Autor: Wojciech Haba kl. IIIa V LO Kielce Kinematyka Autor: Wojciech Haba kl. IIIa V LO Kielce Menu

MENU 1. Prędkość średnia 2. Prędkość chwilowa 3. Ruch jednostajny 4. Przyśpieszenie 5. Ruch jednostajnie przyśpieszony 6. Przyśpieszenie ziemskie, swobodne spadanie ciał 7. Dyskusja niepewności pomiarowych 8. Ruch jednostajnie opóźniony 9. Ruch pionowy w górę KONIEC

Prędkość średnia = t s V D Menu Prędkość średnia punktu materialnego w danym przedziale czasu definiujemy jako stosunek drogi Ds do czasu w t, w jakim ta droga została przebyta: t s V śr D = Jednostką prędkości jest 1 metr na sekunde(1 m/s). Menu

Prędkość chwilowa s = V D t Menu Prędkość chwilowa punktu materialnego przyjmujemy, że w czasie t1 punkt znajdywał się w położeniu s1, a w czasie t2 – w położeniu s2, czyli przemieszczenie Ds = s2-s1 wystąpiło w przedziale czasu Dt = t2-t1 . Zatem w tym przedziale czasu wartość prędkości średniej jest równa: t s V D = Im mniejszy będzie odcinek czasu Dt, tym mniej ta prędkość będzie się różniła od prędkości chwilowej. Wartość prędkości chwilowej zdefiniujemy zatem jako granice, do której dąży wartość wyrażenie gdy, D t dąży do zera. Zapiszemy to za pomocą następującego wzoru: t s D Menu

Ruch jednostajny v = const s = s0 + vt Menu Dalej Ruch jednostajny jest to taki ruch, w którym wartość prędkości (szybkość) jest stała. v = const Zatem w ruchu jednostajnym, na każdym odcinku drogi prędkość chwilowa jest jednakowa i jest równa prędkości średniej, v=vśr. Wzór ogólny w ruchu jednostajnym to: s = s0 + vt Jest to równanie ważne dla ruchu jednostajnego, gdyż wyznacza położenie i drogę s potrzebną do przebytą rzez ciało w czasie t, jeśli położenie w chwili t0 = 0 wynosiło s0. Dalej Menu

Ruch jednostajny Menu Powrót Zależność położenia s od czasu jest funkcją liniową, której wykres przedstawiono na rysunku a. Widzimy, że jest to prosta nachylona do osi czasu pod kątem tym większym, im większa jest prędkość ciała , gdyż współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy v. Rysunek b przedstawia tę zależność dla przypadku, gdy prędkość jest zwrócona w stronę malejących wartości s (przed v należy wstawić znak minus ) – wtedy prosta na wykresie jest pochylona w ,,dół ”. Wykres zależności położenia s od czasu w ruchu jednostajnym Powrót Menu

Przyśpieszenie a V = D t * t v a D = lim Menu Przyśpieszenie- jeśli w pewnym momencie prędkość chwilowa punktu materialnego wynosiła v0, a po upływie czasu Dt wynosiła v, to przyrost wartości prędkości Dv=v-v0 dokonał się w czasie Dt. Zatem średnio na jednostkę czasu przyrost prędkości wyniósł: t V a śr D = * Wzór ten definiuje wartość przyspieszenia średniego w czasie Dt. Jednostką przyspieszenia jest metr na sekundę do kwadratu. Jednostka ta wynika ze wzoru *, gdyż przyrost prędkości Dv wyraża się w metrach na sekundę, a czas Dt w sekundach. Jeśli przyśpieszenie zmienia się w czasie, to stosujemy wielkość zwaną przyśpieszeniem chwilowym. Przyśpieszenie średnie mierzone w bardzo małym przedziale czasu Dt będzie zbliżone do prawdziwej wartości przyśpieszenia chwilowego. Matematycznie, przyśpieszenie chwilowe definiujemy jako granicę, do której dąży przy Dt dążącym do zera. Zapisujemy to za pomocą wzoru: t v D t v a D = lim Menu

