Geometria klasyczna – zajęcia dla gimnazjalistów Monika Herzog Instytut Matematyki Politechnika Krakowska Wrzesień 2011

Geometria Geometria to dział matematyki , który zajmuje się badaniem figur geometrycznych i zależności między nimi. Starożytność – geometria rozumiana jako zbiór przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych związanych z budownictwem (z gr. geo – ziemia, metria – miara). W starożytnym Egipcie wielkim poważaniem cieszyli się harpenodapci – wiązacze liny, którzy wykonywali rokrocznie podział gruntów pomiędzy ich właścicielami po wylewie Nilu. VI w. p.n.e. starożytna Grecja – pierwsze próby formułowania i dowodzenia twierdzeń. Tales z Miletu – twierdzenie Talesa, twierdzenie o trójkącie równoramiennym, twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych.

Geometria cd. Pitagoras z Samos – uważany za odkrywcę definicji, gdyż jako pierwszy dostrzega potrzebę jasności używanych pojęć. Twierdzenie Pitagorasa znają i stosują Babilończycy na wiele stuleci przed uczonym. V w. p.n.e. zabytek starożytnej greckiej matematyki, który przetrwał do czasów obecnych – rozprawa Hipokratesa z Chios o półksiężycach. IV w. p.n.e. Elementy Euklidesa – pierwszy dedukcyjny wykład geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z regułami logiki na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i 5 aksjomatów. Dzieło składa się z 13 ksiąg obejmujących teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię.

XVII w. matematycy francuscy Pierre de Fermat i René Descartes (Kartezjusz) zapoczątkowali rozwój geometrii analitycznej, wprowadzili do geometrii metody algebraiczne. Druga połowa XIX w. niemiecki matematyk Moritz Pasch uzupełnia aksjomatykę Euklidesa o dodatkowy pewnik: Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jego jeden bok, przecina także drugi. 1899 niemiecki matematyk Dawid Hilbert podaje pełny układ aksjomatów geometrii euklidesowej. Pojęcia pierwotne w tym układzie to: punkt, prosta, płaszczyzna, relacja przynależności, relacja leżenia między oraz relacja przystawania. Grupy aksjomatów Hilberta: Leżenie punktu na prostej, na płaszczyźnie, leżenie prostej na płaszczyźnie. Uporządkowanie punktów na prostej. Przystawanie figur geometrycznych. Równoległość. Ciągłość.

1927 r. amerykański matematyk John von Neumann podał inny układ aksjomatów geometrii euklidesowej równoważny aksjomatom Hilberta oparty na koncepcji przestrzeni afinicznej. Geometria euklidesowa klasyczna, to geometria euklidesowa przestrzeni euklidesowej wymiaru 2 i 3. Geometria absolutna, to geometria oparta na aksjomatach geometrii euklidesowej 1-4. Geometrie nieeuklidesowe, to takie geometrie, w których co najmniej jeden z aksjomatów Euklidesa został zastąpiony innym, np. geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego), to teoria w której 5. aksjomat zastąpiono postulatem: Przez każdy punkt leżący poza prostą można poprowadzić co najmniej dwie proste nie przecinające danej prostej. Wprowadzili ją dwaj matematycy niezależnie od siebie: 1829 r. Rosjanin Nikołaj Łobaczewski i 1832 r. Węgier Janos Bolyai.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeśli ramiona kąta płaskiego przetnie się dwiema prostymi i długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta, to proste te są równoległe. Twierdzenie Talesa Jeśli ramiona kąta płaskiego przetnie się dwiema prostymi równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch dowolnych boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku , to trójkąt jest prostokątny. Twierdzenie Pitagorasa W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Geometria cd. Księżyce Hipokratesa są to figury geometryczne, które z jednej strony ograniczone są przez łuk okręgu, w który wpisany jest wielokąt, z drugiej przez półokrąg oparty na boku tego wielokąta. Gdy wielokąt jest trójkątem prostokątnym lub prostokątem, to suma pól półksiężyców jest równa polu tego trójkąta lub odpowiednio prostokąta. Tą ciekawą własność Hipokrates otrzymuje badając problem kwadratury koła.

