Rzut równoległy Rzuty Monge’a - część 1 dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Utwory zasadnicze przestrzeni rzutowej Szereg punktów – zbiór wszystkich punktów A, B, C, ..., P leżących na prostej rzutowej. Oznaczamy: p(A, B, C, ..., P ), gdzie p – podstawa szeregu, punkty A, B, C, ..., P - elementy szeregu. A B C p Pęk płaszczyzn: p(, , , ...), przechodzących przez jedną prostą rzutową p –oś pęku, Płaszczyzny , , , ... – elementy pęku Pęk prostych: W(a, b, c, ...), W – wierzchołek pęku, proste a, b, c, ... – elementy pęku W  a b c  p       p W a b c Przestrzeń rzutowa – zbiór wszystkich punktów, prostych i płaszczyzn rzutowych. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Utwory zasadnicze i przekształcenia rzutowe Układ płaski – zbiór wszystkich punktów i wszystkich prostych należących do danej płaszczyzny Wiązka – zbiór wszystkich prostych i wszystkich płaszczyzn przechodzących przez dowolny punkt (właściwy lub niewłaściwy)  W   l    W b a Między utworami można ustalić zależności geometryczne przekształcając elementy jednego zbioru w elementy drugiego zbioru, np. można złożyć kilka kolejnych przekształceń układ płaski[1]  wiązka [S1]  układ płaski [2]  układ płaski[1]  wiązka [S2] itd.... Taką zależność miedzy układami płaskimi nazywamy przekształceniem homologicznym lub rzutowym. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Kolineacja środkowa Kolineacja środkowa Niech dane będą dwa układy płaskie [1]:A1, B1, ...,a1, b1,... oraz [2]: A2, B2, ...,a2, b2,... . Jeżeli zachodzą następujące zależności: Każdemu punktowi A1 układu płaskiego [1] jest przyporządkowany w układzie płaskim [2] jeden i tylko jeden punkt A2 i na odwrót. Przyporządkowane sobie punkty A1 i A2 przynależą do jednego promienia wiązki [S]. Każdej prostej a1 układu płaskiego [1] jest przyporządkowana w układzie płaskim [2] jedna i tylko jedna prosta a2, i na odwrót. Przyporządkowane sobie proste a1 i a2 przynależą do jednej płaszczyzny , wiązki [S], a zatem proste a1 i a2 przecinają się w punkcie I na krawędzi k = 1  2. Jeżeli punkt A1 i prosta a1 układu płaskiego [1] przynależą do siebie, to przyporządkowane im odpowiednio elementy A2 i a2 w układzie płaskim [2] również przynależą do siebie, to mówimy, że między tymi układami zachodzi kolineacja środkowa. k Kolineacja środkowa między układami płaskimi jest określona, jeśli jest dany środek kolineacji S, oś kolineacji k i para przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji albo trzy pary przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Powinowactwo osiowe Jeśli środek kolineacji S jest punktem niewłaściwym to mówimy o powinowactwie osiowym, a prostą k nazywamy osią powinowactwa. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Niezmienniki rzutu równoległego: przynależność elementów współliniowość punktów stosunek podziału odcinka równoległość prostych kąty i wymiary figur płaskich równoległych do rzutni 4. k a b’ b a’  Jeżeli punkt leży na prostej, to rzut tego punktu leży na rzucie tej prostej. 1. 2. A’ k A C C’ B B’  5. A’ k A C C’ B B’  Figura płaska równoległa do rzutni i jej rzut są figurami przystającymi. 3. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Rzuty prostokątne Rzut cechowany Rzut prostokątny- widok z góry http://www.mum.pl/p_bib_mum_arch1.htm J. Waligórski, Zasady i zastosowania rzutu cechowanego, WNT, 1961 dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Geometria wykreślna To dział geometrii zajmujący się sposobami przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. Z niej wywodzi się tzw. rysunek techniczny maszynowy i korzysta też współczesna grafika inżynierska. Rysunek techniczny maszynowy - konwencja graficznego przedstawiania urządzeń mechanicznych, szczególny przypadek rysunku technicznego. Garpard Monge - ojciec geometrii wykreślnej (XIX w.). Idea rzutu polega na przedstawieniu przestrzeni trójwymiarowej z co najmniej dwóch różnych kierunków widzenia. Dzięki temu położenie obiektów geometrycznych takich jak punkt i większości prostych staje się jednoznaczne i możliwe do odwzorowania na kartce papieru. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Rzuty Monge’a – rzut punktu Rzuty prostokątne na dwie wzajemnie prostopadłe rzutnie: 1 i 2. 1 – rzutnia pozioma 2 – rzutnia pionowa Po rozłożeniu rzutni (sprowadzeniu przez obrót wokół osi x o 900 do jednej płaszczyzny) mamy: I II III IV 2 x A’’ A’ A’’ h 900 A x g A’ 1 A’ – rzut poziomy punktu A A’’ – rzut pionowy punktu A Odległość punktu od rzutni: poziomej nazywamy wysokością i oznacza się literą "h", od rzutni pionowej nazywamy głębokością i oznacza się "g". Aby na podstawie rzutu można było określić wymiary przedmiotu stosuje się często rzuty danego przedmiotu na trzy rzutnie, które są wzajemnie prostopadłe. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Rzuty prostej w położeniu ogólnym W rzutach mamy: 1 – rzutnia pozioma 2 – rzutnia pionowa x a’’ a’ V=V’’ V’ H’’ H=H’ I II III IV 2 a’’ V=V’’ a V’ H’’ x a’ H=H’ 1 Prosta a przechodzi przez IV, I i II ćwiartkę dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Rzut prostej w rzutach Monge’a B’’ x C’ A’’ B’ c’ a’ p’ n’ A’ m’ Proste: a – w położeniu ogólnym (przechodzi przez 3 ćw. przestrzeni: IV, II, I) p – pozioma ( p1) w I i II ćw. c – czołowa ( p2) w I i IV ćw. m – celowa (p2) w I i II ćw. n – pionowa (p1) w I i IV ćw. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Wzajemne położenie prostych x a’’ a’ b’’ b’ A’’ A’ r’’ r’ q’’ q’ 1’’=2’’ 2’ 1’ Proste: a, b - przecinające się Proste: m, n - równoległe Proste: q, r - skośne dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Płaszczyzna Rzutem płaszczyzny w rzucie równoległym jest płaszczyzna. Rzuty płaszczyzny: a(A,B,C) a’’ 2 x A’’ A’ B’ B’’ C’ C’’ a x a’ 1 Płaszczyznę w rzutach możemy określić za pomocą jednej z poniższych możliwości: trzech niewspólniniowych punktów, a(A,B,C) punktu i prostej nie przynależnych do siebie, a(A,a) dwóch prostych równoległych, a(a,b), a ll b dwóch prostych przecinających się a(a,b) dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Rzuty płaszczyzn: poziomej i poziomo rzutującej Rzuty płaszczyzny Płaszczyzna może przechodzić przez 3 lub 2 ćwiartki przestrzeni. Jeśli płaszczyzna: tworzy kąty ostre z płaszczyznami układu to mówimy, że jest w położeniu ogólnym, jest równoległa do jednej z rzutni to może być: pozioma (1) np. , czołowa (2) , jest prostopadła do którejś z rzutni, to mówimy, że jest poziom -rzutująca gdy jest 1 (np. ), czołowo -rzutująca gdy jest 2 (np. b). ’ x ’’ Rzuty płaszczyzn: poziomej i poziomo rzutującej dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Punkt i prosta na płaszczyźnie - twierdzenia Twierdzenie Punkt leży na płaszczyźnie jeśli leży na prostej leżącej w tej płaszczyźnie. Twierdzenie Prosta leży na płaszczyźnie jeśli co najmniej dwa jej punkty leżą na tej płaszczyźnie. dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Punkt i prosta na płaszczyźnie q’’ Q’’ m’’ a’’ 1’’ P’’ n’’ 1’’ r’’ 2’’ x P’ q’ 1’ Q’ 1’ r’ 2’ m’ n’ Dana jest: (Q,q) Narysuj prostą r   Dana jest (m,n), m || n. Wyznacz drugi rzut punktu P tej płaszczyzny a’ r  , bo Q , 1   P  , bo P  a   dr Renata Jędryczka dr Renata Jędryczka 16 2017-03-28 2017-03-28 16

Elementy przynależne Dana jest płaszczyzna (m, n), gdzie m|| n. Narysuj rzuty prostej poziomej p i czołowej c tej płaszczyzny. m’’ m’ n’’ m’’ n’ x 1’’ 3’ 1’ c’ c’’ 3’’ n’’ 1’’ 2’’ P’’ x p’ 1’ 2’ n’ m’ dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Wzajemne położenie płaszczyzn Dwie płaszczyzny mogą: być równoległe, przecinać się - mieć wspólną prostą zwaną krawędzią. Zadanie: Wyznacz krawędź k płaszczyzn  (m,n) i   p2. k=    m’’ b’’ =k’’ n’’ 2 1’’ 2’’ a x x 1 k’ 1’ 2’ n’ m’ dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Elementy wspólne Zadanie Wyznacz punkt P przebicia prostej p z płaszczyzną a(A ,a) i jej określ widoczność względem tej płaszczyzny (w widoku z przodu i z góry). Plan konstrukcji: Przez prostą prowadzimy pomocniczą płaszczyznę . Wyznaczamy krawędź k płaszczyzn  i  (k =   ). Punkt przecięcia krawędzi k i danej prostej p jest szukanym punktem wspólnym P (P= k  p). 4’’ e b’’ p e  2 2’’ a’’ 1’’ A’’ P’’ p’’ = ’’ = k’’ k P 3’’ x  b’ a’ 2’ A’ 1’ p’ P’ k’ (A,a)=a(a,b), A b || a 3’=4’ dr Renata Jędryczka 2017-03-28

Źródła: Otto F., E., 1975, Podręcznik geometrii wykreślnej, PWN, Warszawa Przewłocki Stefan, 2000, Geometria wykreślna, Wyd. UWM, Olsztyn Strony WWW: Zasoby własne: http://www.kfit.uwm.edu.pl/geometria/ Warto zobaczyć: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html dr Renata Jędryczka 2017-03-28