Andrzej Dąbrowski Wrocław BUFFONADA Andrzej Dąbrowski Wrocław
Igła Buffona (1777) Georges Louis Leclerc hrabia de Buffon (1707-1788)
Igła Buffona ogólniej 21 przecięć 15 przecięć Ile przecięć można oczekiwać? Czy zależy to od kształtu „igły”? Czy zależy od długości „igły”? Czy zależy od odstępu między liniami?
Oczekiwana liczba przecięć dla prostej igły E(d,l) oczekiwana (przeciętna) liczba przecięć gdy igła ma długość l i odstęp między liniami jest d Niezależnie od położenia igły, zawsze: liczba przecięć = liczba przecięć w części żółtej + liczba przecięć w części różowej E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2)
Oczekiwana liczba przecięć dla prostej igły E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2) Wynik ten można rozszerzyć na dowolną liczbę części igły: E(d,l1+l2 +l3 +l4)= E(d,l1)+ E(d,l2)+ E(d,l3)+ E(d,l4)
Oczekiwana liczba przecięć dla igły łamanej Wynik można uogólnić na dowolną igłę łamaną: E(d,l1+l2 +l3 +l4)= E(d,l1)+ E(d,l2)+ E(d,l3)+ E(d,l4)
Oczekiwana liczba przecięć – dowolny kształt E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2) Dowód: wystarczy krzywą podzielić na łamaną o dużej liczbie kawałków Oczekiwana liczba przecięć: nie zależy od kształtu „igły” zależy od d i l
Oczekiwana liczba przecięć wzór E(d,l1+l2)= E(d,l1)+ E(d,l2) E(d,0)=0 Równanie Cauchy’ego E(d,l)= f(d)*l Jaka jest postać funkcji f(d)?
Ostateczny wzór E(d,l)= f(d) l 2= f(d) π d
Co z tego wynika? gdy d=2l to Gdy l<d oczekiwana igła przetnie linie co najwyżej raz więc oczekiwana liczba przecięć jest równa prawdopodobieństwu przecięcia gdy d=2l to
Długość krzywej gdy to Przykład przecięcia: 8, 9, 10 l=E=9
Tomografia E=c l l długość krzywej c=stała Prosta prześwietla krzywą pod losowym kątem E=c l l długość krzywej c=stała
Tomografia E=c l 2p=cl p=cl/2 Gdy krzywa jest wypukła i zamknięta to E=2 p p prawdopodobieństwo, że linia przetnie krzywą
Tomografia Promień przecina zewnętrzną krzywą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przetnie krzywą wewnętrzną? P(F1)=cl1/2 P(F2)=cl2/2
Tomografia Przykład Promień koła 10 cm Na 100 prześwietleń koła 30 trafia krzywą. Długość ≈ 6,28*10*0,3 =18,84 cm Jak oszacować długość l krzywej wypukłej zamkniętej? Zawrzeć ją w kole o znanym promieniu r