Temat projektowy: Matematyka dla inteligentnych Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 2 im. Zespół Szkół Ogólnokształcących nr 5 im. Aleksandra Kamińskiego im. Skamandrytów Gimnazjum nr 17 w Żarach w Szczecinie ID grupy: ID grupy: 98/42_MF_G1 98/5_MF_G2 Kompetencja: Fizyka i matematyka Temat projektowy: Matematyka dla inteligentnych Semestr/rok szkolny: III/2010/2011

MATEMATYKA DLA INTELIGENTNYCH „Żadna nauka nie wzmacnia tak wiary w potęgę umysłu ludzkiego, jak matematyka.” Hugo Dionizy Steinhaus http://www.math.edu.pl/

TEMATYKA: Test IQ to test, który potrafi zaintrygować każdego. Wielcy i sławni, aktorzy, politycy, biznesmeni, … znają już swój iloraz inteligencji. Prezentacja przedstawia test IQ, skonstruowany wspólnie przez dwie grupy projektowe. Mamy nadzieję, że rozwiązywanie zadań przyniesie wiele satysfakcji dla wszystkich, którzy zmierzą się z tym testem.

Cele projektu: Utworzenie zbioru zadań bloku matematycznego testu IQ, Doskonalenie umiejętności rozwiązywania zadań logicznych, łamigłówek rysunkowych i rachunkowych, Rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych, Rozwijanie umiejętności organizacji pracy własnej, Kształtowanie i rozwijanie umiejętności współpracy w zespole i podejmowania decyzji grupowych. T.

Występujące pojęcia: Test IQ Łamigłówki Arytmetyka Algebra Geometria Kombinatoryka Ciąg liczbowy Sudoku

Zakres i podział zadań Zadania 1 – 15, 30 Sudoku Zadania 16 – 29 98/42_MF_G1 98/5_MF_G2 Zadania 1 – 15, 30 Sudoku Zadania 16 – 29

Test IQ Iloraz inteligencji albo IQ jest wartością liczbową, opisującą inteligencję człowieka w stosunku do reszty populacji. Pierwotna definicja IQ o mierzeniu inteligencji dzieci była następująca: IQ jest ilorazem wieku mentalnego do wieku fizycznego pomnożonym przez liczbę sto. Wiek mentalny był ustalony na podstawie rezultatu przeciętnego testu inteligencji dla określonej grupy wiekowej. http://www.quickiqtest.net/polish/

Historia badań IQ Pierwsze testy IQ pojawiły się pod koniec XIX wieku, ale nie były w żaden sposób podobne do tych stosowanych obecnie. Pierwszy prawdziwy i miarodajny test na inteligencję został opracowany w 1905 roku przez Alfreda Bineta - francuskiego psychologa. Opublikował on zestaw testów przeznaczonych dla dzieci. Pojęcie ilorazu inteligencji zostało wymyślone przez Williama Sterna w 1912 roku. W 1939 roku amerykański psycholog David Weschler przedstawił światu pierwszy poważny test inteligencji przeznaczony dla dorosłych. http://iq-test.freehost.pl/historia.html

łamigłówki Łamigłówki to nauka przez rozrywkę, podczas rozwiązywania problemów osoby je rozwiązujące wyrabiają w sobie takie cechy jak spostrzegawczość, cierpliwość czy wytrwałość. Łamigłówki mogą być traktowane jako wyzwania, które gwarantują doskonałą rozrywkę, rozwiązywanie ich nie wymaga wiedzy matematycznej. Rozwiązywanie łamigłówek w dużym stopniu wyrabia umiejętność ścisłego i logicznego myślenia. http://www.math.edu.pl/lamiglowki

arytmetyka Arytmetyka – najstarsza część matematyki. W powszechnym użyciu słowo to odnosi się do zasad opisujących podstawowe działania na liczbach (arytmetyka elementarna). http://pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyka

geometria Geometria – dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. Geometria, podobnie jak arytmetyka należy do jednych z najstarszych nauk. http://pl.wikipedia.org/wiki/Geometria

algebra Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności. Zajmuje się on strukturami algebraicznymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego faktoryzacją i znajdowaniem ich pierwiastków. http://pl.wikipedia.org/wiki/Algebra

Kombinatoryka Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, teorii grafów, teorii informacji i innym działom matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej. Najważniejszym zadaniem kombinatoryki jest konstruowanie spełniających pewne określone warunki odwzorowań jednego zbioru skończonego w drugi oraz znajdowanie wzorów na liczbę tych odwzorowań. http://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinatoryka

Ciąg liczbowy Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. http://pl.wikipedia.org/wiki/Ciąg_liczbowy

sudoku Planszę gry w Sudoku stanowi kwadrat 9x9 z cyframi wpisanymi w niektóre pola kwadratu. Celem gry jest wypełnienie wszystkich pól, tak by w każdym wierszu, w każdej kolumnie, a także w każdym zaznaczonym kwadracie 3x3 wystąpiła dokładnie raz każda z cyfr: 1, 2, 3, ..., 9. Liczby dane na początku służą jako wskazówki. T. Crilly 50 teorii matematyki; Wydawnictwo Naukowe PWN; Warszawa 2009; str. 221

Zanim rozpoczniesz test proponujemy ci małą rozgrzewkę w postaci sudoku. Wpisz brakujące cyfry 1,2,3, …, 9 tak, aby w każdym wierszu, w każdej kolumnie oraz w każdym wyodrębnionym kwadracie każda cyfra występowała dokładnie raz.

1 7 2 5 9 7 1 8 6 3 6 5 9 7 1 7 5 1 8 9 2 3 7 9 4 6 1 7 5 6 2 9 1 8 4 5 7 8 9 3 1 6 8 9 5 Sudoku; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe

3 1 8 6 7 2 5 4 9 ROZW I ĄZAN E 9 7 4 1 8 5 6 3 2 1 6 5 2 4 3 9 7 8 7 6 5 2 1 4 8 9 3 2 3 1 7 9 8 4 5 6 1 2 7 4 8 9 3 5 6 9 6 1 5 2 7 3 8 4 5 4 7 8 9 3 2 6 1 1 4 6 8 2 3 9 7 5

Test iq Proponujemy Ci rozwiązanie nietypowego testu, gdyż nie jest to test wielokrotnego wyboru. Zgromadzone zadania stanowią wybrane przez nas zadania otwarte. Wymagają one jedynie logicznego myślenia i spostrzegawczości. Życzymy Ci powodzenia. Autorzy

Zadanie 1. Brakująca płytka ? K. Russell, P. Carter; Łamigłówki rysunkowe; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe; Gdańsk 1996; str. 58

Wybierz brakującą płytkę F D E

Rozwiązanie odp. b Należy zauważyć, że w każdym wierszu na prawej płytce występują tylko te elementy, które nie są wspólne dla obu pozostałych płytek w tym rzędzie.

Zadanie 2. Ile trójkątów? K. Russell, P. Carter; Łamigłówki rysunkowe; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe; Gdańsk 1996; str. 61

Rozwiązanie odp. 16 Obliczamy liczbę najmniejszych trójkątów (6), trójkątów składających się z dwóch małych trójkątów (3), liczbę trójkątów składających się z trzech (6) i największy (1). Wówczas liczba trójkątów: 6 + 3 + 6 + 1 = 16

Zadanie 3. kwadraty 8 papierowych kwadratów tej samej wielkości leży jeden na drugim, zachodząc na siebie jak pokazano na rysunku. Wymień je po kolei, zaczynając od leżącego na górze. K. Russell, P. Carter; Łamigłówki rysunkowe; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe; Gdańsk 1996; str. 13

