Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo ogólne określenie wielu pojęć matematycznych, służących do - mówiąc w uproszczeniu - mierzenia szansy zajścia zdarzenia.

Reguła mnożenia Jeśli zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to liczba różnych par (x,y), takich, że x € A oraz y € B, jest równa m ∙ n. Jeżeli pewien wybór polega na podjęciu n decyzji, przy czym pierwszą decyzję można podjąć na k1 sposobów, drugą – na k2 sposobów, …, n-tą – na kn sposobów, to takiego wyboru można dokonać na k1 ∙ k2 ∙ … ∙ kn sposobów. Michał planuje odrabianie pracy domowej. W tym dniu ma do przygotowania tematy z języka polskiego, matematyki i historii. Zastanawia się, w jakiej kolejności uczyć się tych przedmiotów. Aby lepiej zaplanować pracę, postanowił policzyć, ile ma możliwych ustawień kolejności przedmiotów. Zilustrował ustawianie tych przedmiotów na tzw. „drzewku”, pokazując możliwości ustawień kolejno na pierwszym, drugim i trzecim miejscu. Widzimy, że jako pierwszy przedmiot Michał może wybrać każdy z zadanych. Ma więc trzy możliwości. Przy każdym wyborze pierwszego przedmiotu, jako drugi może wybrać jeden z dwóch pozostałych, czyli ma dwie możliwości. Przy wyborze trzeciego przedmiotu ma tylko jedną możliwość.   Zatem Michał może odrabiać lekcje wybierając kolejność przedmiotów na   sposobów. Odp.: 6 sposobów.

Zadanie

Zadanie

Permutacja Liczba sposobów, na które n 1 różnych elementów można ustawić w ciągu, jest równa n! Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru oraz musi spełniać następujące warunki: - każda permutacja obejmuje wszystkie dane elementy, - istotna jest tylko kolejność elementów permutacji. Z permutacjami zbioru mamy do czynienia wówczas, gdy porządkujemy elementy tego zbioru. Permutacja to każde ustawienie wszystkich elementów zbioru w dowolnej kolejności. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące permutacje:  (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).

Permutacje dzielimy na: Bez powtórzeń- Permutacją bez powtórzeń zbioru złożonego z n różnych elementów nazywamy każdy n wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich wyrazów zbioru. Wszystkich możliwych permutacji zbioru n-elementowego jest: - przykład:  Elementy zbioru można ustawić w ciąg na sposobów:

Z powtórzeniami- rozpatruje przypadki, gdy ilość powtórzeń danego elementu jest ściśle określona. Permutacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego, nazywamy każdy ciąg n-wyrazowy utworzony z elementów tego zbioru, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio n1, n2, ..., nk razy. Liczba permutacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio n1, n2, ..., nk razy wyraża się wzorem Pn n1, n2, ..., nk = n! n1! n2! ... nk! Przykład: jeżeli spośród elementów: a, b i c, element a weźmiemy dwa razy, element b jeden raz i element c jeden raz, możemy utworzyć następujące permutacje z powtórzeniami. {a, a, b, c}, {a, a, c, b}, {a, b, a, c}, {a, b, c, a}, {a, c, a, b}, {a, c, b, a}, {b, a, a, c}, {b, a, c, a}, {b, c, a, a}, {c, a, a, b}, {c, a, b, a}, {c, b, a, a}.

Zadanie W rajdzie pieszym uczestniczy grupa młodzieży składająca się z 5 harcerek i 4 harcerzy. wszyscy maszerują gęsiego. ile istnieje sposobów ustawienia się, jeżeli harcerze nie mogą sąsiadować z harcerzami, a harcerki z harcerkami. Rozwiązanie: 0 – dziewczynki x - chłopcy Jedyne możliwe ustawienie, aby dziewczynki nie był koło dziewczynki jest: 0x0x0x0x0 Więc: 5!*4!=120*24=2880 Odp.: Jest 2880 takich ustawień

Zadanie W przedziale wagonu kolejowego ustawione są naprzeciw siebie dwie kanapy mające po cztery miejsca. Wszystkie siedzące miejsca w przedziale zostały zajęte. Na ile różnych sposobów mogą usiąść pasażerowie, jeżeli wiadomo, że mogą zmienić miejsca tylko na kanapie, na której siedzą?  Rozwiązanie: 4!*4!= 1*2*3*4*1*2*3*4= 576 Odp. Mogą zmienić miejsce na 576 sposobów.

