Wybrane twierdzenia pomocnicze Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński

Co było do tej pory? Pojęcia podstawowe: prąd, napięcie, rezystancja. Elementy obwodu (rezystory, źródła napięcia, źródła prądu), struktura obwodu (gałęzie, węzły, oczka). Prawa Kirchhoffa, prawo Ohma. Redukcja układu połączeń rezystorów. Metody ogólne analizy obwodów (równań Kirchhoffa, oczkowa, potencjałów węzłowych).

Na tym wykładzie Cel: poznanie wybranych twierdzeń pomocniczych ułatwiających analizę obwodów elektrycznych. Zakres: Zasada i metoda superpozycji Twierdzenie Thevenina Twierdzenie Nortona Twierdzenia w włączaniu dodatkowych idealnych źródeł Twierdzenie o kompensacji Twierdzenie o wzajemności Redukcja połączeń źródeł.

Zasada superpozycji 1 Zasada superpozycji W układzie fizycznym spełniona jest zasada superpozycji, jeżeli skutek działania sumy przyczyn (źródeł, wymuszeń) jest taki sam jak suma skutków wywołanych przez każdą z przyczyn oddzielnie. Nazwa „superpozycja” pochodzi z łaciny i oznacza „nakładanie” (superponere = super + ponere = nad + kłaść = nakładać). Zasada superpozycji pozwala zastąpić skomplikowane oddziaływanie sumą oddziaływań prostszych (łatwiejszych lub wygodniejszych do analizy). Zasada superpozycji dotyczy dowolnych układów fizycznych (nie tylko obwodów elektrycznych).

Zasada superpozycji Przykład Rozpatrzmy obwód z dwoma źródłami napięcia E1 i E2 (tj. przyczynami przepływu prądu). Prąd (tj. skutek) wynosi Możemy to przedstawić jako Prąd I (skutek) jest więc sumą dwóch prądów I′ i I″ (skutków). Pierwszy z nich jest wywołany jedynie przez źródło E1 (przyczynę pierwszą), a drugi – przez źródło E2 (przyczynę drugą). I E1 E2 R

Zasada superpozycji Przykład – c.d. Zauważmy, że prąd I′ popłynie w obwodzie zawierającym tylko E1, zaś prąd I″ popłynie w obwodzie zawierającym tylko E2. Obwód oryginalny powstaje w wyniku nałożenia jeden na drugi obwodów z poszczególnymi źródłami. Stąd nazwa „nakładanie” czyli „superpozycja”. I′ E1 R I″ E2 R I = I′ + I″

2 Metoda superpozycji Metoda superpozycji Metoda superpozycji rozwiązywania obwodów elektrycznych polega na zastosowaniu zasady superpozycji. Obwód z wieloma (n) źródłami napięcia lub prądu rozkłada się na n obwodów, z których w każdym znajduje się tylko jedno źródło. Zaleta: obwód z jednym źródłem rozwiązuje się często znacznie szybciej i łatwiej. Wada: trzeba rozwiązać n obwodów zamiast jednego.

Tok postępowania Strzałkujemy dowolnie prądy. Metoda superpozycji Tok postępowania Strzałkujemy dowolnie prądy. Obwód rozkładamy na tyle obwodów, ile jest źródeł napięcia i prądu, pozostawiając w każdym obwodzie wszystkie rezystancje, ale tylko jedno źródło. Uwaga: przy usuwaniu źródęł ich rezystancję pozostawiamy, tzn. idealne źródła napięciowe zwieramy, gdyż Rw = 0, idealne źródła prądowe – rozwieramy, gdyż Rw = ∞. E1 E4 E6 J5 R1 R2 R3 R6 I1 I2 I3 I6 I5 I4

Tok postępowania Metoda superpozycji I′1 I′2 I′3 I′6 I′4 I′5 I″1 I″2 IIV1 IIV2 IIV3 IIV6 IIV5 IIV4 I‴1 I‴2 I‴3 I‴6 I‴5 I‴4

Metoda superpozycji Tok postępowania Każdy z obwodów cząstkowych rozwiązujemy dowolną metodą. Obliczamy wypadkowe prądy gałęziowe jako sumę przyczynków od poszczególnych źródeł: I = I′ + I″ + I‴ + ... . Wskazówki: Do rozwiązania obwodów cząstkowych warto wykorzystać: redukcję połączeń rezystorów, wzór na prąd w obwodzie nierozgałęzionym, dzielnik napięcia i prądu, zamianę rzeczywistego źródła napięcia w rzeczywiste źródło prądu i odwrotnie, Nie opłaca się natomiast stosować: metody równań Kirchhoffa, metody prądów oczkowych, metody potencjałów węzłowych.

