Modele dwumianowe dr Mirosław Budzicki

Struktura wykładu Założenia drzew dwumianowych Zasady wyceny opcji Drzewo dwumianowe dwuokresowe

1. Założenia drzew dwumianowych Twórcami modelu byli: John Cox, Stephen Ross i Mark Rubinstein (1976). Jest to model aproksymujący wyniki modelu Blacka-Scholesa-Mertona. Zaletami metody: proste zastosowanie. Założenia: istnieje określona dyskretna ilość prób dwa możliwe scenariusze: spadek (d) lub wzrost (u) notowań instrumentu bazowego prawdopodobieństwo obydwu scenariuszy jest stałe w czasie brak autokorelacji (brak zależności obserwowanych zdarzeń) skokowa zmiana cen w kolejnych okresach

Drzewa dwumianowe Zakładamy: wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego o 10% oraz zmianę notowań w jednym okresie (np. w dziennym interwale czasowym). Cena wykonania (X) wynosi 21 PLN, opcja wygasa za 3 miesiące. Powyższe założenie można modyfikować poprzez zwiększenie liczby rozpatrywanych okresów. Przykładowo rozważać zmiany w ciągu 4 dni (model czterookresowy). Model nie uwzględnia prawdopodobieństwa zmiany ceny akcji – przyjęte zostało założenie, że prawdopodobieństwo zostało zawarte w cenie akcji. 20 PLN 18 PLN 22 PLN (wartość opcji 1 PLN) (wartość opcji 0 PLN)

Model dwumianowy uogólniony (3 okresy) dS uS ddS udS uuS uddS uudS uuuS S dddS

2. Zasady wyceny opcji Pierwszym krokiem jest zbudowanie portfela wolnego od ryzyka składającego się z: długiej pozycji w instrumencie bazowym (np. akcji) krótkiej pozycji w opcji call Założenie: zmianę wartości akcji równoważy odwrotna zmiana wartości opcji. Wyznaczamy współczynnik zabezpieczenia (delta) – dla przykładu z 1 okresem (cena wykonania 21 PLN): f – wartość opcji (wartość wewnętrzna w momencie wykonania – dla opcji call: S-X) S – wartość instrumentu bazowego Indeks „u” oznacza ruch cen w górę, zaś „d” – ruch w dół Portfel wolny od ryzyka: na 1 opcję przypada 0,25 akcji (lub inaczej na 4 opcje przypada 1 akcja)

Symulacja portfela akcji i opcji Następnie obliczamy wartość portfela w przypadku wzrostu ceny akcji (u) jak i jej spadku (d): jeśli cena wzrośnie o 10%, wówczas: 22 * 0,25 – 1 = 5,5 – 1 = 4,5 PLN jeśli cena spadnie o 10%, wówczas: 18 * 0,25 – 0 = 4,5 – 0 = 4,5 PLN Tylko w przypadku, gdy w portfelu na 1 wystawioną opcję call przypadnie 0,25 akcji kupionych, wynik portfela przy cenie akcji równej 18 PLN i 22 PLN będzie równy 4,5 PLN.

Wycena opcji Portfel zabezpieczony to: 0,25 * instrument bazowy - 1 opcja call (pozycja wystawcy) w t1: bez względu na notowania instrumentu bazowego portfel akcji i opcji wynosi 4,5 PLN Jeśli arbitraż jest niemożliwy, stopa zwrotu z portfela jest równa stopie wolnej od ryzyka. Obliczamy wartość bieżącą portfela zabezpieczonego, przy założeniu, że w tym przypadku stopa wolna od ryzyka wynosi 12% w skali roku. Wartość opcji wynosi: Wartość opcji wyższa niż 0,633 powoduje, że koszt budowy portfela byłby niższy niż 4,376 PLN (stopa zwrotu wyższa od stopy wolnej od ryzyka). Niższa wartość opcji to wyższy koszt budowy portfela i zarazem niższa stopa od stopy wolnej od ryzyka. Wartość bieżąca portfela powinna być równa sumie jego składowych w początkowym momencie.

Wycena opcji (1-dniowa) 2 metoda (dla wcześniej podanych parametrów w zadaniu): Przyjmujemy, że obecna wartość opcji jest równa jej oczekiwanej wartości przyszłej, zdyskontowanej według wolnej od ryzyka stopy procentowej (powszechna obojętność wobec ryzyka, stopa zwrotu z akcji równa stopie wolnej od ryzyka). Jeśli założymy, że p jest prawdopodobieństwem wzrostu, a (1-p) spadku ceny akcji, to E(ST) = p*Su + (1-p)* Sd Jeśli inwestorzy są obojętni wobec ryzyka, to wówczas oczekują stopy zwrotu z akcji równej stopie wolnej od ryzyka: E(ST) = S*er*T (w czasie t) W naszym przykładzie: 22*p + (1-p)*18 = 20*e0,12*0,25 p=0,6523 (prawdopodobieństwo) Przyszła wartość oczekiwana opcji: 0,6523*1+(1- 0,6523)*0 = 0,6523 Wartość bieżąca opcji: 0,6523*e-0,12*0,25=0,633

Uogólnienie Jeśli zatem: p*Su + (1-p)*Sd = SerT p*u + (1-p)*d = erT Jeśli, r=12%, T=0,25, u=1,1, d=0,9, fu=1, fd=0, wówczas:

3. Drzewo dwumianowe dwuokresowe Przy zachowanych parametrach zadania wprowadzamy kolejny 3-miesięczny okres (spadki/wzrosty cen akcji o 10%). 2 krok: wycena opcji w 1 okresie 24,2 (3,2) 1 krok: wycena opcji w ostatnim okresie 22 (2,0257) 20 (1,2823) 19,8 (0) 18 (0) 3 krok: wycena opcji w 0 okresie 16,2 (0)

Drzewo dwumianowe dwuokresowe Wycena opcji w 1 okresie dla wzrostu ceny (u): Wycena opcji w 0 okresie: Opcja kupna jest warta 1,2823.