Równania funkcyjne

Nazwa szkoły: Informacyjne Liceum Ogólnokształcące ,,Computer College” ID Grupy: 97_12_MF_G1 Opiekun : Maria Felchner Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Równania funkcyjne Semestr V rok szkolny 2011/2012

Nazwa szkoły: III LO Ostrów Wielkopolski ID grupy: 97/27_MF_G1 Opiekun: Krystyna Chmielewska Kompetencja: matematyczno – fizyczna Temat projektowy: Równania funkcyjne Semestr V rok szkolny 2011/2012

Spis Treści Równania funkcyjne Wprowadzenie do tematu. Przykładowe zadania wraz z rozwiązaniami

Podstawowe pojęcia: Funkcja addytywna - funkcja f, której wartość dla sumy argumentów równa się sumie jej wartości dla poszczególnych argumentów: f(x+y) = f(x)+f(y). Funkcje parzyste i nieparzyste – funkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja jest: parzysta, jeżeli spełnia równanie f(x)=f(-x) (symetria względem zmiany znaku argumentu); nieparzysta, jeżeli spełnia równanie f(-x)=-f(x) (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).

Równanie Równanie- równość dwóch wyrażeń, np. algebraicznych, zawierających symbole literowe zwane niewiadomymi. Np. 2x+8=0 jest to równanie z jedną niewiadomą x, x2+y2=9 jest to równanie z dwoma niewiadomymi x i y itp. Równanie może stanowić przedmiot zagadnienia, które polega na wyznaczeniu rozwiązań tego równania, tzn. takich np. liczb, które po podstawieniu w miejsce niewiadomej spełniają dane równanie. Rozwiązać równanie znaczy to znaleźć wszystkie jego rozwiązania.

Przykładowe rozwiązania równań 2x+6=0 posiada jedno rozwiązanie x=3, X2+5x+4=0 dwa rozwiązania: x1=-4, x2=-1 X+y=1 posiada nieskończenie wiele rozwiązań: x można przyjmować dowolnie, zaś y=1-x. X2+y2=9 ma także nieskończenie wiele rozwiązań: x można przyjmować dowolnie w przedziale -3≤x≤3,

Równanie funkcjne Jest to równanie, którego niewiadomą jest funkcja. Przykładami mogą być : Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe. Równanie f(x + y) = f(x) + f(y) spełniają funkcje addytywne. Równania f(x) = f( − x) oraz f(x) = − f( − x) spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste. Znajdźmy wszystkie funkcje dla których f(x + y)2 = f(x)2 + f(y)2. Podstawiając x = y = 0 otrzymujemy f(0)2 = 2f(0)2, czyli f(0) = 0. Niech y = − x, wówczas 0 = f(0)2 = f(x − x)2 = f(x)2 + f( − x)2 Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość f(x) = 0 jest spełniona dla każdego x. Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest f(x) = 0. Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki a1 = 1, an + 1 = (n + 1)an Jest ciąg an = n!.

Równanie Cauchy’ego- zadanie 1.Wyznaczyć ogólną postać funkcji ciągłej f: R->R, spełniającej tzw. Równanie funkcyjne Cauchy’ego f(x+y)= f(x)+ f(y) dla x,y R Odp. Załóżmy, że f jest funkcją spełniającą równanie Cauchy’ego. Oznaczamy a = f(1) i zauważmy, że funkcja f jest funkcją nieparzystą. Rzeczywiście po podstawieniu do równania y = -x mamy: 0 = f(0) = f(x-x) = f(x)+ f(-x), skąd f(-x)= - f (x), zauważmy dalej, że f (n) = f (n*1)= n f (1)=na, dla dowolnego n €N. Dalej, dla dowolnych m,n € N mamy f (m)= f (n*m/n) = n f (m/n), skąd f(m/n)= 1/n f(m)=m/n*a. Stąd i z nieparzystości funkcji f wnioskujemy, że dla dowolnej liczby wymiernej r zachodzi f(r) = ra. Zauważmy, że do tej pory nie korzystaliśmy z ciągłości funkcji f. Ustalmy teraz dowolnie liczbę rzeczywistą x oraz weźmy ciąg {rn} liczb wymiernych zbieżny do x. Wtedy (ciągłość f ) mamy: f(x) = f (limn-> ∞ r n)= lim n-> ∞ f(rn)= lim n-> ∞ r n a = ax. Zatem każda funkcja ciągła spełniająca równanie Cauchy’ego jest funkcją postaci f(x)=ax.

Aczel Janos Aczel Janos- jest matematykiem, uczniem Leopolda Fejera zaliczanego obecnie do klasyków matematyki. Jest twórcą teorii równań i nierówności funkcyjnych i jej niekwestionowanym liderem światowym. Urodzony w 1924 roku na Węgrzech, ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie w Budapeszcie, gdzie uzyskał także doktorat i habilitację.