Zadanie Do autobusu wchodzą 3 kobiety i 2 mężczyzn, przy czym kobiety wchodzą przed mężczyznami. Jaka jest liczba sposobów, na jakie te osoby mogą wsiąść do pojazdu wynosi. Rozwiązanie: 3!*2!= 12 Odp. Osoby mogą wsiąść na 12 sposobów.

Zadanie Do windy stojącej na parterze w budynku ośmiopiętrowym wsiadło 5 osób. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszystkie osoby wysiądą na różnych piętrach.  Rozwiązanie: Każda z 5 osób może wysiąść na 8 różnych piętrach, więc pierwsza wybiera piętro na 8 sposobów, druga na 7... i tak dalej, czyli możliwości jest  . Moc omega =85 Aby każda osoba wyszła na innym piętrze, pierwsza może wybrać jedno piętro z 8, druga już tylko z 7 (bo nie może wybrać tego, które wybrała pierwsza osoba), trzecia wybiera z 6 i tak do piątej osoby. Moc zbioru A = 8*7*6*5*4 A- zd. Że wszystkie osoby wysiądą na różnych piętrach. P(A)= 8*7*6*5*4/ 85=

Wariacja bez powtórzeń Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego A (1 ≤ k ≤ n) nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie). Gdy k=n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją.

Zadanie

Zadanie

Wariacje z powtórzeniami Każdy k-wyrazowy ciąg, w którym wyrazy mogą się powtarzać, utworzony z elementów zbioru A, nazywamy k-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru A. Wszystkich k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest n!.

Zadanie W urnie znajduje się 8 ponumerowanych kul od 1 do 8. Losujemy kolejno 3 kule, zwracając je za każdym razem do urny po zapisaniu ich numerów. Ile liczb trzycyfrowych możemy w ten sposób otrzymać? Rozwiązanie: Przyjmijmy, że numer pierwszej wylosowanej kuli jest cyfrą setek, drugiej cyfrą dziesiątek, trzeciej kuli cyfrą jedności. Zatem w tym przypadku wszystkich możliwości utworzenia liczb jest: Odpowiedź: Wszystkich możliwych liczb spełniających warunki zadania jest 512.

Zadanie Ile różnych wyników możemy otrzymać rzucając trzy razy monetą? Rozwiązanie: Wynikiem rzutu monetą może być orzeł (ozn. o) lub reszka (ozn. r). Otrzymane wyniki możemy przedstawić w postaci następujących ciągów (0, 0, 0), (0, 0, r), (0, r, 0), (0, r, r), (r, 0, 0), (r, 0, r), (r, r, 0), (r, r, r). Są to 3-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru dwuelementowego i jest ich wszystkich 8. Odpowiedź: Wszystkich możliwych wyników trzykrotnego rzutu monetą jest 8.

Zadanie Na ile różnych sposobów można włożyć pięć różnych przedmiotów do trzech szuflad? Rozwiązanie: Ponumerujemy szuflady od 1 do 3, a przedmioty oznaczmy literami A, B, C, D i E. Umieszczając każdy z pięciu przedmiotów w jednej z szuflad, przyporządkujemy mu numer szuflady, do której został włożony. Zapisując kolejno numery wybranych szuflad tworzymy 5-wyrazowe ciągi zbioru {1, 2, 3}, np. (1, 1, 2, 3, 2), (2, 2, 2, 3, 1), itp. Kolejność wyrazów jest ważna, wyrazy mogą się powtarzać, zatem mamy do czynienia z 5-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami zbioru 3-elementowego i jest ich: Odpowiedź: Pięć różnych przedmiotów można umieścić w trzech szufladach na 243 różne sposoby.

