sprawdziany:

Postać zespolona szeregu Fouriera gdzie Związek z rozwinięciem

podstawiając n=-k mamy: kładąc k=n i korzystając ze wzoru Eulera mamy: czyli

Generalnie c n jest liczbą zespoloną i może być zapisane w postaci Widmem amplitudowym nazywamy wykres 2|c n (ω n )| a wykres φ n (ω n ) nazywamy wykresem fazowym. Dla sygnałów okresowych zarówno wykres amplitudy jak i fazy jest określony tylko w punktach ω n. Takie widmo nazywamy widmem prążkowym

Przykład u(t) U T T

Widmo amplitudowe jest i po przekształceniach mamy:

2|c(ω n ) ωnωn

Sygnał zmodulowany amplitudowo u(t)=U 0 (1+mcos t)cos 0 t u(t)=U 0 cos 0 t+mU 0 cos tcos 0 t=U 0 cos 0 t+ +0.5mU 0 cos( 0 + )t+ 0.5mU 0 cos( 0 - )t

Sygnał zmodulowany amplitudowo u(t)=U 0 (1+mcos t)cos 0 t u(t)=U 0 cos 0 t+mU 0 cos tcos 0 t=U 0 cos 0 t+ +0.5mU 0 cos( 0 + )t+ 0.5mU 0 cos( 0 - )t

u(t)=U 0 cos 0 t+0.5mU 0 cos( 0 + )t+ 0.5mU 0 cos( 0 - )t |U| U0U mU

Przykład E -E t T/2T Dana jest SEM e(t) jak wyżej. Obliczyć napięcie na rezystancji obciążenia R obc w układzie: e(t) R C C R obc E=20V, T=20ms, C=50μF, R=1k R obc =100

1. Rozwinąć wymuszenie w szereg Fouriera Zastosujemy zespolony szereg Fouriera: gdzie i dla współczynników c k mamy:

czyli W pierwszej sumie podstawiamy: n=-k, a w drugiej n=k+1 i mamy: Biorąc pod uwagę, że mamy:

Widmo amplitudowe wymuszenia k

ekek R -j/ k C R obc -j/ k C gdzie e k =4E/πk k =k 0 0 =2π/T k=1,3,5,... Liczymy metodą amplitud zespolonych i dla k-ej harmonicznej zakładając, że I obck jest znany mamy: I obck I Rk a b IkIk Podstawiając kolejno otrzymujemy, że

ekek R -j/ k C R obc -j/ k C I obck I Rk a b IkIk czyli k-ta harmoniczna napięcia na obciążeniu jest: k=1,3,5,...

k Widmo amplitudowe napięcia na rezystancji R obc

k

Napięcie na rezystancji obciążenia w funkcji czasu do 21 harmonicznej

Napięcie na rezystancji obciążenia w funkcji czasu do 101 harmonicznej

ekek R CR obc R I obck I Rk a b IkIk i po wykonaniu przekształceń mamy: a k-ta składowa napięcia na obciążeniu jest:

k

k Charakterystyka amplitudowa U obc

Napięcie na rezystancji obciążenia 10 wyrazów

Napięcie na rezystancji obciążenia 50 wyrazów

Sygnały nieokresowe Przejście do opisu za pomocą częstotliwości stosuje się przekształcenie całkowe Fouriera: Transformata Fouriera: Transformata odwrotna:

Warunkiem wystarczającym aby istniała transformata Fouriera sygnału u(t) jest: 1. Funkcja u(t) jest jednowartościowa i ma w każdym skończonym przedziale czasowym skończoną liczbę maksimów i minimów, 2. Funkcja u(t) ma skończoną liczbę nieciągłości w dowolnym skończonym przedziale czaowym. 3. Funkcja u(t) jest bezwględnie całkowalna, tzn:

Przykład Impuls prostokątny t u(t) U0U0 -T/2 T/2 Funkcje o skończonej energii są transformowalne w sensie Fouriera

Widmo amplitudowe U( )=|U(j )| Dla impulsu prostokątnego:

U(,T 1 ) U(,T 2 ) T 1 <T

Największe amplitudy w paśmie: lub co oznacza, że im krócej trwa impuls prostokątny tym szersze musi być pasmo przenoszenia aby zachować kształt impulsu.

Widmo fazowe Przykład Sygnał wykładniczy:

U( ) Widmo amplitudowe

( ) Widmo fazowe

Sygnały cyfrowe Realizacja w postaci sekwencji poziomów logicznych u(t) t H – stan wysoki L – stan niski 1.Hprawda Lfałsz logika dodatnia 2.Hfałsz Lprawda logika ujemna Margines zakłóceń stanu wysokiego Margines zakłóceń stanu niskiego

Przekształcenie sygnału analogowego u(t) dzieli się na trzy etapy: 1.próbkowanie 2.kwantyzacja 3.kodowanie. Próbkowanie polega na pomnożeniu sygnału analogowego u(T) przez sygnał próbkujący p(t). Sygnałem próbkującym p(t) jest ciąg impulsów prostokątnych o amplitudzie 1, okresie T i współczynniku wypełnienia α.

u(t) – sygnał analogowyp(t) – sygnał próbkujący T t t αTαT 1 x = t p(t)·u(t)

Zapisując przebieg próbkujący w postaci szeregu Fouriera mamy: gdzie Sygnał spróbkowany: Rozważmy sygnał u(t)= U m cos( t)

po podstawieniu i rozkładając iloczyny cosinusów otrzymujemy: lub symbolicznie korzystając z częstotliwości: Jeżeli uogólnimy rozumowanie, to dla sygnału u(t) mamy sygnał opisany szeregiem Fouriera leżącym w przedziale [-f max, f max ] czyli szerokość pasma wynosi 2f

f |s 0 (f)| -f max widmo sygnału u(t) f |S p (f)| -f max |s 0 (f)| |s 1 (f p -f)| |s 1 (f p +f)| widmo sygnału S p (t) dla f p >2f max, ten sygnał można odtworzyć

f |S p (f)| -f max |s 0 (f)| |s 1 (f p -f)| |s 1 (f p +f)| |s 2 (2f p -f)| |s 2 (2f p +f)| widmo sygnału S p (t), który nie spełnia warunku f p >2f max, czyli f p <2f max, sygnału nie można odtworzyć bez błędu. Jeżeli częstotliwość próbkowania f p spełnia warunek Nyquista f p >2f max, to można odtworzyć próbkowany sygnał.

Proces kwantyzacji t t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 t7t7 t8t8 Sygnał skwantowany Nr próbki Nr poziomu

Proces kodowania Korzystamy z kodu binarnego reprezentując liczbę za pomocą 0 i 1. Przyjmując, że zero odpowiada stanowi niskiemu, a 1 stanowi wysokiemu otrzymujemy ciąg impulsów. H L t znak bajt

Szumy Szumy cieplne wywołane chaotycznym ruchem elektronów Szumy śrutowe wynikają z ziarnistości strumienia ładunków zarówno w półprzewodnikach jak i w przyrządach próżniowych z katodą. Szumy typu 1/f wywołane generacją i rekombinacją nośników w obszarze bariery potencjału bądź na powierzchni półprzewodnika

Dla oceny wielkości szumów występujących w urządzeniach elektronicznych stosuje się tzw. współczynnik szumów F P s – moc sygnału użytecznego P n – moc szumów Najczęściej stosowane kreślenie w dB: