Twierdzenie TALESA

Życiorys Talesa

TALES z MILETU (ok. 627 - ok. 546 p. n. e TALES z MILETU (ok. 627 - ok. 546 p.n.e.) Uważany jest za jednego z "siedmiu mędrców" starożytności i za ojca nauki greckiej.  Starożytni pisarze nazwali go "pierwszym" filozofem, fizykiem, matematykiem, astronomem.  Tales był założycielem jońskiej szkoły filozofów przyrody. Brał aktywny udział w życiu politycznym i gospodarczym swego miasta. Utrzymywał ożywione stosunki handlowe z Egiptem, Fenicją i Babilonią, dokąd eksportowano cenione wówczas tkaniny miletańskie. To było powodem, iż do krajów tych odbywał częste podróże. I prawdopodobnie wtedy zapoznał się z osiągnięciami matematyki i astronomii Egiptu i Babilonii. Według przekazu pisarzy starożytnych, Tales przewidział zaćmienie słońca na dzień 28 V 585 r. p.n.e. oraz pomierzył wysokość piramid za pomocą cienia, które one rzucały (na podstawie podobieństwa trójkątów). Platon wspomina, że gdy Tales obserwował gwiazdy, wpadł do studni i piękna niewolnica miała się wyrazić żartem, iż chciał zobaczyć, co się dzieje na niebie, a nie dostrzegł, co znajduje się pod jego nogami. Anegdota ta jednak nie charakteryzuje postawy Talesa. Nie był on oderwanym od życia myślicielem, lecz człowiekiem nad wyraz praktycznym, który umiał wykorzystać posiadaną wiedzę w swoich transakcjach handlowych.

Jednym z twierdzeń geometrii elementarnej, sformułowanej przez Talesa, jest twierdzenie o następującej treści: "Jeśli ramiona kąta przeciąć dwiema równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta". 

Talesowi z Miletu przypisuje się również autorstwo: dowodu, że średnica dzieli koło na połowy, odkrycia, że kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są równe, twierdzenia o równości kątów wierzchołkowych, twierdzenia o przystawaniu trójkątów o równym boku i przyległych dwu kątach, twierdzenia, że średnica koła jest widoczna z punktu leżącego na okręgu pod kątem prostym, twierdzenia, że kąt wpisany w półokrąg jest prosty.

Wymienione twierdzenia nie stanowiły w epoce Talesa żadnej rewolucji wobec poziomu, który osiągnęła zamarła już w owym czasie w rozwoju matematyka egipska i babilońska. Wielkość Talesa jako matematyka polega raczej na tym, że z jego imieniem wiąże się pojęcie dowodu twierdzenia. Matematyków egipskich i babilońskich interesowało pytanie "jak". Tales zaś, o ile wiemy, pierwszy pytał "dlaczego". Nie jesteśmy dziś w stanie ustalić, jak Tales przeprowadził dowód. Talesa można uznać za tego, który łącząc teorię z praktykę zbudował fundamenty geometrii jako nauki dedukcyjnej, której ukoronowaniem były Elementy Euklidesa. Charakterystyczne są poglądy filozoficzne Talesa. Zrywały one z panującą we wcześniejszych koncepcjach, dotyczących powstania wszechświata, mitologiczną interpretacją zjawisk przyrody. Tales za prapierwiastek rzeczywistości uważał wodę, która miała otaczać ze wszystkich stron płaski krąg Ziemi. Tales przeprowadził eksperymenty z bursztynami, stanowiące pierwsze doświadczenia fizyczne z zakresu elektryczności.

 . Twierdzenie Talesa Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A­1B1 oraz A­2B2, to stosunek wyznaczonych przez te proste odcinków na ramieniu OA tego kąta równy jest stosunkowi wyznaczonych przez te półproste odcinków na ramieniu OB. Przyjmując oznaczenia jak na rysunku mamy: Jeżeli , to A1B1 || A2B2 , to

D o w ó d Niech dany będzie kąt AOB oraz dwie proste równoległe przecinające ramiona tego kąta odpowiednio w punktach A1, B1 i A2, B2. Rozważmy na początek trójkąty OB1A1 oraz B1B2 A­­1. Zauważmy że, wysokość trójkąta OB1A1 opuszczona na bok OB1 pokrywa się z wysokością trójkąta B1B2 A­­1 opuszczoną na bok B1B2. Stąd

W analogiczny sposób rozpatrując trójkąty OB1A1 oraz A1B1 A­­2 otrzymujemy Ponadto zauważmy, że trójkąty B1B2 A­­1 oraz A1B1 A­­2 mają wspólną wysokość opuszczoną na wspólną podstawę A1B1.

Co w zestawieniu z równościami (1) oraz (2) daje: Zatem PB1B2A1 = PA1B1A2 Co w zestawieniu z równościami (1) oraz (2) daje: W oparciu o powyższe twierdzenie, przyjmując oznaczenia jak na rysunku, nietrudno jest wykazać prawdziwość następujących równości:

Prezentację przygotował Michał Sarnik