Estymatory parametru samoafiniczności procesów o długiej pamięci SENAMEK Sebastian Michalski Szkoła Główna Handlowa Warszawa, 25.05.2004 smicha@sgh.waw.pl Estymatory parametru samoafiniczności procesów o długiej pamięci Microsoft PowerPoint 2003 Poprzednie wersje mogą nie wyświetlać animacji

Wymiar przestrzeni euklidesowej Liczba przypisana (zbiorowi) przestrzeni w taki sposób, aby punkt miał wymiar = 0, prosta wymiar = 1, płaszczyzna wymiar = 2; przestrzeń = 3. Liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu w zbiorze. W algebrze liniowej: n = dim(V) liczba będąca mocą jej bazy — n liniowo niezależnych wektorów rozpinających przestrzeń, a dowolny układ n+1 wektorów jest liniowo zależny.

Przestrzeń topologiczna Uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej: Przypisanie przestrzeni (zamiast odległości) rodziny zbiorów (topologii), którą stanowią sumy (również nieskończone) kul otwartych (zbiorów punktów odległych od środka o mniej niż promień) Wymiar topologiczny – wymiar pokryciowy Henri Lebesque Pokrycie obiektu przez DE wymiarowe kule o odpowiednio małym promieniu wymaga niepustego przecięcia minimalnie DT+1 kul. [Addison,1997]

Przestrzeń topologiczna Zachowanie własności homeomorficznych przestrzeni Homeomorfizm to funkcja z jednej przestrzeni topologicznej w drugą mająca następujące własności: wzajemna jednoznaczność (bijekcja) ciągłość (przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w Y jest zbiorem otwartym w X) otwartość (obraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym) Przekształcenie, które może dowolnie rozciągać i wyginać obiekt, ale które nie może robić w nim "dziur" ani go rozrywać. Liczba „dziur” i przecięcie są niezmiennikami – nie mogą zostać zniszczone ani utworzone.

Przestrzeń topologiczna Przykład:

Przestrzeń topologiczna Przykład: Litery i cyfry pogrupowane w klasy równoważności homeomorfizmu A R (A jest homeomorficzne z R) B 8 C I J L G V Z S W N M 2 3 5 7 E F T Y D O 0 P 9 H K X 4

Wymiar fraktalny Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1878 – bijektywne, ale nie ciągłe przekształcenie z odcinka jednostkowego [0,1] w kwadrat jednostkowy [0,1] x [0,1] 1890 - Giuseppe Peano 1891 - David Hilbert ciągłe, surjektywne ale nie injektywne przekształcenie z odcinka jednostkowego [0,1] w kwadrat jednostkowy [0,1] x [0,1]

Wymiar fraktalny Luitzen Egbertus Jan Brouwer 1911 – dowód: nie istnieje n wymiarowa jednostkowa kostka In = [0,1]n , która jest homeomorficzna z kostką m wymiarową Im = [0,1]m , n ≠ m. Felix Hausdorff 1919 – wymiar Hausdorffa Benoit Mandelbrot 1977 – fraktal: obiekt, dla którego wymiar Hausdorffa przekracza jego wymiar topologiczny

Wymiar fraktalny Wymiar samopodobieństwa Mierzy ilość przestrzeni wypełnionej przez obiekt Dzielimy hiperprzestrzenny V* obiekt na N jednakowych części, które są samopodobne (miniatury całości) o długości ε. [Strecker, 2004]

Wymiar fraktalny Wymiar samopodobieństwa Przykład: Zbiór Cantora (1873)

Wymiar fraktalny Wymiar pojemnościowy, pudełkowy (box-counting)

Wymiar fraktalny Wymiar pojemnościowy, pudełkowy (box-counting)

Ruch Browna i ułamkowy ruch Browna Ruch Browna to funkcja B(t), taka że, dla Δt ΔB(t) są: niezależne, izotropiczne, losowe. H=1/2 dla ruchu Browna Stopień zintegrowania: Wymiar fraktalny:

Ruch Browna Ułamkowy ruch Browna ścieżki H=1/2 1827 – R. Brown 1900 – L.Bachelier 1905-06 A. Einstein i M. Smoluchowski 1923 – N. Wiener H>1/2 H<1/2 Ułamkowy ruch Browna

Ułamkowy ruch Browna

Ułamkowy szum gaussowski

Samopodobieństwo a samoafiniczność

Estymatory H Analiza przeskalowanego zakresu R/S Analiza dyspersionalna (dla fGn) Metoda wymiaru fraktalnego Analiza przeskalowanej wariancji w oknie Metody spektralne Estymatory autokorelacyjne

Estymatory H Partycje i okna m obserwacji k=1 k=2 D.C. Caccia, D. Percival, M.J. Cannon, G. Raymond, J.B. Bassingthwaighte, 1997

