinąć na płaszczyźnie*. Otrzymamy w ten sposób szereg wielokątów o bokach do siebie parami przystających. Rozpatrzmy jeden z tych wielokątów, tj. jedną ze ścian: wtedy S = 1, liczba boków tego wielokąta, czyli liczba krawędzi będzie równa liczbie wierzchołków, tj. W = K, a zatem otrzymujemy zależność

Rozważmy teraz dwa przyległe do siebie wielokąty łącznie. Będzie wówczas S = 2, ponieważ te wielokąty będą miały jeden bok wspólny i dwa wierzchołki wspólne, więc liczba krawędzi będzie o 1 większa niż wierzchołków: K = W + 1, a więc będzie znowu S + W = K + 1. Dołączając trzeci wielokąt, spostrzeżemy w taki sam sposób, że zależność poprzednio otrzymana pozostanie bez zmiany (będzie S = 3, W = K - 2). Postępując w ten sposób dalej, stwierdzić możemy, że wciąż zależność nasza będzie taka sama, aż dopiero kiedy dołączymy ostatni wielokąt i wszystkie wielokąty zamkniemy, tworząc dany wielościan, spostrzeżemy, że przez ostatnie dołączenie liczba krawędzi i wierzchołków pozostanie bez zmiany (były one już rozważone poprzednio), przybędzie tylko jedna ściana, a zatem będzie ostatecznie

Zachodzą także nierówności: Analogiczne twierdzenie można uzyskać także dla grafów planarnych. Odpowiednikiem wierzchołka i krawędzi wielościanu jest wierzchołek i krawędź grafu, a odpowiednikiem ściany wielościanu obszar otoczony przez krawędzie grafu, a także obszar na zewnątrz grafu.

Uogólnienie wzoru Eulera: gdzie T to liczba tzw. tuneli, czyli wielościennych wydrążeń przenikających z jednej strony na drugą tak, że wielościan staje się bryłą (T+1)-spójną. Warto zauważyć, że twierdzenie to nie ma postaci równoważności: każdy wielościan wypukły spełnia powyższe równanie, ale nie każdy zestaw ścian, wierzchołków i krawędzi spełniający równanie opisuje jakiś wielościan wypukły - łatwo wskazać kontrprzykłady, np. W=2, K=S=0. Istnieją też wielościany nie wypukłe, które to równanie spełniają

Bryłę W nazywamy wielościanem, jeżeli jej brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów, zwanych ścianami wielościanu, przy czym: 1. jeśli dwa wielokąty zawierają się w jednej płaszczyźnie, to mają co najwyżej jeden punkt wspólny, 2. każde dwa punkty brzegowe bryły W można połączyć łamaną zawartą w jej brzegu. Boki ścian wielościanu nazywamy krawędziami, a wierzchołki ścian - wierzchołkami wielościanu. Twierdzenie Eulera. Jeśli wielościan wypukły ma w wierzchołków, k krawędzi i s ścian, to w - k + s = 2

Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i każdy jego wierzchołek jest końcem tej samej liczby krawędzi wielościanu. Wielościany foremne nazywamy również bryłami platońskimi. Istnieje tylko pięć (5) brył platońskich. Są to: tetraedr (czworościan foremny), heksaedr (sześcian), oktaedr (ośmiościan foremny), dodekaedr (dwunastościan foremny) i ikosaedr (dwudziestościan foremny). Dlaczego tylko pięć? Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże potrzebne są co najmniej trzy ściany oraz suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kata pełnego. Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju maja utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

Na płaszczyźnie danych jest p punktów (p>2). Punkty te połączono nieprzecinającymi się krzywymi tworząc spójny graf. Ile obszarów zamkniętych utworzyły krzywe tego grafu?

Dla trzech punktów graf składa się z 2 lub 3 krzywych - rys.1. Dla czterech punktów graf składa się z 3 lub z 4 lub z 5 lub z 6 krzywych - rys 2. Teza: Ilość s obszarów zamkniętych wynosi s = k-p+1.

Udowodnimy indukcyjnie wzór s = k-p+1 prowadząc indukcję ze względu na ilość p punktów grafu. 1 o. Niech p=3 (rys.1). Jeżeli k=2 to s=0; jeśli k=3 to s=1 Ze wzoru s = k-p+1 również otrzymujemy te same wartości: dla k=2, s = = 0, dla k=3, s=3- 3+1=1, zatem wzór jest prawdziwy dla p=3. 2 o. Załóżmy, że dla każdego grafu składającego się z p punktów i mającego k krzywych, zachodzi równość s = k-p+1. Udowodnimy, że dla grafu mającego p+1 punktów również zachodzi ten wzór.