Tok postępowania Metoda superpozycji E1 R1 R2 R3 R6 I′1 I′2 I′3 I′6 IIV1 IIV2 IIV3 IIV6 IIV5 IIV4 E6 R1 R2 R3 R6 I‴1 I‴2 I‴3 I‴6 I‴5 I‴4 I1 = I′1 + I″1 + I‴1 + IIV1 I6 = I′6 + I″6 + I‴6 + IIV6 …

Przykład Wyznaczyć rozpływ prądów metodą superpozycji. Metoda superpozycji Przykład Wyznaczyć rozpływ prądów metodą superpozycji. 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V

Przykład – c.d. Metoda superpozycji 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V I1 I2 I3 1 Ω

Uzasadnienie metody superpozycji Metoda superpozycji Uzasadnienie metody superpozycji Obwody elektryczne opisane są równaniami liniowymi, tzn. związek między prądami a wymuszeniami (napięciami i prądami źródłowymi) można wyrazić w postaci gdzie współczynniki aij oraz bij nie zależą od prądów i wymuszeń, a jedynie od struktury obwodu. Po rozwiązaniu (pomnożeniu przez macierz odwrotną [aij]−1)

Uzasadnienie metody superpozycji Metoda superpozycji Uzasadnienie metody superpozycji Oznaczając mamy Z powyższego wynika, że: prądy I(j)i wywołane są jedynie przez j-te źródło i płyną niezależnie od obecności innych źródeł. prądy wypadkowe Ii są sumami prądów cząstkowych I(j)i.

Metoda superpozycji Zakres zastosowania Metodę superpozycji można stosować tylko w obwodach liniowych, gdyż tylko wtedy równania są liniowe i spełniona jest zasada superpozycji. Metody superpozycji nie wolno stosować w obwodach nieliniowych (o których już wkrótce). Metoda superpozycji jest podstawą wielu innych metod (np. metody oczkowej – prąd gałęziowy jest superpozycją prądów oczkowych). Metoda superpozycji jest stosowana szeroko nie tylko w elektrotechnice, ale w innych naukach, zwłaszcza ścisłych.

Dwójnik aktywny jako rzecz. źr. napięcia 3 Twierdzenia Thevenina i Nortona Dwójnik aktywny jako rzecz. źr. napięcia Pokażemy, że dwójnik aktywny można zastąpić równoważnym dwójnikiem w postaci rzeczywistego źródła napięcia o SEM E0 i rezystancji Rw. Jest to bardzo pomocne twierdzenie (zwane tw. Thevenina lub tw. o zastępczym źródle napięcia), gdyż niezwykle ułatwia analizę (a także syntezę) obwodów. Wyznaczmy E0 i Rw, ale najpierw wprowadzimy pomocnicze twierdzenie. Dwójnik aktywny Rw E0

Dwa przeciwsobne idealne źr. napięcia Twierdzenia Thevenina i Nortona Dwa przeciwsobne idealne źr. napięcia Jeżeli dwa jednakowe idealne źródła napięcia o SEM równej E połączymy szeregowo przeciwsobnie, to wypadkowe napięcie wyniesie Wniosek: rozpatrywane połączenie jest równoważne zwarciu. Odwrotnie – bezoporowe połączenie można uważać za przeciwsobne połączenie dwóch jednakowych idealnych źródeł napięcia, przy czym ich SEM E jest zupełnie dowolna. E A B A B

Włączanie idealnych źródeł napięcia Twierdzenia Thevenina i Nortona Włączanie idealnych źródeł napięcia Wniosek Rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli w dowolny punkt dowolnej gałęzi obwodu włączymy przeciwsobnie dwa jednakowe idealne źródła napięcia, przy czym ich napięcie źródłowe E może być obrane dowolnie. Reszta obwodu Fragment dowolnej gałęzi E Reszta obwodu

Dwójnik aktywny w stanie jałowym Twierdzenia Thevenina i Nortona Dwójnik aktywny w stanie jałowym Rozważmy dwójnik aktywny (układ zawierający elementy źródłowe i mający wyprowadzone dwa zaciski). Niech napięcie na zaciskach dwójnika w stanie jałowym wynosi U0. Napięcie to można zmierzyć woltomierzem. Dwójnik aktywny U0 A B Dwójnik aktywny A B V

Dwójnik aktywny w stanie obciążenia Twierdzenia Thevenina i Nortona Dwójnik aktywny w stanie obciążenia Jeżeli obciążymy ten dwójnik rezystorem R, to popłynie pewien prąd I. Prąd ten nie ulegnie zmianie, jeżeli do gałęzi z rezystorem R włączymy przeciwsobnie dwa idealne źródła napięcia. Napięcie tych źródeł może być zupełnie dowolne, więc obierzmy je jako równe U0. Dwójnik aktywny I R A B Dwójnik aktywny I R U0 A B

Dwójnik aktywny w stanie obciążenia Twierdzenia Thevenina i Nortona Dwójnik aktywny w stanie obciążenia Dwójnik aktywny I R U0 A B Stosujemy teraz zasadę superpozycji: prąd I wywołany jest przez: Dwójnik aktywny i źródło U0 o zwrocie przeciwnym do prądu (prąd I′), Źródło U0 o zwrocie zgodnym z prądem po usunięciu wszystkich innych źródeł (prąd I″). Dwójnik aktywny I′ R U0 A B Dwójnik pasywny I″ R U0 A B

Twierdzenia Thevenina i Nortona Prąd I′ Odłączając rezystor, dostajemy napięcie na zaciskach AC równe 0. Po podłączeniu rezystora zerowe napięcie nie wywoła żadnego prądu, a stąd mamy Dwójnik aktywny I′ R U0 A B Dwójnik aktywny U0 A B C

Twierdzenia Thevenina i Nortona Prąd I″ Zgodnie z zasadą superpozycji, obliczamy prąd wywołany jedynie przez napięcie U0, czyli wszystkie elementy źródłowe dwójnika należy z niego usunąć. Dwójnik jest teraz pasywny, czyli można go zredukować co jednej rezystancji RAB. Dostajemy obwód nierozgałęziony, w którym Dwójnik pasywny I″ R U0 A B I″ R U0 A B RAB

Dwójnik aktywny w stanie obciążenia Twierdzenia Thevenina i Nortona Dwójnik aktywny w stanie obciążenia Stąd prąd w oryginalnym obwodzie jest równy Taki sam prąd popłynie, jeżeli dwójnik zastąpimy rzeczywistym źródłem napięcia o SEM E0 = U0 i rezystancji wewnętrznej równej Rw = RAB Dwójnik aktywny I R A B I R A B Rw E0

Twierdzenie Thevenina Twierdzenia Thevenina i Nortona Twierdzenie Thevenina Dwójnik aktywny można zastąpić rzeczywistym źródłem napięcia (E0, Rw). Napięcie źródłowe E0 wyznacza się jako równe napięciu na jego zaciskach w stanie jałowym. Rezystancję wewnętrzną Rw wyznacza się jako równą rezystancji zastępczej dwójnika widzianej z jego zacisków po usunięciu z niego wszystkich źródeł (zwarciu źródeł napięciowych i rozwarciu źródeł prądowych). Dwójnik aktywny A B A B Rw E0

Zastosowanie twierdzenia Thevenina Twierdzenia Thevenina i Nortona Zastosowanie twierdzenia Thevenina Podstawowe zastosowanie to zastępowanie fragmentu obwodu rzeczywistym źródłem napięcia, wyznaczanie prądu w wybranej gałęzi obwodu bez rozwiązywania całego obwodu. Oprócz tego stosuje się je w szeregu różnych zagadnień, np. dobór rezystora ze względu na moc maksymalną, analiza obwodów nieliniowych z jednym elementem nieliniowym.