G D H A F C E B Wskazówka: Wszystkie kwadraty są jednakowej wielkości

rozwiązanie odp. Adghfbec Dostrzegamy, że na wierzchu leży kwadrat A i leży na kwadracie D, kolejny kwadrat będzie leżał na kwadracie G, itd. …

Zadanie 4. flaga olimpijska Na ile sposobów można pokolorować te kółka? K. Russell, P. Carter; Łamigłówki liczbowe; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe; Gdańsk 1995; str. 22 Zdjęcie: http://www.skijumping.pl/wiadomosci/7704/IO-Korea-nadal-walczy/

Rozwiązanie ODP. 120 Zauważmy, że pierwsze kółko można pomalować na 5 sposobów, drugie na 4, trzecie na 3, czwarte na 2, piąte na 1. Stąd:

Zadanie 5. Piwo Mąż wypija baryłkę piwa w 14 dni, a żona w 20 dni. Jeżeli obydwoje będą pili piwo z jednej baryłki, każde w swoim tempie, to ile czasu zajmie im opróżnienie baryłki? zdjęcie: http://historia-alkoholu.pl/wp-content/uploads/2011/03/piwo.jpg K. Russell, P. Carter; Łamigłówki liczbowe; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe; Gdańsk 1995; str. 5

ROZWIĄZANIE ODP. OKOŁO 8 DNI 14 dni – czas picia baryłki przez męża 20 dni – czas picia baryłki przez żonę x – liczba dni na wypicie baryłki piwa przez wypicie piwa przez męża i żonę - wydajność picia męża - wydajność picia żony ROZWIĄZANIE ODP. OKOŁO 8 DNI

Zadanie 6. Brakująca liczba Jakiej liczby brakuje w trzecim kole? 57 49 87 36 18 23 ? 15 27 K. Russell, P. Carter; Łamigłówki liczbowe; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe; Gdańsk 1995; str. 1

rozwiązanie ODP. 3 LUB 93 I sposób: Zauważmy, że 87 + 36 + 57 = 180 23 + 49 + 18 = 90 Druga suma to połowa z poprzedniej sumy, zatem kolejna suma to też połowa, czyli 45, stąd 15 + 3 + 27 = 45 II sposób: 87 + 57 = 4 x 36 23 + 49 = 4 x 18 15 + 93 = 4 x 27

Jaka jest następna liczba tego ciągu? Zadanie 7. szereg Jaka jest następna liczba tego ciągu? 4, 8, 15, 30, 37, 74, … K. Russell, P. Carter; Łamigłówki liczbowe; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe; Gdańsk 1995; str. 9

rozwiązanie ODP. 81 Zauważmy, że kolejne wyrazy ciągu powstają poprzez ( na przemian): przez mnożenie przez 2 albo dodanie 7.

Zadanie 8. (autorskie) 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, … Uzupełnij ciąg: Foto: Autorzy zadania

Rozwiązanie: odp. 255 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255 Kolejne wyrazy ciągu powstają poprzez mnożenie poprzedniego wyrazu ciągu przez 2 i dodanie 1.

Zadanie 9. Brakujące liczby Uzupełnij: 2, 3, 5, 7, 11, …, 17, 19, …, 29, 31, 37, …, 43. My też rozwiązywaliśmy to zadanie… Liga zadaniowa. Zbiór zadań dla uczniów zainteresowanych matematyką; Praca zbiorowa pod redakcją Z. Bobińskiego i P. Nodzyńskiego; Agencja Wydawniczo-Reklamowa CZARNY KRUK; Bydgoszcz 1994; str. 142

Rozwiązanie odp. 13, 23,41 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. 13 23 41 Wyrazy ciągu stanowią kolejne liczby pierwsze, zatem brakujące liczby to: 13, 23, 41.

