Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 2 im. Aleksandra Kamińskiego w Żarach ID grupy: 98/42_MF_G1 Kompetencja: Fizyka i matematyka Temat projektowy: Średnie liczb dodatnich Semestr/rok szkolny: V/2011/2012

Średnie liczb dodatnich

TEMATYKA: Średnie liczb to pojęcie, które towarzyszy nam praktycznie od dzieciństwa: średnia ocen, średnia temperatura, średnia opadów, średnia cena, średnia prędkość, średnia płaca, … i ciągle lubimy być powyżej średniej…

Cele projektu: Opracowanie zbioru średnich liczb dodatnich, Opracowanie zestawu zależności i związków między średnimi, Poznanie różnorodnego zastosowania średnich, Rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych, Kształtowanie i rozwijanie umiejętności współpracy w zespole i podejmowania decyzji grupowych.

Występujące pojęcia: Średnia arytmetyczna Średnia geometryczna Średnia harmoniczna Średnia kwadratowa Średnia ważona

Zakres i podział zadań Strona techniczna wykonania projektu: Paweł Bujakowski, Karol Dziduszko, Mateusz Dróżdż, Michał Izdebski, Michał Muszka Wybór zdjęć: Pamela Krasowska, Ania Pawłowska, Klaudia Wołoskowska, Arek Bondarenko, Krzysztof Bastian - Brzeziński Estetyka projektu i poprawność językowa: Pamela Krasowska, Anna Pawłowska

Opracowanie poszczególnych zagadnień: Średnia arytmetyczna – Klaudia Wołoskowska, Krzysztof Bastian- Brzeziński Średnia geometryczna - Karol Dziduszko, Arkadiusz Bondarenko Średnia harmoniczna - Michał Izdebski, Michał Muszka Średnia kwadratowa - Pamela Krasowska, Ania Pawłowska Średnia ważona – Mateusz Dróżdż, Paweł Bujakowski Związki między średnimi - Michał Izdebski, Karol Dziduszko

Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna n liczb rzeczywistych a1, …, an – liczba określona wzorem ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne; Warszawa 2000; str.300

Średnia geometryczna Średnia geometryczna n liczb rzeczywistych nieujemnych a1, …, an – liczba określona wzorem ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne; Warszawa 2000; str.301

Średnia harmoniczna Średnia harmonicza n liczb rzeczywistych dodatnich a1, …, an – liczba określona wzorem ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne; Warszawa 2000; str.301

Średnia kwadratowa Średnia kwadratowa n liczb rzeczywistych dodatnich a1, …, an jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb http://pl.wikipedia.org/wiki/Średnia_kwadratowa

Średnia kwadratowA W matematyce średnia kwadratowa jest to przykład miary statystycznej pozwalającej oszacować rząd wielkości serii danych liczbowych lub funkcji ciągłej, użyteczny zwłaszcza w przypadku, gdy wielkości różnią się znakiem. http://pl.wikipedia.org/wiki/Średnia_kwadratowa

Średnia kwadratowA Zastosowanie: W matematyce – odchylenie standardowe W rachunku błędów W teorii kinetycznej gazów W teorii sygnałów http://pl.wikipedia.org/wiki/Średnia_kwadratowa

Średnia ważona Średnia ważona n liczb rzeczywistych a1, …, an z dodatnimi wagami odpowiednio p1 ,…, pn – liczba określona wzorem ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne; Warszawa 2000; str.301

Nierówność Cauchy’ego o Średnich Jeżeli a1, a2, …, an są liczbami dodatnimi, to ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, …, an jest nierosnący: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier

Zadanie 1 Udowodnij związek Sk ≥ Sa dla liczb dodatnich a1, a2.