Euklides Elementy Pojęcia pierwotne w geometrii euklidesowej: punkt, prosta, relacja przynależności. Aksjomaty geometrii euklidesowej: Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie. Dla danego odcinka można narysować okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym długości tego odcinka. Wszystkie kąty proste są równe. Dwie proste, które przecinają trzecią prostą w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.

Elementy cd. Przykłady stwierdzeń równoważnych aksjomatowi 5. Istnieje dokładnie jedna prosta równoległa do danej prostej i przechodząca przez dany punkt płaszczyzny nie należący do zadanej prostej. Na płaszczyźnie istnieje co najmniej jedna para trójkątów podobnych (John Wallis – angielski matematyk, 1616-1703). Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa mierze kąta półpełnego (Giovanni Gerolamo Saccheri – włoski matematyk, jezuita, 1667-1733). Prostopadła i pochyła do danej prostej zawsze się przecinają (Adrien Marie Legendre – francuski matematyk, 1752-1833). Na płaszczyźnie przez każde trzy punkty nie leżące na jednej prostej można poprowadzić okrąg (Farkas Bolyai – węgierski matematyk, 1775-1856).

Geometria klasyczna – wielokąty Łamana to figura geometryczna, którą można przedstawić jako sumę skończonej liczby niezerowych odcinków takich, że: kolejne składniki tej sumy tworzą łańcuch odcinków; każde dwa z tych odcinków albo są rozłączne, albo mają dokładnie jeden punkt wspólny, który jest ich wspólnym końcem. Łamaną nazywamy zwyczajną jeśli żadne dwa odcinki występujące jako kolejne składniki tej sumy nie zawierają się w jednej prostej oraz koniec każdego z tych odcinków jest wspólnym końcem co najwyżej dwóch odcinków. Odcinek niezerowy uważamy za łamaną zwyczajną. Odcinki składające się na daną łamaną nazywamy bokami łamanej, a ich końce – jej wierzchołkami. Jeśli każdy wierzchołek łamanej zwyczajnej jest wspólny dla dwóch boków, to łamaną nazywamy zamkniętą, w przeciwnym przypadku mówimy, że łamana zwyczajna jest otwarta.

Wielokąty cd. Przykłady C F E F E D C C D E D A B A B A B AB, BC, CA, AD, DE, EC, CF, FE AB, BC, CA, AD, DB, BC, CE, ED

Wielokąty cd. Wielokątem nazywamy sumę łamanej zwyczajnej, zamkniętej oraz figury ograniczonej, wyciętej z płaszczyzny przez tą łamaną. Przykłady D E D C F A C C A B A B B Przekątną wielokąta nazywamy odcinek, który nie jest bokiem wielokąta i którego końcami są dwa wierzchołki wielokąta.

Wielokąty cd. – własności Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego równa jest 180°(n-2). Wielokąt mający nieparzystą liczbę wierzchołków nie ma środka symetrii (może mieć oś symetrii). Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki należą do pewnego okręgu nazywamy wielokątem wpisanym w ten okrąg. Okrąg nazywamy wtedy opisanym na tym wielokącie. Środek okręgu opisanego na wielokącie jest punktem przecięcia symetralnych boków wielokąta (o ile przecinają się w jednym punkcie). Symetralna boku wielokąta, to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych wielokąta (o ile się przecinają w jednym punkcie). Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca kąt na dwa kąty przystające.

Wielokąty cd. Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, którego każde dwa boki mają równe długości i każde dwa kąty są przystające. Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg oraz można wpisać w niego okrąg. Okręgi te są współśrodkowe. Liczba przekątnych n-kąta foremnego

Wielokąty cd. Trójkąty Problem Na płaszczyźnie mamy dane trzy odcinki o długościach a, b, c. Czy zawsze możemy utworzyć trójkąt, którego bokami będą te odcinki? C A a c A B b a+b>c, a+c>b, b+c>a, c>b-a, b>a-c, a>b-c

Suma kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest 180°. Trójkąty cd. Suma kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest 180°. Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości trójkąta i każda z nich w tym punkcie jest podzielona w stosunku 2:1. Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Na każdym trójkącie można opisać okrąg oraz w każdy trójkąt można wpisać okrąg. Dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem koła wpisanego w ten trójkąt. Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem koła opisanego na trójkącie.

