Rozkład t

Rozkład t Studenta Stosujemy, gdy: - Próba jest niewielka - Odchylenie standardowe w populacji jest nieznane Używany do: - Budowania przedziałów ufności średnich pochodzących z dwóch prób - Analizie regresji

Rozkład t Studenta Podobieństwa do rozkładu normalnego: -Symetryczny -Jednomodalny -Średnia =0 Różnice: O kształcenie decyduje liczba stopni swobody Ma „cięższe ogony” – bardziej wysmukły i ma większą koncentrację obserwacji na krańcach rozkładu Ma większe odchylenie standardowe (niż 1)  zależne od stopni swodoby

Porównanie rozkładów

Jak postępowaliśmy dotychczas, a jak będziemy postępować teraz? Weryfikacja hipotezy o średniej przy pomocy średniej z próby: Wyznaczaliśmy obszar krytyczny (jego koniec) i sprawdzaliśmy, czy średnia z próby „wpada” czy nie do tego przedziału Weryfikacja hipotezy o średniej przy pomocy rozkładu t: obliczamy standaryzowaną wartość średniej w próbie (statystykę t), a następnie porównujemy jej wartość z wartością krytyczną dla rozkładu t dla odpowiedniego poziomu istotności.

Kiedy odrzucić ho posługując się testem t (Lissowski)? Dla testu jednostronnego: Lewostronnego: obliczone t jest mniejsze niż minus wartość krytyczna rozkładu t Prawostronnego: obliczone t jest większe niż wartość krytyczna rozkładu t Dla testu obustronnego: Jeśli wartość bezwzględna t jest większa niż wartość krytyczna dla testu obustronnego rozkładu t

Test t dla jednej próby

Dane Zadanie. Ho = 100 H1= 99 α=0,05 n=25 X=99,4 Df=n-1

Obliczenie statystyki

Podjęcie decyzji Sprawdzamy w tablicach rozkładu statystyki t graniczną wartość obszaru krytycznego Krok 1- odczytujemy kolumnę w pionie – stopnie swobody (patrzymy na wartość n-1) Krok 2 – wybieramy poziom prawdopodobieństwa dla odpowiedniego testu (dwu lub jednostronnego)

Fragment tablicy rozkładu t

Podjęcie decyzji Wartość krytyczna dla 0,05 i 24 stopni swobody wynosi 1,711 Dla testu lewostronnego dostawiamy „-” Obszar krytyczny wynosi (-∞; - 1,711) DECYZJA: -0,3>-1,711 nie mamy postaw do odrzucenia Ho na rzecz H1.

Ćwiczenie W pewnej grupie studenckiej badano poziom lęku przed egzaminem. Z próby liczącej sobie 21 osób wynikało, że średni poziom lęku wynosił 13 punktów, a odchylenie standardowe 2. W całej populacji studentów średnia lęku wynosiła 17. Czy można zaakceptować hipotezę, że w całej populacji średnia lęku jest niższa?

Hipotezy o różnicy dwóch średnich

Dwa warianty W próbach zależnych (mężowie i żony, pretest i postest) W próbach niezależnych (kobiety i mężczyźni) Hipoteza zerowa: obie średnie w populacji lub w obu populacjach są takie same

Średnie w próbach zależnych Przykład Interesuje nas jak zmieniały się dochody pewnej grupy osób między rokiem 2011, a 2013. W 2011 średni dochód wynosił 2500 zł, a odchylenie standardowe 400 zł, a w 2012 2460 zł. przy odchyleniu 700 zł (n=30). Chcemy zweryfikować czy w populacji zarobki są takie same, czy inne.

Wyznaczanie statystki t E(X-Y) różnica między średnią z pierwszego i drugiego pomiaru Sxy – odchylenie standardowe rozkładu różnic

Określenie warunków 1. Sformułowanie hipotez H0 : E(X)=E(Y), czyli różnica wynosi zero E(X)-E(Y)=0 H1 : E(X)≠E(Y), czyli różnica nie wynosi zero E(X)-E(Y) ≠ 0 α=0,05 Df=n-1

Obliczenie wartości statystyki t 2. Liczymy -przyjmijmy, że odchylenie standardowe różnic wynosi 600 zł 3. Podejmujemy decyzję

Zadanie Pewną grupę studentów poproszono o napisanie egzaminu, a następnie dano im specjalnie przygotowane materiały do nauki i poproszono ich o napisanie go jeszcze raz. Interesuje nas jak zmieniały się wyniki. W pierwszym podejściu średnia wynosiła 29 punktów, a w drugim 31 (n=25). Czy materiały pomogły studentom? (średnie odchyleni wynosi 13).

Zadanie Pewien polityk chce dowiedzieć się czy zastosowana przez niego kampania wpłynęła na wzrost popularności. Przebadał dwukrotnie tę samą 17-sto osobową grupę osób. Okazało się, że różnica w średniej poparcia wynosi 35 punktów, a odchylenie standardowe 3,57. Czy zastosowane przez polityka kampania jest skuteczna?

Zastosowanie testu t dla prób niezależnych df=2(n-1)

Zadanie Załóżmy, że płeć ma związek z wykształceniem. Pobrano próbę osób (n=32, po 16 kobiet i 16 mężczyzn), z której wynika, że kobiety uczą się średnio przez 17,9 lat (odchylenie standardowe 3), a mężczyźni 16,9 lat (odchylenie standardowe 4).

1. Sformułowanie hipotez H0 : E(X)=E(Y), czyli różnica wynosi zero E(X)-E(Y)=0 H1 : E(X)≠E(Y), czyli różnica wynosi zero E(X)-E(Y) ≠ 0 2. Ustalenie reguły decyzji α=0,05 k= 2,042 df=2(n-1); df=2(16-1)=30 Odrzucimy H0 jeśli wartość t znajdzie się (-∞;-2, 042) lub (2,042; +∞)

3. Wyznaczenie statystki t 4. Podjęcie decyzji

Zadanie Grupę 24 osób przydzielono do dwóch grup. Osoby z pierwszej grupy miały czerpać informacje o świecie tylko z TV, a z drugiej z Internetu. Następnie porównano zakres wiedzy obu grup na temat bieżących wydarzeń. Grupa 1: średnia 24 punkty, odchylenie standardowe 4; Grupa 2: średnia 21 punktów, odchylenie standardowe 3. Sprawdz czy grupy się różnią.