Zadanie 10. Wojtek wiosną schudł 25%, latem przytył 20%, jesienią schudł 10% i zimą przytył 20%. Po roku Wojtek schudł, czy przytył? zdjęcie: http://www.google.pl/imgres?imgurl=http://www.kobietafit.pl/img/waga.jpg&imgrefurl=http://www.kobietafit.pl/% M. Trąd; Zespołowe Turnieje Matematyczne; ODN Zielona Góra 1995; str. 24

rozwiązanie : odp. Wojtek schudł. Niech w – waga Wojtka na początku. Wówczas: w- 25%w = 75%w – waga Wojtka po wiośnie 75% w + 0,2 . 75% w = 90%w - – waga Wojtka po lecie 90%w – 0,1 . 90% w = 81%w – waga Wojtka po jesieni 81%w + 0,2 . 81% w = 97,2%w – waga Wojtka po zimie 97,2%w < w, zatem po roku Wojtek schudł.

Zadanie 11. Wstążkę długości 102 cm należy rozwinąć na części o długości 15 cm i 12 cm tak, aby nie było resztek. Jak to wykonać? Ile rozwiązań ma to zadanie? zdjęcie: http://img.bazarek.pl/39572/6090/162776/6602116644763bfb06256b.jpg M. Trąd; Zespołowe Turnieje Matematyczne; ODN Zielona Góra 1995; str. 32

Rozwiązanie odp.: 6 x 15cm, 1 x 12 cm lub 2 X 15cm, 6 x 12cm. Niech x – liczba kawałków po 15 cm y - liczba kawałków po 12 cm, x, y  N. 15 x + 12y = 102 /:3 5x + 4y = 34 4y = 34 – 5x

Zadanie 12. Wojtek otrzymał szklankę czarnej kawy. Wypił tej kawy i dopełnił mlekiem, wypił i dopełnił mlekiem, wypił i dopełnił mlekiem, wypił i dopełnił mlekiem. Następnie wypił szklankę napoju. Czego Wojtek wypił więcej: kawy czy mleka? zdęcie: http://allegro.pl/szklanka-szklanki-kawa-herbata-grawer-imie-tekst-i1507636019.html#gallery M. Trąd; Zespołowe Turnieje Matematyczne; ODN Zielona Góra 1995; str. 32

Rozwiązanie odp.: Wojtek wypił tyle samo mleka co kawy. – ilość szklanek wypitego mleka 1 – ilość szklanek wypitej kawy Wojtek wypił tyle samo mleka co kawy.

ZADANIE 13. W klasie piątej 17 uczniów uczy się angielskiego, 14 niemieckiego, a 5 uczy się i angielskiego i niemieckiego. Ilu uczniów jest w tej klasie, jeżeli każdy uczeń uczy się przynajmniej jednego języka? zdjęcie: http://bzs.pl/anglia-u21-islandia-u21-typ-1/; http://comenius-ogolniak-wagrowiec.eu/niemcy.jpg M. Trąd; Zespołowe Turnieje Matematyczne; ODN Zielona Góra 1995; str. 45

Rozwiązanie ODP. 26 17 - 5 = 12 5 14 - 5 = 9 5 A N A – język angielski N – język niemiecki 12 + 9+ 5 = 26

Zadanie 14. Iloczyn lat dwojga rodzeństwa: Roberta, Beaty, Doroty jest równy 36. Oblicz ile lat ma każde z rodzeństwa jeżeli wiesz, że Robert jest najmłodszy, a Dorota i Beata są bliźniaczkami. zdjęcie: http://www.dzieciowo.pl/wp-content/uploads/2010/04/bobas.jpg http://i.pinger.pl/pgr119/7352a3da0021cba04a77136c/blizniaki.jpg M. Trąd; Zespołowe Turnieje Matematyczne; ODN Zielona Góra 1995; str. 45

Rozwiązanie ODP.: Robert ma 1 rok, a beata i dorota po 6 lat. r – wiek Roberta b – wiek Beaty d – wiek Doroty r, b, d  N r < d = b 2 36 2 18 3 9 3 3 1 36 = 1 . 2 . 2 . 3 . 3 = 1 . 6 . 6

