Model immunologiczny

Co to jest układ immunologiczny? Układ immunologiczny (odpornościowy) - to system organizmu odpowiedzialny za rozpoznanie i zwalczanie (za pomocą przeciwciał ) infekcji wirusów, bakterii, pierwotniaków, a także zwalczanie obcych tkanek i nowotworów. Substancje odpowiedzialne za wywołanie reakcji odpornościowej nazywamy antygenemi. Przeciwciało – zasadniczy element układu odpornościowego, ma za zadanie rozpoznanie, związanie antygenu i usunięcie go z organizmu

Rodzaje antygenów aktywne (bakterie, grzyby, wirusy,komórki nowotworowe) mają zdolność do aktywnego namnażania się w organizmie; pasywne (trucizny, jady) nie mają zdolności samoistnego namnażania się; własne tzw. autoantygeny, produkowane przez organizm (antygeny transplantacyjne);

Oznaczenia modelu odpornościowego. F(t) – stężenie przeciwciał w chwili t V(t) – zagęszczenie antygenu w chwili t Dynamikę procesu zagęszczania namnażania się antygenu opisuje równanie: odpowiednio dla -antygenu aktywnego: dV/dt = rV (*) r>0 - współczynnik namnażania netto (róznica między wsp. rozrodczości i śmiertelności ) ; -antygenu pasywnego: dV/dt = rV, ale r<0; -autoantygenu dV/dt = p –sV, s,p>0 p-stałe żródło, s- wsp.śmiertelności

Założenia i konstrukcja modelu Zakładamy, że dany antygen wywołuje reakcję odpornościową . Szybkość produkcji przeciwciał jest proporcjonalna do ilości przeciwciał, Szybkośc usuwania antygenu z organizmu jest proporcjonalna do iloczynu V(t)F(t), Wobec tego w równaniu (*)( dV/dt = rV ) musimy uwzględnić kolejny składnik opisujący oddziaływanie antygen- przeciwciało dV/dt = r 1 V - c 1 VF, c 1 – skuteczność przeciwciał . w zwalczaniu antygenów

Dynamikę tego procesu opisuje równanie: dF/dt = r 2 V - c 2 VF, Układ odpornościowy aktywuje się po wykryciu antygenu. Przeciwciała giną w trakcie neutralizacji antygenu, zostają wyrugowane wraz z antygenem z organizmu, Dynamikę tego procesu opisuje równanie: dF/dt = r 2 V - c 2 VF, Ostatecznie model wygląda następująco (układ równań): dV/dt = r 1 V - c1 VF dF/dt = r 2 V - c 2 VF r 1 ,r 2 ,c 1 ,c 2 >0

Rozwiązanie, szukamy punktów stacjonarnych układu równań(#) dV/dt = 0 => V(r1 - c1 F) = 0 dF/dt = 0 => V(r2 - c2 F) = 0 więc V=0 lub F= r1 / c1= a1 V=0 lub F= r2 / c2= a2 szukane punkty krytyczne są postaci (0,F)

Przypadek 1 a= a1 = a2 Punkty krytyczne (0,F),(V,a) Każde rozwiązanie zbiega do jednego z rozwiązań stacjonarnych, Z układu równań(#) dV/dt = c1(r1V/ c1 - VF) = c1(aV – VF) dF/dt = c2 (r2V c2 - VF) = c2(aV – VF) równanie orbit dV / dF = c1/ c2 => V = c1/ c2 F + C (funkcja liniowa) Portret fazowy

Przypadek 2 a1 < a2 Każde rozwiązanie zbiega do jednego z rozwiązań stacjonarnych (0,F); równanie orbit dV/dF= (r1-c1F) / (r2-c2F) ∫dV= ∫ (r1-c1F) / (r2-c2F)df = c1/c2 ∫(r1/c1 – F) / (r2/c2 -F) df = ∫(F- a1) / (F- a2)df = ∫dF - ∫1/(F-a2)df =c1/c2( F – (a2 - a1) ln(F- a2)) V= c1/ c2 [ F- (a2 - a1) ln(F- a2) ] Portret fazowy

Interpretacja: W tej sytuacji mamy zawsze do czynienia z wyzdrowieniem bez względu na początkową dawkę antygenu. Jeżeli poziom przeciwciał jest dostatecznie duży (silny układ odpornościowy), to zagęszczenie antygenu stale maleje w czasie (wykres 1), a jeżeli jest niezbyt duży w stosunku do początkowej dawki antygenu (słaby antygen), to w 1 fazie odpowiedzi odpornościowej układ nie może sobie poradzić i V(t) wzrasta, ale po pewnym czasie F(t) wzrasta i V(t) maleje do zera (wykres 2 )

Przypadek 3 a1 > a2 Każde rozwiązanie zbiega do jednego z rozwiązań stacjonarnych (0,F), V= c1/ c2 [ F+(r2 / c2 - r1 / c1) +ln |F - r2 / c2 |+C] portret fazowy:

Interpretacja: Jeżeli antygen Vo jest silny to wyzdrowienie jest możliwe tylko w przypadku dostatecznie dużego początkowego poziomu przeciwciał F0 > c1 oraz w stosunkowo niewielkiej dawki początkowej antygenu V0 (wykres 3), w przeciwnym przypadku organizm nie może poradzić sobie z antygenem (wykres 4)

. Widzimy, że zaprezentowany model jest zbyt prosty, aby mógł w odpowiedni sposób odzwierciedlić rzeczywiste procesy. W szczególności w rzeczywistości nie jest możliwe, by nawet bardzo silny układ odpornościowy zawsze poradził sobie z antygenem, bez względu na wielkość dawki początkowej. Do lepszej analizy problemu buduje się bardziej skomplikowane modele.

Autor: Paweł Witczak Koniec