Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

KINEMATYKA cz. 2

Spis treści: Szybkość i prędkość chwilowa Szybkość średnia Ruch prostoliniowy zmienny Przyspieszenie Ruch jednostajnie przyspieszony Prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym , przy prędkości początkowej v0 = 0 m/s Spadek swobodny ciał Ruch jednostajnie opóźniony Podsumowanie

SZYBKOŚĆ I PRĘDKOŚĆ CHWILOWA W życiu codziennym często mamy do czynienia z ruchami, w których szybkość się zmienia. Bardzo krótki okres czasu ( np. ułamek sekundy t →0) potocznie nazywamy chwilą. Jeśli drogę przebytą w bardzo krótkim okresie czasu podzielimy przez jego wartość to otrzymamy szybkość chwilową: Szybkość chwilowa = Droga przebyta w bardzo krótkim czasie Bardzo krótki czas Jeśli interesuje nas kierunek i zwrot, to posługujemy się pojęciem prędkości chwilowej, która w odróżnieniu od szybkości jest wielkością wektorową. Dla ruchów prostoliniowych wartość przemieszczenia jest równa drodze, więc szybkość chwilowa jest równa wartości prędkości chwilowej.

Czas, w którym ta droga została przebyta SZYBKOŚĆ ŚREDNIA Autobus wolniej jedzie pod górę, szybciej w dół. Zwalnia do zatrzymania się przed przystankiem i zwiększa swoją szybkość ruszając. Jednakowe, np. jednokilometrowe odcinki drogi przebywa więc w różnym czasie. Jeśli trasę 30 km pokonał w ciągu 30 min to możemy wyliczyć jaka była jego średnia prędkość ruchu. Droga s = 30km t = 30min = 0,5 h v = 30 km/0,5 h = 60 km/h Szybkość średnia informuje nas o tym, jaką drogę średnio przebywa ciało w jednostce czasu. Całkowita droga Czas, w którym ta droga została przebyta Szybkość średnia =

Korzystając z rozkładu jazdy oblicz: Przykład Droga /km Stacja Godzina Kraków 10:00 40 Bochnia 10:50 55 Brzesko 11:05 80 Tarnów 11:45 Korzystając z rozkładu jazdy oblicz: Średnie szybkości pociągu na poszczególnych odcinkach trasy Średnią szybkość pociągu na całej trasie Kraków – Bochnia : s = 40km; t = 50 min =5/6 h v = 40km/ 5/6 h v = 48km/h Bochnia – Brzesko: s = (55 - 40 )km = 15 km t = 15 min = 1/4h v = 15km/ 1/4h v = 60km/h Brzesko – Tarnów: s = (80 – 55)km = 25km t = 40 min= 2/3 h v = 25km/2/3h v = 37,5 km/h Kraków – Tarnów: s = 80km t = 1h 45 min = 1,75 h v = 80km/1,75h v = 45,7 km/h

RUCH PROSTOLINIOWY ZMIENNY Ruchy ze względu na tor dzielimy na: prostoliniowe i krzywoliniowe Ruch prostoliniowy, w którym prędkość nie ulega zmianie v = constans, to ruch jednostajny prostoliniowy Ruch, którego torem jest linia prosta, a wartość prędkości w trakcie jego trwania ulega zmianie nazywamy ruchem zmiennym prostoliniowym. Jak może zmieniać się wartości prędkości w miarę trwania ruchu? Prędkość może wzrastać Prędkość może maleć Ruch zmienny przyspieszony w trakcie trwania ruchu prędkość wzrasta Ruch zmienny opóźniony W trakcie trwania ruchu prędkość maleje

Przyrost prędkości jaki nastąpił to vk –v0 PRZYSPIESZENIE Rozpatrzmy ruch samochodu stale w tę samą stronę. Niech samochód w chwili początkowej stoi w wybranym punkcie - nasze zero. Następnie samochód rusza i rozpędza się - czas zaczęliśmy mierzyć w chwili rozpoczęcia ruchu (jeszcze była prędkość zerowa). Samochód rozpędza się przez czas t i uzyskuje szybkość (prędkość) chwilową (wskazywaną przez szybkościomierz w samochodzie) v. zaznaczmy: prędkość początkowa – vo = 0m/s Prędkość końcowa - vk Czas trwania ruchu - t Przyrost prędkości jaki nastąpił to vk –v0 Dzieląc przyrost prędkości przez czas w którym ten przyrost nastąpił otrzymujemy przyrost prędkości jaki następuje w jednostce czasu. Wiedząc że po czasie 3s od momentu rozpoczęcia ruchu ciało uzyskało prędkość 3m/s a po 8 s od chwili rozpoczęcia ruchu poruszało się z prędkością 13 m/s O ile wzrosła prędkość w tym przedziale czasu? v1 = 3m/s; v2 = 13 m/s ∆v = v2 –v1 = 13 m/s – 3 m/s = 10m/s Jaki jest średni przyrost prędkości w jednostce czasu? t1 = 3s; t2 = 8s ∆v/ ∆t = v2 –v1 / t2 – t1 = 10m/s / 5s = 2 m/s2