Zadanie 15. Maharadża obdarował trzy swoje córki perłami przechowanymi w szkatule. Najstarszej dał połowę zawartości szkatułki i jedną perłę, młodszej połowę reszty i jedną perłę, a najmłodszej połowę pozostałych pereł i jeszcze trzy perły i wówczas szkatułka pozostała pusta. Ile pereł miał Maharadża w szkatule? zdjęcie: http://img7.burak.pl/img/a/d/5/e/perly-szklane-biale-10-mm.jpg M. Trąd; Zespołowe Turnieje Matematyczne; ODN Zielona Góra 1995; str. 45

Rozwiązanie Odp.: 30 pereł Liczba pereł w szkatule 30 15 14 7 6 3 W szkatule było 30 pereł.

Zadanie 16. DROGOCENNY SŁOŃ Słoń w Indiach jest bardzo cenny, przy czym im starszy, tym proporcjonalnie mniej kosztuje. Jeżeli 16-letni słoń kosztuje 32 miary srebra, to ile kosztuje słoń 20-letni?

ROZWIĄZANIE ODP.: 25,6 MIAR SREBRA Skoro cena słonia jest odwrotnie proporcjonalna do jego lat (im starszy słoń, tym tańszy) i wiemy, że szesnastoletni kosztuje 32 miary srebra, to wiadomo, że jednoroczny słoń kosztowałby 16 razy więcej, a dwudziestoletni – 20 razy mniej od jednorocznego. Stąd otrzymamy : - jednoroczny słoń kosztuje: 16 * 32 = 512 miar srebra, - dwudziestoletni słoń kosztuje: 512 : 20 = 25,6 miar srebra.

Zadanie 17. TRÓJKĄTY I KWADRATY Kwadrat podzielono na 9 identycznych części, po czym cztery narożne kwadraty usunięto. Każdy z pozostałych 5 kwadratów podzielono na 4 identyczne trójkąty prostokątne. Sytuację tę przedstawia rysunek . Jak zbudować z otrzymanych 20 trójkątów jeden kwadrat ? (Trzeba wykorzystać wszystkie trójkąty).

Odpowiedź

Zadanie 18. Pracowita mucha Odległość między Górkami Dolnymi, a Górkami Górnymi wynosi 20 km. W tych miejscowościach mieszkają dwaj przyjaciele. Jeden w Górkach Dolnych , a drugi w Górkach Górnych. Dwaj przyjaciele wychodzą na spotkanie za sobą w tej samej chwili. Obaj idą z prędkością 5km/h. Na czapce jednego z piechurów siedzi mucha. W tej chwili gdy on rusza, mucha także startuje i leci do drugiego z przyjaciół z prędkością 13km/h. Dolatuje, zawraca i leci do pierwszego, po czym zawraca i leci do drugiego. Mucha lata w tę i z powrotem tak długo, aż przyjaciele spotkają się, po czym siada na czapce jednego z nich i odpoczywa. Jaką drogę pokona mucha?

Rozwiązanie ODP.: 26 km Zadanie na pierwszy rzut oka wydaje się bardzo skomplikowane – wszak droga muchy będzie się składa z wielu odcinków. Tymczasem wystarczy zauważyć, że mucha lata w tyle czasu, ile maszerują przyjaciele. Z warunków zadania wynika, że ich wycieczka trwa 2h (każdy piechur pokonuje drogę 10 km z prędkością 5km/h). Ponieważ mucha lata z prędkością 13km/h, zatem w ciągu 2h pokona łącznie 26 km.

Zadanie 19. Wizyta pierwsza : Podział na dwie części Dwa niedźwiadki znalazły składzik z miodem. Był w nim 8-litrowy słój pełen miodu i dwa słoje puste: 5-litrowy oraz 3-litrowy. Jak korzystając tylko z tych słoi, podzielić równo miód?