Kombinacje Definicja: Kombinacją k-elementową utworzoną ze zbioru n-elementowego (k ≤ n) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru.

Kombinacje spełniają następujące warunki: - obejmują jedynie określoną liczbę k spośród danych n elementów. - nie jest istotna kolejność elementów kombinacji.

Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące dwuelementowe kombinacje: {a, b}, {a, c}, {b, c}.

Wzór: Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: C

Zadanie Na ile sposobów można wybrać cztery karty z talii pięćdziesięciu dwóch kart?

Rozwiązanie: Z talii kart losujemy cztery karty i w wyniku otrzymujemy czteroelementowy podzbiór zbioru 52 kart. Mamy do czynienia z czteroelementowymi kombinacjami zbioru pięćdziesięciodwuelementowego.

Zadanie Iloma sposobami można rozdzielić cztery jednoosobowe zaproszenia między dziesięć osób?

Rozwiązanie: Możliwości rozdzielenia czterech biletów między dziesięć osób jest tyle, ile kombinacji czteroelementowych zbioru dziesięcioelementowego, to znaczy

Zdarzenie losowe to pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu Zdarzenie losowe to pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu. Może to być zarówno zbiór składający się z pojedynczego wyniku jak i zbiór złożony z większej ilości elementów. Zdarzenia losowe rozważa się w rachunku prawdopodobieństwa.

Zadanie Dany jest zbiór cyfr {2,3,5,6}, które są numerami z dziennika wzorowych uczniów pewnej klasy. Z uczniów tych należy wybrać dwuosobową delegację (np. mogą ją tworzyć osoby o numerach: {2,3}, {5,3}, {5,6}). Na ile sposobów można to zrobić? Przy zastosowaniu algorytmu odpowiedź na pytania brzmi: NIE czyli do rozwiązania zadania wykorzystujemy wzór na kombinacje bez powtórzeń:

ZADANIE 2 Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 8 kart. Ile jest możliwych wyników losowania, w których są dokładnie 2 walety i 4 damy. Dwa walety można wybrać na: sposobów. Do tego bierzemy 4 damy, i musimy jeszcze dobrać 2 karty z pozostałych 44 kart (bez waletów i dam) – to możemy zrobić na: sposobów. W sumie mamy więc: możliwości.

Zadanie Na przyjęciu spotkała się pewna liczba znajomych. Wszyscy znajomi przywitali się podaniem ręki. Nastąpiło 10 powitań. Ilu przyjaciół się spotkało? Jeżeli znajomych było n to wszystkich powitań było:   Otrzymujemy równanie: Liczymy wyróżnik i pierwiastki: Liczba osób jest większa od 0, więc na przyjęciu spotkało się pięcioro przyjaciół.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Zadanie

Rozwiązanie:

Zadanie

Rozwiązanie:

Zadanie

Rozwiązanie:

Zadanie

Rozwiązanie:

Rozkład prawdopodobieństwa

Definicja Rozkład prawdopodobieństwa, jedno z podstawowych pojęć rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. Rozkład prawdopodobieństwa danej zmiennej losowej jest to funkcja przyporządkowująca wartościom zmiennej losowej prawdopodobieństwa przyjęcia danej wartości przez tę zmienną. Rozkład prawdopodobieństwa może być dyskretny (gdy zmienna losowa opisana jest przez liczby całkowite) lub ciągły (gdy zmienna losowa przyjmuje wartości rzeczywiste). Dla ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa określa się funkcję gęstości prawdopodobieństwa, z której całka oznaczona w granicach a, b równa jest prawdopodobieństwu tego, że zmienna losowa należy do przedziału (a, b). Suma rozkładu (dla rozkładów dyskretnych) lub całka po całym obszarze zmienności zmiennej losowej (dla rozkładów ciągłych) równe są 1. Przykłady dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa to: rozkład równomierny (może on być również rozkładem ciągłym), rozkład Poissona, rozkład dwumianowy itp. Przykładami rozkładów ciągłych są: rozkład Gaussa, rozkład Rayleigha, rozkład logarytmicznie-normalny (tj. rozkład sprowadzający się do rozkładu Gaussa po zlogarytmowaniu wartości zmiennej niezależnej).