Przykład Metodą Thevenina wyznaczyć prąd płynący przez rezystor 3 Ω. Twierdzenia Thevenina i Nortona Przykład Metodą Thevenina wyznaczyć prąd płynący przez rezystor 3 Ω. 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V

Przykład – c.d. Twierdzenia Thevenina i Nortona 2 A 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A U0 A B 1 Ω 2 Ω A B A B Rw E0 3 Ω I3

Twierdzenia Thevenina i Nortona Twierdzenie Nortona Twierdzenie Thevenina pozwala zastąpić dwójnik aktywny rzeczywistym źródłem napięcia. Rzeczywiste źródło napięcia można zamienić na rzeczywiste źródło prądu. Wniosek (tw. Nortona): dwójnik aktywny można zastąpić rzeczywistym źródłem prądu (Jz, Rw). Prąd źródłowy Jz wyznacza się jako prąd zwarcia dwójnika. Rezystancję Rw wyznacza się tak samo jako w twierdzeniu Thevenina. Zachodzi związek Jz = E0/Rw. Dwójnik aktywny A B A B Rw Jz

Wyznaczanie E0, Jz, Rw z pomiarów Twierdzenia Thevenina i Nortona Wyznaczanie E0, Jz, Rw z pomiarów Dwójnik aktywny A B V U0 Na podstawie powyższego można podać pomiarową metodę wyznaczania parametrów E0, Jz, Rw. Woltomierzem mierzymy napięcie U0 na zaciskach dwójnika w stanie jałowym. Na podstawie twierdzenia Thevenina jest ono równe E0. Mierzymy prąd zwarcia Iz dwójnika (np. amperomierzem). Na podstawie twierdzenia Nortona jest on równy prądowi źródłowemu Jz. Z twierdzenia o zamianie rzeczywistego źródła napięcia na rzeczywiste źródło prądu mamy Jz = E0/Rw, czyli Rw = E0/Jz. Dwójnik aktywny A B Iz

Kilka innych twierdzeń 4 Kilka innych twierdzeń Kilka innych twierdzeń Podamy teraz kilka pomocniczych twierdzeń pozwalających na takie przekształcenie obwodu, że rozpływ prądów pozostanie bez zmian. Są to: Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia, Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł prądu, Twierdzenie o kompensacji, Twierdzenie o wzajemności.

Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia Kilka innych twierdzeń Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli do wszystkich gałęzi dowolnego węzła włączymy jednakowe idealne źródła napięcia E o zwrocie jednakowym względem węzła, przy czym wartość E może być obrana dowolnie. Wynika to z tego, że napięcia między punktami A, B, C, … w obydwu przypadkach są równe zeru, więc dodatkowe źródła nie wywołują żadnych prądów (zasada superpozycji). reszta obwodu A B C reszta obwodu A B C E

Przykład Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia

Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł prądu Kilka innych twierdzeń Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł prądu Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli do wszystkich gałęzi dowolnego oczka włączymy jednakowe idealne źródła prądu J o zwrocie jednakowym względem oczka, przy czym wartość J może być obrana dowolnie. Wynika to z tego, że w obydwu przypadkach pomiędzy punktami A, B, C, … a resztą obwodu nie płyną żadne prądy, więc obwód pierwotny jest odseparowany od dodatkowego oczka ze źródłami prądowymi. reszta obwodu A B C D reszta obwodu A B C J D

Twierdzenie o kompensacji Kilka innych twierdzeń Twierdzenie o kompensacji Jeżeli pomiędzy dwa dowolne punkty obwodu A i B, między którymi panuje napięcie UAB, włączymy idealne źródło napięcia o napięciu źródłowym E = UAB, to rozpływ prądów i rozkład napięć nie ulegnie zmianie. Wynika to z tego, że w obydwu obwodach napięcie między punktami A i B jest jednakowe, a pozostała część obwodu jest taka sama. reszta obwodu A B I XXX UAB reszta obwodu A B I UAB E = UAB

Przykład Skompensować opornik 3 Ω źródłem napięcia. Twierdzenie o kompensacji Przykład Skompensować opornik 3 Ω źródłem napięcia. Dowolną metodą z znajdujemy, że napięcie na tym oporniku wynosi 15 V. Łatwo sprawdzić, że prądy i napięcia są gałęziowe są takie same jak w oryginalnym obwodzie. 1 Ω 2 Ω 3 Ω 2 A 18 V 1 Ω 2 Ω 2 A 18 V 15 V

