STATYSTYKA WYKŁAD 03 dr Marek Siłuszyk

Plan wykładu:

zależności Pij mleko będziesz wielki Ucz się a wyrosną z Ciebie ludzie Każdy wypalony papieros skraca Twoje życie o 5 minut

Korelacja

Aproksymacja

Aproksymacja (przybliżenie) — zastępowanie jednych wielkości innymi, bliskimi w ściśle sprecyzowanym sensie, czyli zastępowanie jednej wartości za pomocą innych. Aproksymowaniem funkcji nazywamy przybliżanie jej za pomocą kombinacji liniowej tzw. funkcji bazowych. Funkcja aproksymująca – przybliżenie zadanej funkcji nie musi przechodzić przez jakieś zadane punkty, tak jak to jest w interpolacji. Mówi się że funkcja przybliżająca wygładza daną funkcję. Przybliżenie takie powoduje pojawienie się błędów, zwanych błędami aproksymacji. Przybliżenie w tym wypadku rozumiane jest jako minimalizacja pewnej funkcji błędu. Prawdopodobnie najpopularniejszą miarą tego błędu jest średni błąd kwadratowy, ale możliwe są również inne funkcje błędu, jak choćby średni błąd. Bardzo dobrym narzędziem aproksymacyjnym są sieci neuronowe. Najpopularniejsza z aproksymacji jest aproksymacja liniowa, gdzie funkcją bazową jest funkcja liniowa.

F(x) = a0U0(x) + a1U1(x) + ... + amUm(x) Celem aproksymacji jest znalezienie zależności funkcyjnej F ( x ), w przybliżeniu pokrywającej się z pewną funkcją f ( x ) , określoną w postaci ciągu punktów. Punkty te mogą pochodzić z pomiarów, albo mogą być wynikami innych obliczeń. Funkcja aproksymującą buduje się najczęściej w postaci kombinacji liniowej ortogonalnych funkcji bazowych.   F(x) = a0U0(x) + a1U1(x) + ... + amUm(x) gdzie : U0(x), U1(x), ... , Um(x) jest zbiorem ortogonalnych funkcji bazowych.

Przypomnienie: Zbiór funkcji jest ortogonalny, jeśli iloczyn skalarny każdych dwóch funkcji ze zbioru jest równy zeru. Układ funkcji ortogonalnych jest jednocześnie zbiorem funkcji linowo niezależnych. Miarą zgodności funkcji aproksymującej F(x) i funkcji aproksymowanej f(x) jest norma: Celem obliczeń jest wyznaczenie wartości współczynników: a0, a1, ..., am

APROKSYMACJA WIELOMIANEM ALGEBRAICZNYM Przyjmuje się funkcje bazowe w postaci jednomianów : U0 ( x ) = x0 U1 ( x ) = x1 U2 ( x ) = x2 ......... Um ( x ) = xm Funkcja aproksymująca ma postać : F(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + amxm Odchylenie kwadratowe wyraża się następująco :

Należy znaleźć współczynnik a0, a1, a2, Należy znaleźć współczynnik a0, a1, a2, ... , am takie, aby S miało wartość minimalną. W celu znalezienia min (s) przyrównujemy do zera pochodne cząstkowe :

Otrzymujemy : Otrzymujemy układ m+1 równań z m+1 niewiadomymi: a0, a1, a2, ... ,am

Korzystając z prawa przemienności sumowania : Wyrażenie ( * ) nazywane jest formą kwadratową i można wykazać, że ma tylko jedno minimum. W takim przypadku warunek konieczny znalezienia minimum, tj. pochodne cząstkowe = 0, jest również warunkiem dostatecznym.

PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Danych jest n = 5 punktów o współrzędnych: x y x2 xy y2 1 2 4 3 6 9 5 15 25 7 16 28 49 10 50 100 ?

http://pl.wikipedia.org/wiki/Zale%C5%BCno%C5%9B%C4%87_zmiennych_losowych

następny wykład

Zapraszam na ostatni Wykład Dziękuję za Uwagę Zapraszam na ostatni Wykład 