Dynamika bryły sztywnej Materiały uzupełniające

Dynamika ciała sztywnego Ruch prostoliniowy Ruch obrotowy Przemieszczenie x Prędkość Przyspieszenie Masa M Siła Praca Energia kinetyczna Przemieszczenie kątowe θ Prędkość kątowa Przyspieszenie kątowe Moment bezwładności I Moment siły Praca Energia kinetyczna

Dynamika ciała sztywnego c.d. Ruch obrotowy Ruch prostoliniowy Moc Pęd Moc Moment pędu

Wielkości wymienione w poprzedniej tabeli: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła, przemieszczenie kątowe, prędkość i przyspieszenie kątowe, moment siły, moment pędu są - wektorami. Masa, moment bezwładności, energia kinetyczna, praca – są skalarami. Dynamika ruchu obrotowego nie wprowadza nowych pojęć, jej parametry θ, ω, α odpowiadają parametrom x, v i a ruchu postępowego.

Odpowiednikiem siły w ruchu obrotowym jest moment 𝛕 siły F, działającej na punkt materialny:

Odpowiednikiem pędu jest moment L pędu : r θ

Jeżeli F i r leżą w płaszczyźnie xy, to obrót nastąpi wokół osi z F Dynamika ciała sztywnego zajmuje się ruchem układu punktów materialnych tworzących ciało sztywne, które może się obracać wokół osi pod wpływem przyłożonej siły. Położenie punktu P względem osi obrotu, w którym przyłożona jest siła, definiuje wektor r. Jeżeli F i r leżą w płaszczyźnie xy, to obrót nastąpi wokół osi z F y r P x

Moment bezwładności I W dynamice ruchu obrotowego (obrót ciała sztywnego) masę ciała zastępujemy układem elementów masy mi rozłożonych w przestrzeni, odległych o ri od wybranej osi obrotu – zastępujemy sumą iloczynów pomnożonych przez kwadrat odległości. Moment bezwładności definiujemy następująco:

Przykład 1 Mierząc energie poziomów rotacyjnych cząsteczki fluorowodoru HF stwierdzono, że jej moment bezwładności I względem środka masy 0 wynosi 1.37•10-47 kg•m2. Określić odległość r między dwoma atomami H i F, jeżeli odpowiednie masy wynoszą: mH = 1.67 • 10-27 kg mF = 3.17 • 10-27 kg mF mH rF rH

Moment bezwładności Położenie środka masy, korzystne jest umieszczenie w punkcie o współrzędnej równej zero. Odległość atomów H i F

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi Rozwiązując otrzymujemy:

Przykład 2 Obliczyć energię kinetyczną E ruchu obrotowego pokazanego na rysunku łożyska kulkowego, którego wewnętrzny wałek o promieniu r i długości h obraca się z prędkością kątową ω, a n kulek toczy się bez poślizgu. Wszystkie elementy łożyska wykonane są z materiału o gęstości ρ. Promień każdej kulki wynosi a. r a Chwilowa oś obrotu kulki o promieniu a

Energia kinetyczna wewnętrznego wałka o momencie bezwładności I0 Prędkość liniowa kulki i walca są równe w punkcie styku. prędkość kątowa kulki Energię kinetyczną kulki liczymy względem chwilowej osi obrotu, promień obrotu r + 2a

Moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu Ik i energia Ek

Całkowita energia kinetyczna łożyska Efektywny moment bezwładności łożyska

Przykład 3 Jednorodny walec o masie m i promieniu r toczy się w polu siły ciężkości wewnątrz walca o promieniu R. znaleźć równanie ruchu walca wychylonego w chwili początkowej z położenia równowagi o kąt φ0. Kiedy to o trzymane równanie można w prosty sposób rozwiązać? O R O’ a φ

Środek małego walca porusza się względem osi obrotu O, po torze będącym wycinkiem kołowym o promieniu R – a z chwilową prędkością kątową ω1 i z prędkością liniową v. Mały walec względem osi O’ porusza się z prędkością kątową ω2 .

Całkowita energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu obrotowego względem osi O i względem osi O’. I – moment bezwładności względem osi O, I0 – względem osi)’

Całkowita energia kinetyczna wynosi: Energia potencjalna:

Na tej podstawie można napisać

Otrzymujemy równanie ruchu, trudne do rozwiązania jeżeli Otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego