dr Grzegorz Szafrański Modele dynamiczne dr Grzegorz Szafrański pokój B106 gszafr@uni.lodz.pl Konsultacje bez zmian

Modele dynamiczne Modele trendów deterministycznych Modele trendów stochastycznych proces błądzenia losowego random walk modele autoregresyjne (AR) modele z rozkładem opóźnień (DL) modele ARDL „Nowa ekonometria” (stacjonarność, modele korekty błędem, metodologia VAR, modele przestrzeni stanów, warunkowej wariancji ARCH i GARCH)

Modele autoregresyjne Modele AR(k) yt=a0+ a1yt-1 + a2yt-2 +...+ akyt-k + et Problem ze stosowaniem MNK i wyborem rzędu opóźnienia Np. sezonowość SAR(1,s): yt=a0+ a1yt-1 + asyt-s + et

Modele z rozkładem opóźnień Modele DL yt=b0+ b1xt + b2xt-1 +...+ bkxt-k-1 + et b1 to mnożnik bezpośredni (krótkookresowy) b2,...,bk to mnożniki pośrednie b=Si=1bi to mnożnik całkowity Postać z wagami opóźnień: yt=b0 + bSi=1wi xt-i-1 + et Przykłady: rozkład wielomianowy Almon (PDL), geometryczny Koycka, oczekiwania adaptacyjne

Dwie formy stacjonarności Silna stacjonarność Słaba stacjonarność Model błądzenia losowego (random walk): yt = yt-1 + ut Model błądzenia losowego z dryfem (random walk with drift): yt =  + yt-1 + ut i trendu deterministycznego: yt =  + t + ut ut jest składnikiem losowym IID.

Niestacjonarność wariancji RW model można uogólnić do modelu AR(1): yt = yt-1 + ut where  = 1.

AR dla różnych wartości  (0, 0.8, 1)

Szoki wygasają lub nie wygasają Teraz na przykładzie AR(1) bez dryfu: yt = yt-1 + ut dla dowolnego : Mamy: yt-1 = yt-2 + ut-1 yt-2 = yt-3 + ut-2 Podstawiając: yt = (yt-2 + ut-1) + ut = 2yt-2 + ut-1 + ut Uzyskujemy: yt = T y0 + ut-1 + 2ut-2 + 3ut-3 + ...+ Tu0 + ut

Szoki wygasają lub nie wygasają cd 3 przypadki: 1. Szoki wygasają <1  T0 as T 2. Szoki trwają =1  T =1 T 3. Szoki nasilają wpływ >1.

Biały szum

Deterministyczny Trend

Błądzenie losowe vs błądzenie z dryfem

O stacjonarności. Po co ją testować? Stacjonarność – wpływ na własności szeregów, szoki nie wygasają, długa pamięć. Pozorna regresja Test istotności t-Studenta jest nieprzydatny (nie ma dobrych własności asymptotycznych)

R2 dla 1000 doświadczeń regresji losowych i niestacjonarnychY na X

To samo dla statystyk t

Detrendyzacja – uzyskiwanie stacjonarności Modele wymagają innego podejścia: stochastyczna niestacjonarność yt =  + yt-1 + ut W tym przypadku wystarczy policzyć pierwszą różnicę yt = yt - yt-1 aby uzyskać stacjonarny szereg: yt =  + ut deterministyczna niestacjonarność yt =  + t + ut Musimy użyć detrendyzacji, licząc różnice uzyskamy proces MA(1) dla składnika losowego Użycie funkcji trendu dla stochastycznie niestacjonarnch szeregów w niczym nie pomoże

Stopień integracji Dla najprostszego procesu RW: yt = yt-1 + ut Definicja Jeśli dla szeregu niestacjonarnego yt musimy policzyć d-tą różnicę, aby uzyskać stacjonarność, to mówimy, że jest on zintegrowany w stopniu d ( yt I(d)). Jeśli yt  I(d) wtedy dyt I(0). I(0) proces jest stacjonarny I(1) proces zawiera jeden pierwiastek jednostkowy, e.g. yt = yt-1 + ut