Rozwiązanie lub w następujący sposób: Na każdego niedźwiadka mają przypadać po 4 litry miodu. Można to osiągnąć, przelewając miód w następujący sposób: Ruch słój 8-litrowy 5-litrowy 3-litrowy 8 I 5 3 II III 2 IV 1 V 7 VI VII 4 VIII Ruch słój 8-litrowy 5-litrowy 3-litrowy 8 I 3 5 II 2 III 6 IV V 1 VI 4 VII

Zadanie 20. Znikanie odcinków Narysuj na kawałku kartonu 13 równo oddalonych od siebie odcinków o długości 1 cm każdy, tak jak na rysunku obok. Przetnij karton na ukos w taki sposób, żeby linia cięcia przechodziła przez początek pierwszego i ostatniego odcinka. Po przecięciu kartonu przesuń jego górną część ta, aby ostatni odcinek zajął miejsce przedostatniego. W ten sposób na kartonie pozostanie 12 odcinków. Pokazuje to kolejny rysunek. Co się stało z jednym odcinkiem?

Rozwiązanie Linia cięcia AC oraz linia AB łączące dolne końce odcinków tworzą kąt. Odcinki, które narysowano, są równolegle, wiec zgodnie z twierdzeniem Talesa wiadomo, że dwunasty odcinek (licząc od lewej) linia cięcia AC przetnie na kawałki o długościach 1/12 i 11/12 cm. Jedenasty odcinek zostanie przecięty na kawałki o długościach 2/12 i 10/12 cm. Dziesiąty odcinek zostanie przecięty na kawałki 3/12 i 9/12 cm itd. Odcinki pierwszy oraz trzynasty nie zostaną przecięte. Jeżeli teraz przesuniesz górna część kartonu w lewo , to odcinek trzynasty pokryje się z dolną częścią odcinka dwunastego, co w sumie da odcinek długości: 1/12cm+12/12cm=13/12cm. Podobnie górna część odcinka dwunastego pokryje z dolną częścią odcinka jedenastego dając odcinek długości: 12/12cm+11/12cm=13/12cm itd. Łącznie zatem otrzymamy 12 odcinków o długości 13/12cm. Co daje w sumie 13 cm .Taką samą łączna długość miało 13 odcinków po 1cm każdy. Nic więc nie zginęło.

Zadanie 21. Jednym cięciem z dwóch odcinków podziel figurę na dwie równe części.

rozwiązanie

Zadanie 22. Jaka jest następna liczba tego szeregu: 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, …?

Rozwiązanie Odp.: 39 Wystarczy zauważyć, że podane liczby to liczby złożone. Zatem kolejna liczba to 39.

Zadanie 23. Sezon na jabłka W sadzie leży w rzędzie sto jabłek jedno za drugim w odległości 1m. Przed pierwszym jabłkiem w odległości 1m stoi sadownik ze skrzynką. Jaką odległość musiałby przejść sadownik , aby zebrać leżące jabłka, gdyby zbierał po jednym jabłku i odnosił każde osobno do skrzynki?

Rozwiązanie ODP.: 10100 M Aby umieścić dowolne jabłko w skrzynce, trzeba przejść od skrzynki do jabłka i od jabłka do skrzynki, a więc podwójną drogę pomiędzy skrzynką a jabłkiem. Drogi od skrzynki do kolejnych jabłek mają długość 1, 2, 3, ..., 100 (sto jabłek po kolei w odległości 1m jedno od drugiego i skrzynka metr przed pierwszym jabłkiem). Należy więc obliczyć następującą sumę: 1+1+2+2+3+3+ .... +99+99+100+100= =(1+100)+(1+100)+(2+99)+(2+99)+...+(49+52)+(49+52)+(50+51)+(50+51)= = 101.100 = 10100 Droga, jaką musi przejść sadownik wynosi 10100m. Jak widać, takie zbieranie jabłek jest bardzo pracochłonne, gdyż należy przejść ponad 10 km.