Twierdzenie o wzajemności Kilka innych twierdzeń Twierdzenie o wzajemności Jeżeli w obwodzie z jednym idealnym źródłem napięcia Ek znajdującym się w k-tej gałęzi prąd w l-tej gałęzi wynosi Il, to po usunięciu tego źródła i umieszczeniu w l-tej gałęzi źródła El prąd w k-tej gałęzi będzie równy Ik, przy czym Wynika to z symetrii macierzy głównej układu równań w metodzie oczkowej (następny slajd). reszta obwodu (bez źródeł) Ek Il k l reszta obwodu (bez źródeł) El Ik k l

Dowód twierdzenia o wzajemności Kilka innych twierdzeń Dowód twierdzenia o wzajemności Zawsze możemy przerysować schemat tak, aby rozpatrywane gałęzie k i l znalazły się na brzegu (tzn. aby znajdowały się jedynie k-tym i l-tym oczku). Zauważmy, że: Wtedy prądy gałęziowe Ik i Il będą równe prądom oczkowym k-tego i l-tego oczka. Sposób przerysowania schematu nie ma wpływu na rozpływ prądu, a jedynie na sposób jego obliczania. reszta obwodu (bez źródeł) Ek Il k l

Dowód twierdzenia o wzajemności – c.d. Kilka innych twierdzeń Dowód twierdzenia o wzajemności – c.d. Układamy równania oczkowe. Zauważmy, że: Macierz główna R jest symetryczna (Rk,l = Rl,k), gdyż rezystancja wspólna oczek k i l jest taka sama jak oczek l i k. Macierz główna R nie zależy od rozmieszczenia źródeł napięcia i prądu.

Dowód twierdzenia o wzajemności – c.d. Kilka innych twierdzeń Dowód twierdzenia o wzajemności – c.d. Po przemnożeniu przez macierz odwrotną R−1 = Δ, dostajemy. Zauważmy, że: Macierz odwrotna Δ jest symetryczna (Δk,l = Δl,k), gdyż macierz R jest symetryczna. Macierz Δ nie zależy od rozmieszczenia źródeł napięcia i prądu.

Dowód twierdzenia o wzajemności – c.d. Kilka innych twierdzeń Dowód twierdzenia o wzajemności – c.d. Jeżeli w gałęzi k-tej znajduje się jedyne źródło, to Ek ≠ 0, a pozostałe EI = EII = … = 0 i wtedy Jeżeli w gałęzi l-tej znajduje się jedyne źródło, to El ≠ 0, a pozostałe EI = EII = ... = 0 i wtedy Dzieląc stronami ostatnie dwie równości i uwzględniając symetrię Δk,l = Δl,k, dostajemy wreszcie reszta obwodu (bez źródeł) Ek Il k l reszta obwodu (bez źródeł) El Ik k l

Wniosek z twierdzenia o wzajemności Kilka innych twierdzeń Wniosek z twierdzenia o wzajemności Jeżeli w obwodzie z jednym idealnym źródłem napięcia E znajdującym się w k-tej gałęzi prąd w l-tej gałęzi wynosi I, to po przeniesieniu tego źródła do l-tej gałęzi prąd w k-tej gałęzi też będzie równy I. Wynika to z twierdzenia o wzajemności po przyjęciu Ek = El. reszta obwodu (bez źródeł) E I k l reszta obwodu (bez źródeł) E I k l

Szeregowe połączenie źródeł napięcia 5 Łączenie źródeł Szeregowe połączenie źródeł napięcia E1 E2 U R1 R2 I Dwa źródła napięcia (rzeczywiste lub idealne) połączone szeregowo należy zastąpić jednym. W układzie oryginalnym W układzie zredukowanym Równoważność układów wymaga, aby E U R I

Szeregowe połączenie źródeł napięcia W przypadku dowolnej liczby źródeł Wypadkowa SEM E jest równa sumie algebraicznej SEM wszystkich źródeł, tzn. SEM Ei o zwrocie zgodnym ze zwrotem E bierzmy ze znakiem plus, a SEM Ei o zwrocie przeciwnym do zwrotu E bierzmy z znakiem minus. Rezystancje zawsze sumujemy (są połączone szeregowo). E1 E2 U R1 R2 I E U R I

Szeregowe połączenie źródeł prądu J1 R1 I J2 R2 Dwa rzeczywiste źródła prądu połączone szeregowo należy zastąpić jednym. Każde z rzeczywistych źródeł prądu zamieniamy na rzeczywiste źródło napięcia. Następnie korzystamy ze wzorów na szeregowe połączenie źródeł napięcia. E1 E2 U R1 R2 I E U R I