Czas, w którym ten przyrost nastąpił PRZYSPIESZENIE Przyrost prędkości w jednostce czasu nazywamy przyspieszeniem. Wartość przyspieszenia obliczamy dzieląc przyrost prędkości przez czas w jakim ten przyrost nastąpił. Przyrost prędkości Czas, w którym ten przyrost nastąpił Przyspieszenie = Cechy przyspieszenia: Jest wielkością wektorową. W ruchu prostoliniowym przyspieszonym ma taki sam kierunek i zwrot jak wektor prędkości. Przyspieszenie oznacza się symbolem a Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest m/s2 Wzór na przyspieszenie: Vk – wartość prędkości końcowej Vp - wartość początkowej tk – czas po którym została osiągnięta prędkość końcowa tp - czas po którym została osiągnięta prędkość początkowa ∆ ( czytaj delta) przyrost / zmiana

RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY Wykres przedstawia zależność wartości prędkości od czasu trwania pewnego ruchu prostoliniowego. Odczytując wykres widzimy, że: 1.Po 3 s (t1) od momentu rozpoczęcia ruchu t0 =0s prędkość wzrosła od wartości 0m/s do 4,5 m/s 2. Po następnych 3 s ( t2 = 6s) prędkość osiągnęła wartość v2 = 9m/s Liczymy wartość przyspieszenia: 1 2 Zauważamy, że w równych odstępach czasu prędkość wzrasta o tę samą wartość a1 = a2 Przyrost prędkości w jednostce czasu jest taki sam, czyli przyspieszenie w tym ruchu jest wielkością stałą i w każdej sekundzie jego trwania ma wartość a =1,5 m/s2

RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY Ruch prostoliniowy, w którym w każdej sekundzie prędkość wzrasta o tą samą wartość ( przyśpieszenie jest wielkością stałą) nazywamy ruchem jednostajnie przyspieszonym. a = constans Wykresem zależności szybkości od czasu w tym ruchu jest półprosta wychodząca z początku układu współrzędnych i nachylona pod kątem ostrym do osi czasu. Jeśli w chwili rozpoczęcia mierzenia czasu ciało spoczywało (v0 = 0m/s) a po czasie t, od momentu rozpoczęcia ruchu, uzyskało prędkość v, to przyspieszenie ma wartość: Stąd wynika wzór na prędkość dla ruchu jednostajnie przyspieszonego, bez prędkości początkowej

PRĘDKOŚĆ W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM Korzystając ze wzoru na przyspieszenie wyznaczmy wartość prędkości osiągniętej po czasie t Wzór na prędkość dla ruchu jednostajnie przyspieszonego, bez prędkości początkowej Przykład Pojazd porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 36 km/h. Podczas wyprzedzania na prostym odcinku drogi w czasie 10s zwiększył swoją szybkość z przyspieszeniem 1 m/s2 Jaką osiągnął wartość prędkości? Dane: v0 = 36 km/h = 36000m/3600s = 10m/s t = 10s a = 1 m/s2 v= v0 + at v = 10m/s + 1 m/s2∙10s v = 20 m/s Jaką szybkość osiągnie ciało po 5s od chwili rozpoczęcia ruchu poruszające się ze stałym przyspieszeniem 3m/s2 ? v = a∙t v = 3m/s2∙ 5s v = 15m/s Dane: v0 = 0m/s t = 5s a = 3m/s2

Wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym, gdy v0 = 0 m/s DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM , PRZY PRĘDKOŚCI POCZĄTKOWEJ V0 = 0 m/s 1.Droga (s) w tym ruchu równa jest liczbowo polu trójkąta o podstawie a = t i wysokości h= v Wzór na pole trójkąta: 2.Droga = czas ∙ prędkość / 2 3.Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego z prędkością v0 = 0 m/s v = a∙t 4. Wstawiając do 2. 3. v = at Wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym, gdy v0 = 0 m/s