Przeskalowany zakres R/S [W. Feller , 1951] Modyfikacje z trendem, bez trendu 10-point pox, Multipox Lo, 1991 [H.E. Hurst , 1951] [H.E. Hurst, R.P. Black, Y.M. Simaiki, 1965] [B.B. Mandelbrot, J.R. Wallis,1968] [A.A. Annis, E.H. Lloyd, 1976] [J. Purczyński, 2003]

Przeskalowany zakres R/S

Przeskalowany zakres R/S

Analiza dyspersjonalna Metoda absolutnych momentów (AM) n=1: metoda absolutnej średniej n=2: metoda zagregowanej wariancji J.B. Bassingthwaighte, R.B. King, S.A. Roger, 1989 H.E. Schepers, J.H.G.M. van Beek, J.B. Bassingthwaighte, 1992 D.C. Caccia, D. Percival, M.J. Cannon, G. Raymond, J.B. Bassingthwaighte, 1997

Różnicowanie wariancji + AM (DW+AM) Zmiany strukturalne – skoki „średniej” i powoli wygasające trendy jako pozorna długa pamięć: wykładnicza AM o ujemnym wyrazie wolnym [Teverovsky, Taqqu, 1997]

Metoda Wymiaru Fraktalnego – Higuchi’ego (H) [T. Higuchi, 1988, 1990]

Scaled Windowed Wariance - Standard (SWV-S) [B.B. Mandelbrot, 1985] Average Genralized Roughness (AGR) [J.G. Moreira, J. Kamphorst Leal da Silva, S.O. Kamphorst, 1994] Variable Bandwidth Method (VBM) [J. Schmittbuhl, J.P. Vilotte, and S. Roux, 1995] Scaled Windowed Wariance - Linear Detrended (SWV-L) Detrended Fluctuation Analysis (DFA) [C.K. Peng, S.V. Buldyrev, M. Simons, H.E. Stanley, A.L. Goldberger, 1994] Roughness Around the Root Mean Square Line (RARMSL) Residuals of Regression [M.S. Taqqu, V. Teverovsky, W. Willinger, 1995]

Metody spektralne Metoda periodogramu f – częstotliwość, (najmniejszych 10%) GPH [J. Geweke, S. Porter-Hudak,1983] Zmodyfikowana metoda periodogramu (MP) Częstotliwości są grupowane w równoodległe na skali log-log grupy i uśredniane. Estymacja: ucięta MNK (least-trimmed) – użycie połowy najmniejszych reszt (nie spełnia oczekiwań) [Taqqu, Teverovsky, Willinger 1996,1997] Metoda zwężonego periodogramu (tapered) (TGPH) Zmiany strukturalne a długa pamięć: jeżeli TP nie potwierdza długiej pamięci to wystąpiły zmiany strukturalne [P.Sibbertsen, 2002]

Metody spektralne Metoda periodogramu

Metody spektralne Średni skumulowany periodogram (ACP) - niskie częstotliwości z gładkiej części periodogramu Dla małych k zachodzi: MNK, ale nie graficznie – na skali log-log F nie jest liniowa [Taqqu, Teverovsky 1997]

Metody spektralne Estymator Whittle’a Zagregowany estymator Whittle’a - funkcja gęstości spektralnej o częstotliwości f Minimalizacja ze względu na Zagregowany estymator Whittle’a agregacja skraca szereg i zwiększa wariancję estymatora ale zachowuje właściwości fGn [Taqqu, Teverovsky 1995]

Estymatory autokorelacyjne Metoda Kettaniego i Gubnera [H. Kettani, J. Gubner, 2002]

Metoda Kettaniego i Gubnera [P.Ciżkowicz, w druku, NBP 2004]

Generatory Rekurencyjna metoda Hoskinga Generator Davisa i Harte’a (1987) Generator Vern Paxsona (1995) Metoda Syntezy Spektralnej Metoda Losowych Składników

Właściwości estymatorów

Właściwości estymatorów R/S – najbardziej obciążony z estymatorów o dużej wariancji: przeszacowuje wartość H o 0,15 dla H<0,7 i niedoszacowuje dla H>0,7. Dla N<128 jest niewiarygodny: H=0,5: P(0,2<H<0,8)=0,9 Metody dyspersjonalne – małe obciążenie (+-0,01) i efektywne. Możliwość wykrycia zmian strukturalnych Przeskalowana wariancja – małe obciążenie (+-0,01) i efektywne, Wymaga szeregów o długości 2^9 Higuchi – bardzo pracochłonne (komputerowo) Spektralne – brak obciążenia i efektywne (oprócz GPH). Możliwość wykrycia zmian strukturalnych Kettani Gubner– bardzo prosty, szybki, nieobciążony (dla H<0,8) i efektywny nawet dla szeregów 2^6.

Rynek kapitałowy 05.2002- 04.2004, 2^9 obs. WIG20 0,58 WIG 0,61 WIG-Budownictwo 0,64 WIG-Banki 0,60 WIG-Spożywczy 0,74 WIG-Informatyka 0,54