Dodając jeden nowy punkt do grafu składającego się z p punktów musimy połączyć go nową krzywą z którymś z dotychczasowych punktów. Nie powstanie przy tym żaden nowy obszar zamknięty ponieważ jest to pierwsza krzywa wychodząca z tego punktu. Wyrażenie k-p+1 przyjmie więc postać (k+1)-(p+1)+1=k-p+1 = s, czyli wzór jest spełniony. Zbudowanie r nowych połączeń pomiędzy p+1 punktami w każdym z możliwych układów, spowoduje wzrost liczby krzywych o r oraz wzrost liczby obszarów również o r, ponieważ dorysowanie każdej krzywej albo tworzy jeden nowy obszar, albo też rozdziela już istniejący obszar na dwa obszary, czyli przybywa jeden obszar. Wyrażenie s = k-p+1 przyjmie więc postać s+r = (k+1+r)-(p+1)+1, a stąd s+r = k+r-p+1 i ostatecznie s = k-p+1. c.n.d. Zatem wzór s= k-p+1 jest prawdziwy dla wszelkich grafów składających się z p punktów.

Korzystając ze wzoru s = k-p+1 znajdź związek między ilością ścian, ilością wierzchołków i ilością krawędzi dowolnego wielościanu wypukłego? Do rozwiązania tego zadania należy najpierw dokonać myślowej transformacji zamieniającej wielościan na figurę płaską. W tym celu należy usunąć jedną ze ścian wielościanu, zostawiając jej krawędzie, i zakładając, że wielościan jest wykonany z elastycznego materiału, rozciągnąć go płasko na płaszczyźnie. Wówczas spełnioniony jest wzór s= k-p+1. Przyjmując oznaczenia s=s (ilość ścian wielościanu), k - ilość krawędzi wielościanu, p= w (ilość wierzchołków wielościanu) otrzymujemy s= k-w+1. Dodając teraz usuniętą wcześniej ścianę otrzymujemy ostatecznie: Odpowiedź: s = k - w + 2. (Tw. Eulera)

Definicja. Wielościan nazywamy foremnym jeśli wszystkie jego ściany są przystające i wszystkie naroża również są przystające. Przykładami wielościanów foremnych są sześcian i czworościan foremny.

Rozwiązanie: Ponieważ poszukiwany wielościan ma być foremny więc przyjmijmy, że ma on pewną ilość ścian s i każda ściana ma a boków, oraz że ma on w wierzchołków i z każdego wierzchołka wychodzi b krawędzi. Przyjmijmy też, że ma on k krawędzi. Otrzymujemy stąd s * a/2 = k i w * b/2=k, a po przekształceniu s=2 * k/a i w=2 * k/b. Korzystamy teraz ze wzoru Eulera s = k - w + 2 i wstawiamy do niego dwa ostatnie wyrażenia. Otrzymujemy wyrażenie 2 * k/a = k - 2 * k/b + 2 a stąd po przekształceniu 2/a + 2/b - 2/k = 1

Aby znaleźć jakiś wielościan foremny należy dobrać odpowiednią trójkę liczb a, b, k spełniającą ostatnią równość. Uczniowie mogą albo ręcznie sprawdzać różne trójki liczb albo napisać krótki program komputerowy do znajdowania tych liczb. program Wielosciany_foremne; {Turbo Pascal} uses crt; var a,b,k:integer; begin clrScr; for a:=3 to 50 do for b:=3 to 50 do for k:=3 to 50 do if 2/a+2/b-2/k=1 then writeLn(a,' ',b,' ',k,' ',2*k/a:2:0); readLn; end. program Wielosciany_foremne; {Think Pascal} var a, b, k: integer; begin for a := 3 to 50 do for b := 3 to 50 do for k := 3 to 50 do if 2 / a + 2 / b - 2 / k = 1 then writeln(a, b, k,2*k/a:2:0); end.

Powyższy program daje tylko trzy rozwiązania: a=3b=3k=6s=4 a=3b=5k=30s=20 a=5b=3k=30s=12 Wśród tych rozwiązań nie ma jednak sześcianu. Nie jest to błąd programu lecz niedokładność obliczeń. Należy omówić z uczniami rachunek błędów i zmienić linię programu if 2/a+2/b-2/k=1 then na postać if abs(2/a+2/b-2/k-1)< then.

Teraz otrzymujemy wszystkie rozwiązania, dające wszystkie rodzaje wielościanów foremnych: a=3, b=3, k=6, s=4 - czworościan foremny a=3, b=4, k=12, s=8 - ośmiościan foremny a=3, b=5, k=30, s=20 - dwudziestościan foremny a=4, b=3, k=12, s=6 - sześcian a=5, b=3, k=30, s=12 - dwunastościan foremny.

Należy jeszcze uzasadnić (na podstawie analizy wzoru 2/a+2/b-2/k=1), że poszukiwania trójek a, b, k wśród coraz większych liczb nie jest potrzebne, ponieważ 2/a+2/b musiałoby być >1 co nie może mieć miejsca. Znalezione wielościany są więc wszystkimi możliwymi wielościanami foremnymi.

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie