Teoria sterowania Wykład 3 Modele matematyczne (opis matematyczny) liniowych jednowymiarowych (o jednym wejściu i jednym wyjściu) obiektów sterowania. y = ku y u y u y = f(u) yr ur

Liniowy obiekt sterowania u(t) y(t) Liniowy obiekt sterowania Równanie wejścia – wyjścia (równanie różniczkowe liniowe) Transmitancja operatorowa i widmowa Równania stanu i równanie wyjścia

Równanie wejścia – wyjścia określa związek zachodzący między sygnałem wejściowym u(t) obiektu a jego sygnałem wyjściowym y(t) i wynika z prawa równowagi dynamicznej ( prawo Newtona, prawa Kirchchoffa itd.) Transmitancję operatorową uzyskuje się z równania wejścia - wyjścia po jego przekształceniu wg. Laplace’a. Transmitancja widmowa opisuje obiekt gdy sygnał wejściowy i wyjściowy mają przebiegi sinusoidalne. Równania stanu uzyskuje się z równania wejścia – wyjścia po wprowadzeniu zmiennych stanu określających stan obiektu w każdej chwili. Zmienne stanu związane są z magazynami energii występującymi w obiekcie. Równanie wyjścia określa zależność sygnału wyjściowego y(t) od zmiennych stanu x1(t), x2(t), … .

Równanie wejścia – wyjścia obiektu Transmitancja operatorowa obiektu (1) Transmitancja operatorowa obiektu Zakładając zerowe warunki początkowe i przekształcając równanie (1) wg. Laplace’a otrzymujemy (2) (3) (4)

Transmitancja widmowa obiektu regulacji

Obiekt liniowy

Równania stanu i równanie wyjścia

Obiekty sterowania Obiekty statyczne Obiekty astatyczne Bezinercyjne Inercyjne Oscylacyjne

Obiekty statyczne Obiekt bezinercyjny Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

Przykład obiektu bezinercyjnego uwe(t) uwy(t) R1 R2

Obiekty inercyjne Obiekt inercyjny pierwszego rzędu Równanie wejścia – wyjścia: T – stała czasowa, k - wzmocnienie Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

Równanie stanu: Równanie wyjścia:

Przykład obiektu inercyjnego I-go rzędu uwe(t) uwy(t) i(t) R

Obiekt inercyjny drugiego rzędu Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa:

Równania stanu: równania stanu Równanie wyjścia:

Przykład obiektu inercyjnego II-go rzędu uwe(t) uwy(t) i(t) C2 R2 i1 i2 u1

Przykład obiektu dwuinercyjnego Obiekt dwuinercyjny Przykład obiektu dwuinercyjnego uwe(t) uwy(t) i1(t) R1 C1 i2(t) C2 R2 Wzmacniacz separujący

Obiekt inercyjny z opóźnieniem Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa:

Obiekt oscylacyjny II rzędu Równanie wejścia – wyjścia: n - pulsacja drgań nietłumionych,  - współczynnik tłumienia. Transmitancja operatorowa:

Transmitancja widmowa:

Równania stanu: Zmienne stanu: równania stanu Równanie wyjścia:

Przykład obiektu oscylacyjnego II rzędu uwe(t) uwy(t) i(t) R L

Obiekty astatyczne Obiekty całkujące Obiekty całkujące z inercją Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

Przykład obiektu całkującego u(t) i(t)

Obiekty całkujące z inercją Równanie wejścia – wyjścia: Transmitancja operatorowa: Transmitancja widmowa:

Silnik obcowzbudny prądu stałego jako przykład obiektu całkującego z inercją u(t) i(t) m(t), (t) + _  = const Równanie wejścia – wyjścia: (3.237) (3.238)