Zadanie Rozkład prawdopodobieństwa dla doświadczenia polegającego na rzucie pewną niesymetryczną kostką podano w tabeli. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w rzucie tą kostką parzystej liczby oczek, a jakie nieparzystej?  Rozwiązanie: A- zdarzenie, że wypadnie parzysta oczek B- zdarzenie, że wypadnie nieparzysta liczba oczek P(A)=1/4+1/10+0= P(B)=1/2+1/10+1/20= omega i 1 2 3 4 5 6 pi 1/2 1/4 1/10 1/20

Zadanie W doświadczeniu losowym, polegającym na rzucie czworościenną kostką o numerach na ściankach: 1, 2, 3, 4; liczba 3 wypada dwa razy częściej niż każda inna. Określ rozkład prawdopodobieństwa dla czterech zdarzeń elementarnych. Rozwiązanie: Liczba 3 wypada dwa razy częściej niż każda inna, oznacza to, że prawdopodobieństwo musimy obliczyć dla 5 rzutów: tak by łączna liczba rzutów mogła zawierać po jednym trafieniu dla liczb 1, 2, 3 oraz dwa trafienia dla liczby 3: Rozkład prawdopodobieństwa:

Zadanie Uzupełnij brakującą wartość w rozkładzie prawdopodobieństwa dla przestrzeni zdarzeń elementarnych, polegających na wylosowaniu jednej z liter, podanych w poniższej tabeli rozkładu prawdopodobieństwa: Rozwiązanie:

Własności prawdopodobieństwa Definicja prawdopodobieństwa klasycznego: Jeżeli Ω jest zbiorem skończonym i niepustym, to prawdopodobieństwem zdarzenia A c Ω nazywamy liczbę:

Własności prawdopodobieństwa: Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, na którym został określony rozkład prawdopodobieństwa P, oraz niech A, B, c Ω. Wówczas: 1. oraz 2. , 3. jeśli A c B, to P(A) P(B) 4. P(Aʹ) = 1 – P(A)

Twierdzenia: Dla dowolnych zdarzeń A, B c Ω mamy: P (A υ B) = P(A) + P(B) – P(A n B ). Jeśli zdarzenia A, B c Ω wykluczają się ( A n B ) = Ф, to P ( A υ B ) = P(A) + P(B).

Zadanie 1. Rzucamy raz symetryczną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby oczek: Większej od 2; różnej od 5. Ad. a) |Ω| = 6 Zdarzenie A – liczba oczek większa od 2 A = { 3, 4, 5, 6} |A| = 4 P(A)=

Ad. b) Zdarzenie B- liczba różna od 5 B = { 1, 2, 3, 4, 6} |B|= 5 P(B) = Odpowiedz: P(A) = , P(B) =

Zadanie Rzucamy cztery razy symetryczną monetą Zadanie Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wypadła parzysta liczba reszek. Ω- cztery rzuty monetą |Ω|= 2⁴ = 16 A – zdarzenie, że wypadła parzysta liczba reszek |A|= 7 P(A) = Odp. P(A)=

Zadanie Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania spośród wszystkich liczb trzy cyfrowych liczby, której suma cyfr jest równa 2. Ω - liczby trzycyfrowe |Ω|= 999-99=900 A-zdarzenie takie, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 2 A= { 101, 110, 200} |A|= 3 P(A)= 3/900= 1/300 Odp. P(A)= 1/300

Zadanie W dwudziestoosobowej klasie, w której jest 8 dziewcząt, rozlosowano 6 biletów do kina. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że bilety otrzymają dokładnie 3 dziewczęta. 8 – dziewcząt 12 – chłopaków Ω- liczba sposobów na które można wybrać 6 osób spośród 20. |Ω|= C

A- zdarzenie, że 3 bilety otrzymają dziewczyny. P(A) = = .

