MATEMATYKAAKYTAMETAM TAM GDZIE PROSTE SĄ KRZYWE, CZYLI GEOMETRIE NIEUKLIDESOWE. Weronika Ulatowska Andżelika Wysocka
GEOMETRIA EUKLIDESOWA Klasyczna odmiana geometrii opisana przez Euklidesa. Geometria „przestrzeni płaskich”, czyli takich o krzywiźnie zerowej. Euklides wyróżnił 5 pewników płaszczyzny.
5 PEWNIKÓW PŁASZCZYZNY Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą). Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości. Wszystkie kąty proste są przystające. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.
POSTULAT RÓWNOLEGŁOŚCI Dla geometrii na płaszczyźnie piąty z pewników, tzw. Postulat Euklidesa, można sformułować: „przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną z daną prostą”.
„INNE” GEOMETRIE Piąty postulat spowodował powstanie wielu niejasności. W XIX wieku okazało się, że jest on niezależny od pozostałych, a zastąpienie go innymi daje inne spójne geometrie. Dotychczas znaną geometrię nazwano euklidesową, a nowe – nieeuklidesowymi. Można je sobie wyobrażać jako geometrie przestrzeni „wypukłych” lub „wklęsłych”, tzn. pierwsza z nich ma krzywiznę ujemną, druga – dodatnią.
GEOMETRIA NIEEUKLIDESOWA Geometria nieeuklidesowa – geometria, która nie spełnia co najmniej jednego z pewników geometrii euklidesowej. Przykłady geometrii nieeuklidesowych: Geometria hiperboliczna (siodła, Łobaczewskiego) Geometria sferyczna (eliptyczna)
GEOMETRIA HIPERBOLICZNA Geometrię hiperboliczną otrzymuje się z geometrii euklidesowej w wyniku zastąpienia pewnika o prostych równoległych postulatem hiperbolicznym: "Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie mające wspólnych punktów z tą prostą."
FAKTY I TWIERDZENIA Przez punkt poza prostą można poprowadzić dwie, a nawet nieskończenie wiele prostych nie przecinających danej. Dla dowolnego kąta istnieje prosta równoległa do obu jego ramion. Prosta ta nazywa się prostą zagradzającą kąta. Suma rozwartości kątów trójkąta jest mniejsza niż π. Trójkąty o kątach odpowiednio tej samej rozwartości są do siebie przystające. W geometrii euklidesowej spełnienie tego warunku gwarantuje jedynie podobieństwo.
GEOMETRIA SFERYCZNA Rezygnacja z postulatu równoległości geometrii euklidesowej daje możliwość przyjęcia, że przez punkt nieleżący na danej prostej nie przechodzi żadna prosta rozłączna z daną (drugą możliwością jest przyjęcie, iż takich prostych może być więcej niż jedna). W konsekwencji każde dwie proste przecinają się w pewnym punkcie, przez co brak tu pojęcia równoległości.
MODEL SFERYCZNY Punktem geometrii eliptycznej jest para dwóch punktów leżących po przeciwnych stronach wybranej sfery. Płaszczyzną jest zbiór wszystkich takich par. Prostą zbiór takich par na kole wielkim przecinającym sferę. Odcinkiem, czyli najkrótszym łukiem między dwoma punktami, jest zawsze łuk koła wielkiego , Suma kątów w trójkącie sferycznym jest zawsze większa od 180°.
RÓŻNE GEOMETRIE PORÓWNANIE
DWIE PROSTE RÓWNOLEGŁE
GEOMETRIA płaszczyzna punkt odcinek kąt EUKLIDESOWA SFERYCZNA HIPERBOLICZNA
TRÓJKĄT W GEOMETRII: EUKLIDESOWEJ SFERYCZNEJ HIPERBOLICZNEJ
KONIEC
ZA POMOC DZIĘKUJEMY: Wujkowi Google Cioci Wikipiedii i innym