Dowód

Zadanie 2 Udowodnij związek Sa ≥ Sg dla liczb dodatnich a1, a2.

dowód

ZASTOSOWNIE ŚREDNICH

Średnia ocen Zadanie 3 Oblicz średnią ocen ucznia, który ma 2 szóstki, 12 piątek, 4 czwórki. Rozwiązanie

mediana Mediana- liczba, w danym szeregu uporządkowanym, która jest w połowie szeregu w wypadku nieparzystej liczby elementów. Dla parzystej liczby elementów – średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb. Przykład 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6 http://pl.wikipedia.org/wiki/Mediana

mediana Mediana znalazła szerokie zastosowanie w statystyce jako średnia znacznie bardziej odporna na elementy odstające niż średnia arytmetyczna. Używana jest także w grafice komputerowej i cyfrowym przetwarzaniu sygnałów w celu odszumiania - na obrazie zachowuje ona ostre krawędzie przy jednoczesnym usunięciu szumów. http://pl.wikipedia.org/wiki/Mediana

Średni ważony koszt kapitału Średni ważony koszt kapitału (WACC) - wskaźnik finansowy, informujący o przeciętnym koszcie względnym kapitału zaangażowanego w finansowanie inwestycji przez przedsiębiorstwo. Jest średnią ważoną kosztów składników kapitału finansującego inwestycję i dany jest wzorem: gdzie: Ki - koszt i-tego składnika kapitału, wi - udział i-tego składnika kapitału w źródłach finansowania, n - liczba składników kapitału. http://pl.wikipedia.org/wiki/Średni_ważony_koszt_kapitału

Środek masy Środek masy ciała lub układu ciał – punkt, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii. Wzór na wektor wodzący środka masy: http://pl.wikipedia.org/wiki/Środek_masy

Środek ciężkości Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy. W geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy. http://pl.wikipedia.org/wiki/Środek_ciężkości

Środek ciężkości Środek ciężkości ciała wyraża się wzorem gdzie mk - masy elementów danego ciała (k = 1, 2, 3,…) rk – wektor, reprezentujący położenie ciała w obranym układzie współrzędnych g(rk) - wartość przyspieszenia grawitacyjnego działającego w punkcie rk. http://pl.wikipedia.org/wiki/Środek_ciężkości

Środek ciężkości Dwa ciała o jednakowych masach krążące wokół wspólnego barycentrum. Dwa ciała o zbliżonych masach krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Pluton i Charon). http://pl.wikipedia.org/wiki/Środek_ciężkości

Środek ciężkości Dwa ciała o dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum. Dwa ciała o bardzo dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Ziemia i Księżyc). http://pl.wikipedia.org/wiki/Środek_ciężkości

Środek ciężkości Dwa ciała o jednakowych masach krążące po orbitach eliptycznych wokół wspólnego barycentrum (układ potencjalnie niestabilny). http://pl.wikipedia.org/wiki/Środek_ciężkości

Środek ciężkości Barycentrum Układu Słonecznego w latach 1945 - 1995 http://pl.wikipedia.org/wiki/Środek_ciężkości

Podsumowanie projektu – wnioski Rozwiązywanie zadań dotyczących średnich utrwaliło nasze wiadomości i umiejętności przed egzaminem gimnazjalnym, Poznaliśmy różnorodne zastosowanie średnich liczb, Umiemy zastosować poznaną wiedzę w praktyce, Realizacja projektu nauczyła nas pracować w zespole, a wspólna praca okazała się świetną zabawą.

Bibliografia ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo- Techniczne; Warszawa 2000 http://pl.wikipedia.org/wiki/Mediana http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier http://pl.wikipedia.org/wiki/Średnia_kwadratowa http://pl.wikipedia.org/wiki/Średni_ważony_koszt_kapitału http://pl.wikipedia.org/wiki/Środek_ciężkości http://pl.wikipedia.org/wiki/Środek_masy

Prezentację wykonali: Krzysztof Bastian – Brzeziński Arkadiusz Bondarenko Paweł Bujakowski Karol Dziduszko Mateusz Dróżdż Michał Izdebski Pamela Krasowska Michał Muszka Ania Pawłowska Klaudia Wołoskowska