Trójkąty cd. Wzór na pole trójkąta Trójkąt równoboczny Trójkąt prostokątny h h a a a a h a 30° 2a 45° a 60° 45° a a

Trójkąty cd. – cechy przystawania Cecha BBB Jeśli boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. Cecha BKB Jeśli dwa boki jednego trójkąta są takiej samej długości jak dwa boki drugiego trójkąta, a kąty zawarte między tymi bokami są przystające, to trójkąty są przystające. Cecha KBK Jeśli jeden z boków trójkąta ma taką samą długość jak jeden z boków drugiego trójkąta, a kąty przyległe do tego boku są przystające do kątów przyległych do boku drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

Trójkąty cd. – cechy podobieństwa trójkątów Cecha BBB Jeśli długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta (o tym samym współczynniku proporcjonalności), to trójkąty są podobne. Cecha BKB Jeśli długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, to trójkąty są podobne. Cecha KKK Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich katów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.

Czworokąty Trapez (równoległobok (prostokąt, romb (kwadrat))), deltoid Trapez Równoległobok Romb Prostokąt Kwadrat f e h a

Okręgi i koła o o Długość okręgu i pole koła o środku o i promieniu r Długość łuku okręgu i pole wycinka koła o o

Bryły platońskie: Stereometria Czworościan tetraedr sześcian heksaedr ośmiościan oktaedr dwunastościan dodekaedr Dwudziestościan ikosaedr

Stereometria cd. Graniastosłupy Ostrosłupy Walec Stożek Kula

Ośmiokomórka

Funkcje czyli przyporządkowania Niech zbiory Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y, co zapisujemy X to dziedzina (zbiór argumentów) funkcji, Y przeciwdziedzina lub zbiór wartości funkcji Wykres funkcji to zbiór Przykłady

Proporcje Proporcjonalność prosta to zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y taka, że ich iloraz w procesie zmian pozostaje stały. Proporcjonalność prostą wyraża funkcja Stała dodatnia k nazywa się współczynnikiem proporcjonalności. Każde dwie pary liczb takie, że dla spełniające równanie , tworzą proporcję Liczby są (wprost) proporcjonalne odpowiednio do liczb

Proporcje cd. Proporcjonalność odwrotna to zależność między wielkościami zmiennymi x i y taka, że ich iloczyn w procesie zmian jest stały. Proporcjonalność odwrotną wyraża funkcja Każde dwie pary liczb takie, że dla spełniające równanie , tworzą proporcję Liczby są proporcjonalne do odwrotności liczb (lub są odwrotnie proporcjonalne do liczb

Funkcje, proporcje cd. Przykład Rozważmy prostokąty o obwodzie 12 cm. Niech x oznacza długość jednego z boków, a y pole takiego prostokąta. Określ wzorem zależność y od x. Narysuj wykres tej funkcji i odczytaj z wykresu, który z rozważanych prostokątów ma największe pole.

Bibliografia Cuda naszego świata (E. Davies red.), Arkady, Warszawa 2008. Encyklopedia szkolna. Matematyka (W. Waliszewski red.), WSiP, Warszawa 1988. S. Kulczycki, Geometria nieeuklidesowa, PWN, Warszawa, 1956. Z. Krygowska, Geometria, WSiP, Warszawa 1979. Z. Krygowska, G. Treliński, Geometria, WSiP, Warszawa 1986. Matematyka 1-3. Podręcznik. Gimnazjum, (M. Dobrowolska red.), GWO, Gdańsk 2011. H. Smolański, Magiczne obrazki 3D, Videograf, Katowice 1995. www.wikipedia.pl