Epidemie w sieciach złożonych Mirosław Król Wojciech Lechowicz

Przypomnienie Sieć: - w interpretacji fizycznej to zbiór wierzchołków (węzłów) połączonych krawędziami - w interpretacji matematycznej- graf o N wierzchołkach i E krawędziach, oznaczany symbolem: G(N,E) - podzbiór przestrzenny w zbiorze przestrzenno -czasowym , czyli systemie. Sieć prosta: - podzbiór przestrzenny systemu o nieograniczonych zasobach. Sieć złożona: - sieć, która w przeciwieństwie do sieci prostej jest podzbiorem przestrzennym systemu, który posiada ograniczone zasoby i nie znajduje się w równowadze termodynamicznej.

Z historii sieci ( i epidemii) W Europie przełomu XIII i XIVwieku bardzo popularna była instytucja wędrownych szkolarzy. Z instytucją tą rozpoczęli rozpoczęli walkę średniowieczni inkwizytorzy

Z historii sieci ( i epidemii) Bernard Gui, wielki inkwizytor przełomu XIII i XIVw., pierwszy dostrzegł, że aby skutecznie walczyć z wirusem herezji, należy przestać atakować wszystkich podejrzanych, a zająć się tropieniem najbardziej aktywnych węzłów (czyli najbardziej skutecznych szkolarzy) w sieci przenoszącej tego wirusa.

Z historii sieci ( i epidemii) Związek między działalnością inkwizycji, a współczesną teorią sieci dostrzegł Edwin Bendyk. Dodatkowo, w napisanej przez siebie książce zwrócił on uwagę na to, że większość zjawisk rozprzestrzeniania się, można modelować w taki sam sposób.

Modelowanie epidemii Pierwszy znany opis rozprzestrzeniania się epidemii oparty na równaniach różniczkowych został stworzony przez D.Bernoullego

Modelowanie epidemii Twórcami ponadczasowego modelu rozprzestrzeniania się epidemii, opartego na układzie równań różniczkowych byli Kermack i McKendrick. S --> I --> R gdzie: „-->”- przejście między stanami Zgodnie z modelem SIR przebieg choroby prowadzi do podziału rozważanej populacji na trzy grupy: S- podatnych (ang. Susceptible), czyli takich, którzy mogą zachorować I- zainfekowanych(ang. Infected), którzy chorują i roznoszą infekcje R- ozdrowiałych (ang. Recovered), którzy wyzdrowieli i nabyli odporność

Modelowanie epidemii S --> I --> S Model rozprzestrzeniania się epidemii SIR można uogólnić , np. do modelu: S --> I --> S W którym zakłada się istnienie tylko dwóch grup osobników zdrowych(S) i chorych(I). S --> I --> R --> S Który rozważa wpływ przejściowego okresu uodpornienia R na dynamikę rozprzestrzeniania się choroby. S --> E --> I --> R W którym sekwencję zmian stanów uzupełnia się dodatkowym stanem E, który reprezentuje osobników w utajonym stadium choroby.

Modelowanie epidemii Dzięki opisanym modelom można tworzyć układy równań różniczkowych, które opisują rozprzestrzenianie się epidemii w czasie. Przykładowo:

Kiedy wybucha epidemia? Sieci regularne

Kiedy wybucha epidemia? Sieci regularne Choroba ma szansę przybrać w populacji formę epidemii, jeśli tempo rozprzestrzeniania się patogenu jest większe od pewnej progowej wartości: Gdzie: (k)-gęstość sieci So- początkowa liczba zainfekowanych osobników

Kiedy wybucha epidemia? Sieci bezskalowe (np. sieci społeczne czy internet) Przeprowadzając podobne rozważania w przypadku sieci bezskalowych, można dojść do wniosku, że próg epidemii jest w nich równy: Gdzie: (k)-gęstość sieci

Jak zatrzymać epidemię? W sieciach bezskalowych epidemii nie można zatrzymać, posługując się tradycyjnymi metodami. W sieciach regularnych można to zrobić, gdyż poprzez np. Szczepienia Hospitalizację zarażonych Zwiększanie wydatków na służbę zdrowia Da się zmniejszać wartość parametru β,opisującego prawdopodobieństwo zachorowania i zwiększać wartość parametru γ reprezentującego prawdopodobieństwo wyzdrowienia we wzorze:

Jak zatrzymać epidemię? W sieciach bezskalowych, w których do wybuchu epidemii wystarcza ,by nosicielem wirusa był najbardziej aktywny osobnik (człowiek/zwierzę/komputer), jedynym skutecznym sposobem walki z epidemią jest sposób, o którym mówił Bernard Gui, czyli tropienie i eliminacja kluczowych węzłów (hubów)

Jak zatrzymać epidemię? Prawdopodobieństwo Ps(t) przeżycia wirusów w Internecie w funkcji czasu t, który upłynął od momentu ich powstania.

Podsumowanie