Ruch jednostajnie przyśpieszony Ruch jednostajnie przyspieszony – ruch, w którym prędkość ciała zwiększa się o jednakową wartość w jednakowych odstępach czasu. Ciało takie ma przyspieszenie o stałej wartości, a jego kierunek i zwrot są równe kierunkowi i zwrotowi prędkości tego ciała. a = const v = v0 + at* Powyższy wzór przedstawia wartość prędkości ciała w ruchu jednostajnie przyśpieszonym. Interpretując prędkość jaką uzyska ciało po czasie t, jest równa prędkości początkowej powiększony o przyrost prędkości, jaki nastąpił w czasie trwania ruchu ( a oznacza przyrost prędkości w ciągu 1 s, a at – w ciągu t sekund ). Zależność prędkości od czasu we wzorze * ma charakter liniowy, zatem na wykresie A jest prostą nachylona do osi czasu pod kątem A tym większym, im większe jest przyśpieszenie. Wzór * wskazuje na to, że współczynnik kierunkowy prostej będącej wykresem prędkości ma liczbowo wartość równa a. Dalej Menu

Ruch jednostajnie przyśpieszony Wzór na położenie ciała wzdłuż drogi w ruchu jednostajnie przyśpieszonym: Wzór ten jest wyrażeniem położenia ciała wzdłuż drogi jako funkcji kwadratowej czasu, zatem na wykresie zależności położenia ciała od czasu otrzymujemy parabolę B Powrót Menu

Przyspieszenie ziemskie, swobodne spadanie ciał Galileusz pierwszy stwierdził, że przyśpieszenie spadających ciał nie należy od ich masy (jeżeli ominie się opory powietrza) było to w 1604 roku. Wszystkie ciała w próżni, w pobliżu Ziemi spadają z jednakowym przyśpieszeniem g, zwanym przyśpieszeniem ziemskim. Jest to bardzo ważny i ciekawy fakt doświadczalny! Przyśpieszenie ziemskie wzór poniżej: * Spadające ciało przebywa w pionie drogę równą wysokości, z której spada. Wysokość oznacza się symbolem h, wiec dla swobodnego spadania, gdzie przyśpieszenie wynosi wzór * przybierze postać: Menu

Dyskusja niepewności pomiarowych Niepewność pomiaru – parametr, związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej pomiaru. Charakteryzuje ona rozrzut wartości (szerokość przedziału), wewnątrz którego można z zadowalającym prawdopodobieństwem usytuować wartość wielkości mierzonej. Z definicji niepewności pomiarowej wynika, że nie może być ona wyznaczona doskonale dokładnie. Można natomiast dokonać jej oszacowania (np. statystycznej estymacji). Żaden pomiar nie jest idealnie dokładny, czyli wszystkie pomiary są zawsze obarczone jakąś niepewnością. Fakt ten nie wynika z niedoskonałości aparatury i zmysłów obserwatora, ale jest nieodłączną cechą każdego pomiaru. Sposób obliczania niepewności zależy od charakteru pomiaru. Wyróżnia się dwie zasadnicze metody. Metoda A Gdy wyniki poszczególnych pomiarów tej samej wielkości różnią się, wówczas niepewność obliczana jest na drodze analizy statystycznej wyników serii pojedynczych pomiarów. Zakłada się przy tym pewien rozkład statystyczny poszczególnych prób. Jeżeli błędy pomiarowe są losowe, tym rozkładem jest rozkład normalny. Wówczas, dla dużej ilości prób (powyżej 30), estymatorem niepewności pomiarowej jest odchylenie standardowe średniej (średni błąd średniej). Dla mniejszej ilości prób niepewność jest większa i równa iloczynowi odchylenia standardowego średniej i współczynnika wynikającego z rozkładu Studenta, który zależy od przyjętego poziomu ufności i liczby pomiarów. Metoda B Gdy wyniki pomiarów są takie same lub podlegają systematycznym zmianom, wówczas metody statystyczne nie mogą być zastosowane. Sytuacja taka występuje np. gdy: - klasa przyrządu jest niska w danych warunkach pomiaru (na przykład przy pomiarze długości ołówka linijką ze skalą centymetrową). Wówczas o niepewności pomiarowej decyduje klasa przyrządu (w przykładzie z linijką będzie to 1 cm). - mierzona wielkość zmienia się znacząco w czasie pomiaru z powodu warunków zewnętrznych, np. zmiany temperatury. Wyznaczając niepewność pomiaru należy uwzględnić wszystkie składowe mające wpływ na wynik pomiaru, obliczone obiema metodami. Menu