Cechy szeregów I(0), I(1) and I(2) Szeregi I(2) zawierają dwa pierwiastki jednostkowe, wymagają podwójnego różnicowania. Szeregi I(1) i I(2) mogą bardzo odbiegać od swojej średniej i rzadko ją przecinać, w przeciwieństwie do I(0). Większość szeregów gospodarczych i finansowych zawiera jeden pierwiastek jednostkowy, niektóre są stacjonarne a ceny konsumpcji podejrzewa się o dwa pierwiastki jednostkowe.

Jak testować te pierwiastki? Dickey-Fuller test (Dickey i Fuller 1979, Fuller 1976). H0:  =1 w: yt = yt-1 + ut H1: szereg jest stacjonarny  <1. Zwykle używamy regresji: yt = yt-1 + ut i testowanie =1 odpowiada testowaniu =0 w powyższym modelu (gdyż -1=).

wiele zmiennych objaśniających : Testowanie dokładności ocen parametrów, istotności zmiennych objaśniających wiele zmiennych objaśniających : yt=b0 + b1x1t + b2x2t + ... + bKxKt + et t=1,2,...,T Założenia o składniku losowym : E(et) = 0, D(et) = s, et ~ N(0, s2) Test tStudenta Porównujemy wartość bezwzględną statystyki t dla danej zmiennej z wartością krytyczną ta z tablicy wartości krytycznych przy ustalonym niskim poziomie istotności (np. a=0,01). Ho: b1 = 0 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, gdy |t |<ta H1: b1 <> 0 odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej (myląc się raz na 100 prób), gdy |t | ta Jeśli parametr statystycznie nie różni się od 0, to mówimy, że zmienna przy nim stojąca jest statystycznie nieistotna.

Wartości krytyczne (C.V.) statystyki DF Test bazuje na znanej statystyce t która nie ma standardowego rozkładu t-Studenta

Różne wersje testu Dickey-Fuller test i) H0: yt = yt-1+ut ii) H0: yt = yt-1+ut H1: yt = yt-1++ut, <1 iii) H0: yt = yt-1+ut H1: yt = yt-1++t+ut, <1

ADF Test Jeśli wystąpi autokorelacja w ut to musimy do specyfikacji równania dodać p opóźnień zmiennej zależnej: Te same tablice wartości krytycznych dla testu ADF, ale jak dobrać opóźnienia? - zabawy z korelogramem - kryteria informacyjne

Wyższe rzędy integracji H0: =0 vs. H1: <0. yt = yt-1 + ut Jeżeli odrzucimy H0 to mówimy, że yt nie ma pierwiastka jednostkowego (jest szeregiem I(0)). A jeśli nie odrzucimy to testujemy dalej, bo może ytI(2)? H0: ytI(2) H1: ytI(1) Sprawdzamy regresję 2yt na yt-1 (plus opóźnienia 2yt jeśli potrzebne). Jeśli odrzucimy to ma pierwiastek jednostkowy. Jeśli nie ma postępujemy analogicznie dalej tak samo.

Testy pierwiastków jednostkowych Ich moc jest słaba. Kiepsko radzą sobie z rozróżnieniem sytuacji bliskiej niestacjonarności np. =1 czy =0.95, szczególnie w małych próbach.   Dlatego używa się też tzw. testów stacjonarności np. KPSS test (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt and Shin, 1992). H0: yt jest stacjonarny H1: yt nie jest stacjonarny

Kointegracja: wprowadzenie Jeśli Xi,t  I(di) for i = 1,2,3,...,k Wtedy na ogół zt  I(max di), ale może zdarzyć się niższy rząd jej integracji W tak transformowanym równaniu składnik losowy zt´ może nie być stacjonarny i może wykazywać autokorelację jeśli Xi są I(1). Chielibyśmy, żeby był I(0) – kiedy tak będzie?