Zadania z prawdopodobieństwa (poziom rozszerzony)

Zadanie Rzucono 2 razy sześcienną kostką do gry i określono zdarzenia: A – na obu kostkach wypadły co najwyżej 4 oczka, B – iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 12. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A U B

Odp. P(AUB) wynosi 0,5..

Zadanie Oblicz, ile razy należy rzucić kostką do gry, aby prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej raz 6 oczek było większe od .

Odp. Należy rzucić co najmniej 5 razy. . A – zd. wyrzucenia co najmniej raz 6 oczek. Odp. Należy rzucić co najmniej 5 razy. .

Zadanie 3. Na loterię przygotowano 20 losów, w tym 3 losy wygrywające. Oblicz prawdopodobieństwo, że przy zakupie trzech losów otrzymamy dwa losy puste i jeden wygrywający.

Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi .

 ZADANIE Z urny, w której znajdują się 4 ponumerowane kule białe i 3 czarne, losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: obie wylosowane kule będą białe, dokładnie jedna z wylosowanych kul będzie biała.

I sposób - stosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa Oznaczmy: b1, b2, b3, b4 - kule białe c1, c2, c3 - kule czarne Opisujemy przestrzeń  zdarzeń elementarnych: ={w={x1, x2}: x1, x2 { b1, b2, b3, b4, c1, c2, c3}} Opisujemy również zdarzenia A i B: A={w={x1, x2}: x1, x2 { b1, b2, b3, b4}} B={w={x1, x2}: x1 { b1, b2, b3, b4} i x2 { c1, c2, c3}}

II sposób – za pomocą działań na zdarzeniach   Wprowadzamy zdarzenia (pomocnicze): C1 – pierwsza z wylosowanych kul będzie biała, C2 – druga z wylosowanych kul będzie biała,

III sposób – „drzewko” Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania obydwu kul białych wynosi , prawdopodobieństwo, że dokładnie jedna z wylosowanych kul będzie biała wynosi .

ZADANIE W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 czarne ZADANIE   W urnie znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Losujemy 5 kul na następujące sposoby: a) wszystkie jednocześnie, b) po jednej ze zwracaniem, c) po jednej bez zwracania.   Oblicz przy każdym sposobie losowania prawdopodobieństwo otrzymania 3 kul białych i 2 czarnych.  

Oznaczamy: b1, b2, ..., b6 – kule białe, c1, c2, c3, c4 - kule czarne. Niech: A –zdarzenie polegające na otrzymaniu 3 kul białych i 2 czarnych A = n(A) = P(A) =

b) . Gdzie oznacza ilość wszystkich możliwych sytuacji

c) Uwaga: Żaden z podpunktów tego zadania nie został rozwiązany przy pomocy „drzewka”. Jest to możliwe, lecz dość uciążliwe, ponieważ trzeba rysować aż pięć pięter drzewka.

Bibliografia Testy Maturalne Matematyka, wyd. Aksjomat pod red. Z.Bobiński, Toruń 2009 MATeMAtyka, wyd. Nowa era pod red. Katarzyna Radzimińska, Warszawa 2009 Zbiór Zadań z matematyki dla szkół średnich, wyd. Harmonia, J. Kujawa, Gdańsk 1995 Matura w kieszeni, wyd. SFS Kielce, G.Treliński, J.Górowski, A.Łomnicki, 2000 http://matematyka.pisz.pl/ http://www.zadania.info/ http://www.matemecum.pl/zadania-maturalne/

71