3. Obliczamy drogę: s = 0,5 ∙602 /2 [ m∙s2 /s2 = m] Przykład Pociąg ruszając ze stacji rozpędził się do szybkości 108 km/h w czasie 1 minuty. Jaką drogę przebył w tym czasie? Dane: v0 = 0 m/s Vk = 108 km/h = 108000m/3600s = 30m/s t = 1 min = 60s s = ? 1. Wzór na drogę: s = at2/2 2. Aby obliczyć drogę musimy znać wartość przyspieszenia a = vk –vo/t v0 = om/s więc a = vk/t a = 30m/s/ 60s a = 0,5 m/s2 3. Obliczamy drogę: s = 0,5 ∙602 /2 [ m∙s2 /s2 = m] s = 900 m Pociąg przebył w tym czasie drogę 900 m

Przykład Korzystając z wykresu oblicz drogę, jaką przebyło obserwowane ciało Analiza wykresu: 1.Od A do B ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym -czas trwania tego ruchu to 5 s 2.Od punktu B do C ciało porusza się ruchem jednostajnym czas trwania tego ruchu to 5s - prędkość w tym ruchu to 10 m/s 3. Całkowita droga s = AB + BC Obliczamy AB: s = at2/2 a = 10m/s / 5s a = 2 m/s2 s1 = 2∙ 52 /2 m s1 = 25 m Obliczamy BC: s = v ∙ t s2:= 10 m/s ∙ 5s s2 = 50 m Całkowita droga: AC = AB + BC s = 25 m + 50m s = 75 m

SPADEK SWOBODNY CIAŁ Spadek swobodny to ruch ciała wyłącznie pod wpływem siły ciężkości. W chwili początkowej ciało spoczywa i następnie puszczone porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym pod wpływem siły grawitacyjnego oddziaływania Ziemi i tego ciała. Przyśpieszenie z jakim spada swobodnie ciało jest stałe i wynosi g = 9,81 m/ s2 Kierunek ruchu jest pionowy, więc drogę w spadku swobodnym zaznaczamy symbolem h. Wzór na prędkość: Wzór na drogę dla spadku swobodnego przyjmuje postać: v0 = 0 m/s s = h a = g

Przykład Oblicz prędkość ciała po czasie t = 0,5 s od początku spadku swobodnego. v = g∙t v = 10 m/s2 ∙ 0,5 s v = 5 m/s Jaką drogę przebędzie ciało w tym czasie? Ciało przebyło w tym czasie drogę h = 1,25 m.

Przykład Po jakim czasie od rozpoczęcia spadku swobodnego ciało pokona wysokość 5 m ? Dane: h = 5 m g = 10 m/s2 t = ? Ciało pokona drogę 5 m po 1s od chwili rozpoczęcia spadku

RUCH JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONY Ruch jednostajnie opóźniony to taki ruch, w którym szybkość maleje w równych odstępach czasu o taką samą wartość. a-opóźnienie; Vo- prędkość początkowa  Vk- prędkość końcowa  t- czas Kierunek opóźnienia jest zgodny z kierunkiem prędkości. Zwrot opóźnienia jest przeciwny do zwrot prędkości Wzór na prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym Wzór na drogę gdy vk = 0 m/s

Przykład Pewne ciało porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym z opóźnieniem a = 3m/s2. Oznacza to, że w każdej sekundzie ruchu jego szybkość maleje o 3 m/s Wiedząc, że prędkość początkowa v0 = 16 m/s, oblicz prędkość po czasie 2 s Dane: a = 3 m/s2 v0 = 16 m/s t = 2s Po 2s ciało osiągnie szybkość 10 m/s.

Oblicz, z jakim opóźnieniem poruszał się łyżwiarz, który mając szybkość początkową v= 10m/s, zatrzymał się po przebyciu drogi 50m Dane: v0 = 10 m/s vk = 0 m/s s = 50m a = ? Opóźnienie obliczmy ze wzoru: Wyznaczamy ze wzoru na opóźnienie t: Przekształcamy wzór na drogę: Wyznaczamy przyspieszenie:

PODSUMOWANIE Ruch Prędkość Przyspieszenie Droga Jednostajny v = s/t v = constans a = 0 m/s2 s = v∙ t Jednostajnie przyspieszony (v0 = 0 m/s) v = a ∙t v2 = v1 + at a = vk – v0 / t a = constans kierunek i zwrot taki jak prędkości s = a ∙t2/2 Spadek swobodny ( przypadek ruchu jednostajnie przysp.) v = g ∙ t v0 = 0m/s g = 9,81 m/s2 h= gt2/2 Jednostajnie opóźniony ( vk = 0 m/s ) v = a∙t vk = 0m/s v2 = v1 - at a= v0 – vk /t kierunek zgodny z kierunkiem prędkości, lecz zwrot przeciwny