Uznawany za ojca polskiej szkoły równań funkcyjnych. Marek Kuczma Uznawany za ojca polskiej szkoły równań funkcyjnych. Marek Kuczma – polski matematyk; profesor. W roku 1968 ukazała się drukiem fundamentalna monografia Functional equations in a single variable autorstwa Marka Kuczmy. Stworzyła ona podwaliny systematycznej teorii równań funkcyjnych o jednej zmiennej. Sam Marek Kuczma rolę swego dzieła postrzegał tak: Głównym moim osiągnięciem naukowym jest stworzenie i rozwinięcie (częściowo wespół z moimi uczniami) systematycznej teorii równań funkcyjnych o jednej zmiennej. Teoria ta została przedstawiona w mojej monografii ...Jest to jedyna w świecie monografia poświęcona temu przedmiotowi i jest stale cytowana przez wszystkich autorów piszących na ten temat.

Zadania

Zadania o zróżnicowanym poziomie trudności

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby n i dla każdej funkcji liniowej f, prawdziwa jest równość f(2n+1)+(f(2n-1)=2f(2n). f(n)=an+b f(2n+1)=(2n+1)a+b=2an+a+b f(2n-1)=(2n-1)a+b=2an-a+b 2f(2n)=2(2an+b)=4an+2b Po podstawieniu: 2an+a+b+2an-a+b=4an+2b 4an+2b=4an+2b L=P c.n.u.

Funkcja f jest określona wzorem Dla wszystkich liczb rzeczywistych x≠1. Rozwiąż nierówność f(x) < f(2-x)

Rozwiązanie:  Skracamy nawiasy  Podstawiamy dane do równania  Skracamy i upraszczamy równanie  Sprowadzamy do wspólnego mianownika i odejmujemy  Skracamy nawiasy  2 jest zawsze dodatnia, więc sprawdzamy mianownik  Z tego otrzymujemy rozwiązanie:

Funkcja f: R R, spełnia dla każdej liczy rzeczywistej x, zależność: Zadanie Funkcja f: R R, spełnia dla każdej liczy rzeczywistej x, zależność: f(x)=f(f(x))+x Udowodnij, że funkcja f, ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Rozwiązanie Podstawmy pod x liczbę 0: x=0 Dzięki czemu otrzymujemy: f(0)=f(f(0) Następnie podstawmy: x=f(0) otrzymujemy: f(f(0))=f(f(f(0))) + f(0) Co po uwzględnieniu poprzedniej równości daje nam: f(0)=f(0)+f(0) czyli, f(0)=0  0 jest miejscem zerowym funkcji

Sprawdzenie Teraz kiedy wiemy już, że 0 jest miejscem zerowym funkcji musimy sprawdzić, czy są inne miejsca zerowe. Załóżmy, że d jest miejscem zerowym funkcji f, czyli, że f(d)=0. Teraz podstawmy x=d. Wniosek: d=0 i co za tym idzie, nie ma więcej miejsc zerowych.

Zadania z Olimpiad Matematycznych   Zadania z Olimpiad Matematycznych

Projekt przygotowali: III LO Ostrów Wielkopolski: Szymon Andrzejak Łukasz Bartsch Michał Biegański Przemek Cieluch Mateusz Cierpka Mateusz Gierz Marcin Leja Kasia Pałat Karolina Pławucka Alicja Sobczak Robert Śledzik Mikołaj Tomczak Michał Walkowiak Computer College: Magdalena Ćwik Anita Dudek Jagoda Glegoła Adriana Jaworska Daniela Karasińska Paulina Kilianek Milena Korgiel Paweł Lesiak

Bibliografia: http://pl.wikipedia.org/wiki/Marek_Kuczma, http://www.math.us.edu.pl/instytut/historia kuczma/kuczma.html, http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=aczel, „Wykłady z analizy matematycznej” II Walter Rusin Warszawa 2004, „Matematyka próbne arkusze maturalne” Oficyna edukacyjna, Krzysztof Pazdro, „Matematyka Matura 2012 zakres rozszerzony” Operon, Marzena Orlińska, „Matematyka” podręcznik dla klas trzecich, Nowa Era W. Babiański, L Chańko, J. Czarnowska, J. Wesołowska, „Zbiór zadań i testów maturalnych do obowiązkowej matury z matematyki” Aksjomat, D. Masłowska, T. Masłowski, A. Makowski, P. Nodzyński, E. Słomińska, A. Strzelczyk, Korczyc Tadeusz, Matematyka Zbiór tematów z egzaminów wstępnych na wyższe uczelnie, Warszawa, Wydawnictwo szkolne i pedagogiczne.

Dziękujemy 