Kointegracja (Engle i Granger, 1987) Niech zt będzie wektorem k zmiennych, składniki zt są skointegrowane w stopniu (d,b) jeżeli i) Wszystkie zt są I(d) ii) Istnieje przy najmniej jeden wektor współczynników  taki, że  zt  I(d-b) Wiele szeregów jest niestacjonarnych, ale zmieniają się wspólnie (podobnie) w czasie. Jeśli zmienne są skointegrowane, to znaczy, że istnieje ich liniowa kombinacja, która jest stacjonarna. Może być do r liniowo niezależnych relacji kointegrujących (r  k-1), zwanych wektorami kointegrującymi. r nazywane jest stopniem kointegracji. Relacje kointegrujące to odpowiednik relacji długookresowych w ekonomiii.

Kointegracja i równowaga Przykłady w finansach ceny spot i futures stosunek cen dla różnych krajów i kurs walut ceny akcji i wielkość dywidendy Siły rynkowe w sytuacji braku możliwości arbitrażu powinny zapewnić występowanie relacji równowagowych. Brak kointegracji oznaczałby, że szeregi mogą odbiegać od siebie w długim okresie bez żadnych ograniczeń.

Mechanizm korekty błędem Dlaczego nie łączymy w relacje zmiennych niestacjonarnych na podstawie modelu dla pierwszych lub drugich różnic? Niech yt and xt będą I(1). W relacji  yt = xt + ut w długim okresie nie zaobserwujemy relacji. bo w długim okresie yt = yt-1 = y; xt = xt-1 = x. I wszystkie zmienne się wyzerują buuuu

ECM cd To może użyć pierwszych różnic i poziomów jednocześnie?  yt = 1xt + 2(yt-1-xt-1) + ut yt-1-xt-1 to tzw. składnik korekty błędem Jeśli  jest wektorem kointegrującym dla x i y, to (yt-1-xt-1) jest I(0), pomimo że jego składniki są I(1). Twierdzenie Grangera o reprezentacji ECM mówi, że każda relacja kointegrująca może być wyrażona jako mechanizm korekty błędem.

Potestujmy trochę Dla więcej niż 2 zmiennych objaśniających: yt = 1 + 2x2t + 3x3t + … + kxkt + ut ut będzie I(0) jeśli zmienne yt, x2t, ... xkt są skointegrowane. Należy zatem potestować czy reszty z tego równania nie są stacjonarne. Użyjemy testu DF lub ADF dla ut dla regresji postaci vt  iid. Ale jest to test na resztach modelu (nie na jego zmiennych), , inne będą więc wartości krytyczne testu.

Wnioski Wartości krytyczne testu E.G. zostały stablicowane przez Engle’a i Grangera (1987). Obecnie częściej używa się wartości z pracy McKinnona. Możemy też użyć statystyki Durbina-Watsona lub podejścia Phillipsa-Perrona by zbadać stacjonarność reszt. H0: pierwiastki jednostkowe występują w resztach z regresji kointegrującej H1: reszty z tej regresji są stacjonarne

Podejście Engle’a-Grangera Dwustopniowa metoda Engle’a-Grangera dla jednorównaniowego modelu: Krok 1: - Sprawdź, czy zmienne w modelu są I(1). - Oszacuj wektor kointegrujący MNK. - Sprawdź, czy reszty z tej regresji, , są stacjonarne (tzn. I(0)). Krok 2: - Użyj tych reszt jako kolejnej zmiennej objaśniającej w oryginalnym równaniu  yt = 1xt + 2( ) + ut gdzie = yt-1- xt-1

Inne podejścia podejście od ogółu do szczegółu Hendry (dobór opóźnień w modelu) – czyt. Charemza i Deadman modele niestrukturalne wektorowej autoregresji VAR – czyt. Maddala modele ECM dla wielu zmiennych VECM modele z warunkową heteroskedastycznością ARCH, GARCH i ich odmiany