dr Przemysław Garsztka Analiza techniczna dr Przemysław Garsztka

Definicje Stopa zwrotu z portfela papierów wartościowych Oczekiwana stopa zwrotu z portfela papierów wartościowych

Definicje Kowariancja

Definicje Wariancja

Twierdzenie 1 Założenia niech c będzie pewną stałą, a r – c wektorem

Twierdzenie 1 (c.d.) Założenia Niech ponadto z będzie rozwiązaniem układu równań liniowych:

jest elementem brzegu zbioru portfeli dopuszczalnych Twierdzenie 1 (c.d.) Wektor x o współrzędnych jest elementem brzegu zbioru portfeli dopuszczalnych Uwaga. Portfel brzegowy nie musi być efektywny, ale każdy portfel efektywny leży na brzegu zbioru portfeli dopuszczalnych

Dowód twierdzenia 1 Portfel x znajduje się na brzegu zbioru portfeli dopuszczalnych wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiada punktowi styczności krzywej brzegu portfeli dopuszczalnych i półprostej zaczepionej w punkcie c. Znajdujący się na brzegu zbioru portfeli dopuszczalnych portfel x maksymalizuje (albo minimalizuje) iloraz: Uwaga. Portfel jest identyfikowany przez jego strukturę (współczynniki udziału) x

Dowód twierdzenia 1 (c.d.) Z równania wynika, że: przy czym nadwyżkowa, ponad c, stopa zwrotu z portfela wynosi: wariancja stopy zwrotu z portfela wynosi:

Dowód twierdzenia 1 (c.d.) Wybierzmy papier wartościowy o numerze h. Dla tego papieru: oraz Przyjmując, że warunek konieczny istnienia ekstremum ma postać: co kończy dowód.

Twierdzenie 2 Liniowa kombinacja dwóch portfeli brzegowych jest portfelem brzegowym.

Dowód twierdzenia 2 Niech x oraz y będą elementami brzegu zbioru portfeli dopuszczalnych. Istnieją więc wektory: oraz stałe: że oraz Dla dowolnej liczby  spełniony jest układ równań: Portfel o strukturze w, powstały po znormalizowaniu jest elementem brzegu zbioru portfeli dopuszczalnych

Twierdzenie 3 Niech y będzie dowolnym portfelem brzegowym zbioru portfeli dopuszczalnych. Dla dowolnego portfela x zachodzi relacja (*): przy czym Ponadto, jest oczekiwanym zwrotem z portfela z, którego kowariancja z y wynosi zero,

Dowód twierdzenia 3 (część (*)) Niech x oraz y będą portfelami brzegowymi. Z definicji = Ponieważ y jest portfelem brzegowym, więc istnieje wektor w oraz stała c, że przy czym Tak więc

Twierdzenie 4 Jeżeli istnieje walor pozbawiony ryzyka, ze stopą zwrotu Jeżeli dodatkowo y jest portfelem rynkowym, to Uwaga. Portfel rynkowy nie musi być efektywny. Aby testować CAPM należy przede wszystkim sprawdzić, czy portfel przyjęty za rynkowy jest efektywny. (Roll, 1977, 1978)

Twierdzenie 5 Załóżmy, że istnieje portfel y, że dla każdego x zachodzi relacja przy czym Portfel y jest brzegowy.

Portfele brzegowe. Przykład Założenia przykładu Pierwszy portfel brzegowy: x1 = 0,05; x2 = 0,05 Drugi portfel brzegowy: x1 = 0,75; x2 = 0,25 E(R1)=4, D(R1)=2; E(R2)=10, D(R2)=6 Współczynnik korelacji = -0,05

Portfele brzegowe. Przykład

Portfele brzegowe. Przykład