Zadanie 24. Ile kwadratów jest na tym rysunku?

Rozwiązanie ODP.: 14 kwadratów Obliczamy liczbę najmniejszych kwadratów (8), średnich (5) i dodajemy największy (1). Wówczas liczba kwadratów: 8 + 5 +1 = 14

Zadanie 25. W poszukiwaniu pewnej liczby Pewna liczba, która kończy się cyfrą 2, ma tę właściwość, że jeżeli przestawimy ostatnią jej cyfrę na pierwszą pozycję, to otrzymamy liczbę dwukrotnie większą. Znajdź liczbę o tej właściwości. Wskazówka. Najmniejsza liczba spełniająca warunki zadania ma aż 18 cyfr.

Rozwiązanie odp. : 105 263 157 894 736 842. Skoro po przestawieniu cyfry 2 z ostatniej pozycji otrzymamy liczbę dwukrotnie większą, to na przedostatnim miejscu (po przestawieniu na ostatnim) musi by cyfra 4, a na trzecim miejscu od końca ( po przestawieniu na drugim) – cyfra 8. Wykonujemy dalej mnożenie kolejnych cyfr przez 2 i pamiętamy o ewentualnym przekraczaniu progu dziesiątkowego, więc na kolejnym miejscu otrzymujemy 6 (2*8=16; 6 zapisujemy, a 1 zapamiętujemy), dalej 7 (2*3 + 1 = 7) i tak dalej, aż w wyniku mnożenia otrzymamy liczbę 1. Szukana liczba to: 105 263 157 894 736 842.

Zadanie 26. Ile kwadratów jest na tym rysunku?

Rozwiązanie odp.: 23 kwadraty. Obliczamy liczbę najmniejszych kwadratów (13), średnich (7), dużych (2) i dodajemy największy (1). Wówczas liczba kwadratów: 13 + 7 + 2 + 1 = 23

Zadanie 27. Ile jest dróg od startu do mety? Start Meta

Wskazówka: dokładnie przeanalizuj rysunek. Rozwiązanie odp.: 25 dróg. Wskazówka: dokładnie przeanalizuj rysunek.

Zadanie 28. Ile trójkątów jest na tym rysunku?

Rozwiązanie odp.: 65 trójkątów 43 + 1 = 65 Jest 65 trójkątów.

Zadanie 29 Szachy Szachista musi wygrać dwie kolejne partie, żeby zdobyć nagrodę. Ma do rozegrania w sumie trzy partie, z przeciwnikami na przemian mocnymi i słabymi. Jaki układ jest dla niego bardziej korzystny: mocny - słaby - mocny czy słaby - mocny - słaby ?

Rozwiązanie Mocny – słaby – mocny Szachista musi przynajmniej raz wygrać z mocnym przeciwnikiem. Powyższy układ da mu dwa podejścia. Słabego przeciwnika zapewne uda mu się pokonać.

Cegła waży 2 kg i cegły. Ile waży cegła? Zadanie 30 Cegła waży 2 kg i cegły. Ile waży cegła? Z. Bobiński, P. Nodzyński, M. Uscki ; Liga zadaniowa; Wydawnictwo AKSJOMAT; Toruń 2004; str. 117 Zdjęcie: http://sen-sennik.pl/wp-content/uploads/2008/08/cegla-sennik-cegly-sennik-pustak.jpeg

Rozwiązanie odp.: 3 kg Niech x – masa cegły. Z warunków zadania otrzymujemy: II sposób. Cała cegła waży 2kg i cegły, zatem cegły ważą 2kg, czyli cegły – 1kg, stąd 1 cegła waży 3 kg.

