Automatyka Wykład 3 Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejściu i jednym wyjściu) obiektów, elementów i układów regulacji. y = ku y u y u y = f(u)

Transmitancja operatorowa i widmowa Równania stanu i równanie wyjścia y(t) u(t) Obiekt Równanie wejścia – wyjścia Transmitancja operatorowa i widmowa Równania stanu i równanie wyjścia

Równanie wejścia – wyjścia określa związek zachodzący między sygnałem wejściowym u(t) obiektu a jego sygnałem wyjściowym y(t) i wynika z prawa równowagi dynamicznej ( prawo Newtona, prawa Kirchchoffa itd.) Transmitancję operatorową uzyskuje się z równania wejścia - wyjścia po jego przekształceniu wg. Laplace’a. Transmitancja widmowa opisuje obiekt w dziedzinie częstotliwości. Ma istotne znaczenie dla sygnałów sinusoidalnych. Równania stanu uzyskuje się z równania wejścia – wyjścia. Stan obiektu w każdej chwili określają zmienne stanu związane z magazynami energii występującymi w obiekcie. Równanie wyjścia określa zależność sygnału wyjściowego y(t) od zmiennych stanu x1(t), x2(t), … .

Równanie wejścia – wyjścia obiektu Transmitancja operatorowa obiektu (1) Transmitancja operatorowa obiektu Zakładając zerowe warunki początkowe i przekształcając równanie (1) wg. Laplace’a otrzymujemy (2) (3) (4)

Transmitancja widmowa obiektu regulacji

Obiekt liniowy

Równania stanu i równanie wyjścia

Zapis wektorowo-macierzowy równań stanu i równania wyjścia równanie stanu równanie wyjścia - wektor stanu o składowych - sygnał sterujący (sterowanie) A – macierz obiektu o wymiarach b – macierz kolumnowa wejścia o wymiarach n x 1 - sygnał wyjściowy (odpowiedź) cT – macierz wyjścia o wymiarach

Schemat blokowy zmiennych stanu Wyznaczanie transmitancji operatorowej na podstawie równania stanu i równania wyjścia równanie stanu równanie wyjścia Schemat blokowy zmiennych stanu u(t) cT x(t) b A y(t) = cTx(t) bu Ax x

- równanie stanu - równanie wyjścia

Obiekty regulacji Obiekty statyczne: inercyjne i oscylacyjne 2. Obiekty astatyczne (całkujące) y t

Obiekty statyczne Obiekty inercyjne Obiekt inercyjny pierwszego rzędu Równanie wejścia – wyjścia: T – stała czasowa, k - wzmocnienie Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

Równanie stanu: Równanie wyjścia:

Czwórnik RC jako przykład obiektu inercyjnego I rzędu uwe(t) uwy(t) i(t) R Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa:

Transmitancja widmowa: Równanie stanu: zmienna stanu

Obiekt inercyjny drugiego rzędu Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa:

Podwójny czwórnik RC jako przykład obiektu inercyjnego II rzędu uwe(t) uwy(t) i(t) C2 R2 i1 i2 u1 Równanie wejścia – wyjścia: Na podstawie praw Kirchhoffa mamy Zatem: .

- stałe czasowe. .

Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

Równania stanu: Zmienne stanu:

Obiekt inercyjny z opóźnieniem Obiekt dwuinercyjny uwe(t) uwy(t) i1(t) R1 C1 i2(t) C2 R2 Wzmacniacz separujący Obiekt inercyjny z opóźnieniem Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa:

Obiekt oscylacyjny II rzędu Równanie wejścia – wyjścia: n - pulsacja drgań nietłumionych,  - współczynnik tłumienia. Transmitancja operatorowa:

Transmitancja widmowa:

Równania stanu: Zmienne stanu: równania stanu Równanie wyjścia:

Przykład: C uwe(t) uwy(t) i(t) R L

Transmitancja operatorowa czwórnika RLC

Równania stanu i równanie wyjścia czwórnika RLC uwe(t) uwy(t) i(t) R L Zmiennymi stanu są: równania stanu Równanie wyjścia:

Wyznaczanie transmitancji operatorowej na podstawie równań stanu i równania wyjścia - równanie stanu - równanie wyjścia