Szeregowe połączenie źródeł prądu Zamieniamy otrzymane zastępcze źródło napięcia w rzeczywiste źródło prądu W przypadku dowolnej liczby źródeł Prąd źródłowy zastępczego źródła jest średnią ważoną wszystkich prądów z wagami równymi rezystancjom wewnętrznym źródeł. U J1 R1 I J2 R2 U I J R

Szeregowe połączenie źródeł prądu J1 I J2 R2 Jeżeli jedno ze źródeł jest idealne (Ri = ∞), to zastępcze źródło ma parametry czyli pozostałe źródła nie dają żadnego wkładu do reszty obwodu i w stosunku do niej można je pominąć. Jeżeli przynajmniej dwa źródła są idealne, to powstaje sytuacja niedopuszczalna (nierealizowalna fizycznie). U I J1 U J1 I J2

Równoległe połączenie źródeł prądu Dwa źródła prądu (idealne lub rzeczywiste) połączone równolegle należy zastąpić jednym. W układzie oryginalnym W układzie zastępczym Równoważność wymaga, aby U I J1 G1 J2 G2 U I J G

Równoległe połączenie źródeł prądu W przypadku dowolnej liczby źródeł Wypadkowy prąd J jest równy sumie algebraicznej prądów wszystkich źródeł, tzn. prąd Ji o zwrocie zgodnym ze zwrotem J bierzmy ze znakiem plus, a prąd Ji o zwrocie przeciwnym do zwrotu J bierzmy z znakiem minus. Konduktancje zawsze sumujemy (są połączone równolegle), czyli sumujemy odwrotności rezystancji. U I J1 G1 J2 G2 U I J G

Równoległe połączenie źródeł napięcia U R1 I E2 R2 Dwa rzeczywiste źródła napięcia połączone równolegle należy zastąpić jednym. Każde ze źródeł zamieniamy na rzeczywiste źródło prądu Równolegle połączone źródła prądu zastępujemy jednym źródłem U I J1 R1 J2 R2 U I J R

Równoległe połączenie źródeł napięcia Zamieniamy otrzymane zastępcze źródło prądu w rzeczywiste źródło napięcia W przypadku dowolnej liczby źródeł Wypadkowe napięcie E jest średnią ważoną napięć źródłowych poszczególnych źródeł z wagami równymi konduktancjom wewnętrznym. E1 U R1 I E2 R2 E U R I

Równoległe połączenie źródeł napięcia U I E2 R2 Jeżeli jedno ze źródeł jest idealne (Ri = 0, Gi = ∞), to zastępcze źródło ma parametry czyli pozostałe źródła nie dają żadnego wkładu do reszty obwodu i w stosunku do niej można je pominąć. Jeżeli przynajmniej dwa źródła są idealne, to powstaje sytuacja niedopuszczalna (nierealizowalna fizycznie). E1 U I E1 U I E2

Łączenie źródeł – wnioski Aby uzyskać większe napięcie, należy połączyć kilka źródeł napięcia szeregowo (np. 3 baterie AAA 1,5 V dają 4,5 V). W typowych przypadkach należy unikać łączenia źródeł napięcia równolegle, gdyż w razie niejednakowej wartości ich napięcia źródłowego popłyną w nich prądy wyrównawcze, które powodują rozładowanie źródła o wyższej wartości E. Do zwiększenia prądu najlepiej łączyć równolegle źródła prądu, ewentualnie jednakowe źródła napięcia.

Czego się nauczyliśmy? Podsumowanie Wiemy co to jest zasada superpozycji i jak ją stosować w teorii obwodów (metoda superpozycji), Poznaliśmy bardzo ważne twierdzenie Thevenina (i stowarzyszone z nim twierdzenie Nortona), które sprowadza dwójnik aktywny do rzeczywistego źródła napięcia, ułatwiając przez to analizę wielu różnych zagadnień. Poznaliśmy kilka twierdzeń pomocniczych o pomniejszym znaczeniu, które nie zmieniając rozpływu prądów pozwalają na takie przekształcenie obwodu, aby był on łatwiejszy do analizy. Dowiedzieliśmy się, jakie są skutki połączenia szeregowego i równoległego różnych źródeł.