Ruch jednostajnie opóźniony Jeżeli przyśpieszenie a jest zwrócone w stronę przeciwną do prędkości v ruchu ciała, to prędkość będzie coraz mniejsza i będziemy mieli do czynienia z ruchem opóźnionym. Przyspieszenie zwrócone przeciwnie do prędkości ciała nazywa się opóźnieniem. Jeżeli opóźnienie jest stałe, to ruch nazywamy jednostajnie opóźnionym. Wzory na prędkość i położenie w ruchu jednostajnie przyśpieszonym przechodzą we wzory dla ruchy jednostajnie opóźnionego, gdy zmienimy znak przy przyśpieszeniu a na ujemny. Wtedy wzór na prędkość przyjmuje postać: Wzór na położenie ciała w ruchu prostoliniowym jednostajnie opóźnionym: * Wykresem zależności położenia ciała od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym, zgodnie ze wzorem*, jest parabola o gałęziach opadających ku dołowi (wykres A patrz następna strona). Z wykresu możemy odczytać, że wartość współrzędnej położenia ciała s początkowo narasta, ale coraz wolniej, aż do wartości maksymalnej. Maksimum występuje dla czasu tk. Dalsza część krzywej oznaczona jest linią przerywaną, dla której wartość współrzędnej położenia maleje. Oznacza to, że w tym czasie ciało się cofa. Dla ruchu jednostajnie przyśpieszonego oraz ruchu jednostajnie opóźnionego stosuje się łączną nazwę ruchu jednostajnie zmiennego. Dalej Menu

Ruch jednostajnie opóźniony Powrót Menu

Rzut pionowy w górę Menu Dalej Jeżeli ciału nadamy prędkość początkową v0 w kierunku pionowym w górę, to w całym czasie ruchu ciało ma stałe przyśpieszenie ziemskie g zwrócone pionowo w dół, a wiec w stronę przeciwną do prędkości początkowej v0. Zatem Ciało, wznoszące się, wytrąca stale prędkość , aż do chwilowego zatrzymania się – wtedy prędkość chwilowa v=0. W tym momencie ciało osiąga maksymalną wysokość H (patrz A). Ta pierwsza faza ruchu w górę jest ruchem jednostajnie opóźnionym ze stałym opóźnieniem równym g. W drugiej fazie ruchu ciało swobodnie spada. Wzór potrzebne do obliczenia maksymalnej wysokości H Dalej Menu

Rzut pionowy w górę Menu Powrót Dalej Wzór na maksymalnie osiągniętą wysokość: Zależność wysokości wzniesienia się ciała rzuconego pionowo w górę od czasu, zgodnie ze wzorem*, pokazana jest na (rys. B). Wykres przedstawia parabolę, której maksimum odpowiada największej wysokości H po upływie tw. Parabola dotyka osi czasu w dwóch punktach A i B. Punkt A odpowiada chwili wyrzucenia ciała t=0. Punkt B odpowiada czasowi t=tc, gdy ciało ponownie zetknie się z ziemią –wysokość wzniesienia się ciała zmaleje znowu do zera. Zatem czas tc oznacza całkowity czas trwania rzutu (zarówno wznoszenia jaki i opadania). Czas całkowity łatwo wyznaczyć jeżeli we wzorze potrzebnym do obliczenia maksymalnej wysokości (H) przyjmiemy, że h=0: Powrót Dalej Menu

Rzut pionowy w górę Tutaj t = tc Menu Powrót Jest to równanie kwadratowe, gdzie niewiadomą jest t. Ma ono dwa pierwiastki. Jeden to t=0, co oznacza , że wysokość wynosi zero w chwili startu. Drugi pierwiastek otrzymany po prostym przekształceniu równania: Tutaj t = tc Powrót Menu