Porównanie wyników testu iQ grupy projektowej ( max = 20 pkt. ) Liczba punktów

Podsumowanie projektu – wnioski Rozwiązywanie zadań logicznych, łamigłówek rysunkowych i rachunkowych dostarczyło nam wiele satysfakcji, Stwierdziliśmy, że powiedzenie „Ćwiczenie czyni mistrza” jest prawdziwe, Poszukiwanie, wybór, rozwiązywanie oraz układanie własnych zadań stanowiły ciekawe doświadczenie, Realizacja projektu nauczyła nas pracować w zespole, a wspólna praca okazała się świetną zabawą.

Bibliografia Z. Bobiński P. Nodzyński M. Uscki; LIGA ZADANIOWA Zbiór zadań dla uczniów zainteresowanych matematyką; Wydawnictwo AKSJOMAT; Toruń 2004 T. Crilly; 50 teorii matematyki; Wydawnictwo naukowe PWN; Warszawa 2009 10 wizyt w królestwie sprytu. Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe „Matematyka z plusem” LIGA ZADANIOWA Zbiór zadań dla uczniów zainteresowanych matematyką. Praca zbiorowa pod redakcją Z. Bobińskiego i P. Nodzyńskiego; Agencja Wydawniczo-Reklamowa CZARNY KRUK; Bydgoszcz 1994 K. Russell P. Carter; Łamigłówki liczbowe; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe; Gdańsk 1996 K. Russell P. Carter; Łamigłówki rysunkowe; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe; Gdańsk 1996 G. Rygał; Ciekawe zadania, ciekawe pomysły; Wydawnictwo NOWIK; Opole 1994 Sudoku; Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe M. Trąd; Zespołowe turnieje matematyczne; ODN; Zielona Góra 1995 Grażyna Rygał „Ciekawe zadania, ciekawe pomysły”

Bibliografia http://iq-test.freehost.pl/historia.html http://www.math.edu.pl/ http://www.math.edu.pl/lamiglowki http://www.quickiqtest.net/polish/ http://pl.wikipedia.org/wiki/Algebra http://pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyka http://pl.wikipedia.org/wiki/Ciąg_liczbowy http://pl.wikipedia.org/wiki/Geometria http://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinatoryka

Bibliografia http://allegro.pl/szklanka-szklanki-kawa-herbata-grawer-imie-tekst- i1507636019.html#gallery http://bzs.pl/anglia-u21-islandia-u21-typ-1/ http://comenius-ogolniak-wagrowiec.eu/niemcy.jpg http://historia-alkoholu.pl/wp- content/uploads/2011/03/piwo.jpg http://img.bazarek.pl/39572/6090/162776/6602116644763bfb06256b. jpg http://img7.burak.pl/img/a/d/5/e/perly-szklane-biale-10-mm.jpg http://www.dzieciowo.pl/wp-content/uploads/2010/04/bobas.jpg

Bibliografia http://i.pinger.pl/pgr119/7352a3da0021cba04a77136c/blizniaki.jpght tp:// http://sen-sennik.pl/wp-content/uploads/2008/08/cegla-sennik- cegly-sennik-pustak.jpeg www.skijumping.pl/wiadomosci/7704/IO-Korea-nadal-walczy/ http://www.google.pl/imgres?imgurl=http://www.kobietafit.pl/img/w aga.jpg&imgrefurl=http://www.kobietafit.pl/%

Prezentację Wykonali: Grupa 98/42_MF_G1 Grupa 98/5_MF_G2 Krzysztof Bastian – Brzeziński Arkadiusz Bondarenko Paweł Bujakowski Mateusz Dróżdż Karol Dziduszko Michał Izdebski Pamela Krasowska Michał Muszka Anna Pawłowska Klaudia Wołoskowska Paulina Bogucka Sandra Cybulska Patryk Czerniakowski Michał Jezik Damian Kasprowicz Olga Nowak Klaudia Rydzewska Maciej Solakiewicz Dawid Stanisławski Kamila Zielińska