Ruch układu o zmiennej masie Fizyka 2 Ruch układu o zmiennej masie

Ciało o masie M porusza się z prędkością v Ciało o masie M porusza się z prędkością v. W przedziale czasu t wyrzuca masę M z prędkością u w pokazanym układzie współrzędnych. y v u x

Zgodnie z prawami Newtona Zmiana pędu w czasie Siły zewnętrzne Wyznaczmy zmianę pędu obiektu wyrzucającego masę M w czasie t Różnica pędów: pk końcowego – początkowy pp

t → 0 wtedy v → 0, a v/ t należy zastąpić przez , a M /t przez „- „ bo ubytek

Pochodna iloczynu

Prędkość względna vwzgl

Równanie sił działających na układ o zmiennej masie sprowadza się w tym przypadku do sumy sił zewnętrznych i siły reakcji, jaką wywiera substancja wyrzucana na poruszające się ciało. Siłę reakcji nazywamy też siłą ciągu.

Przykłady 1. Na gładkim stole leży sznur, ¼ jego długości zwisa pionowo w dół. Znaleźć czas po którym cały sznur spadnie ze stołu, jeżeli w chwili t = 0 jego prędkość jest równa zeru, a całkowita długość sznura wynosi l. m– masa sznura, my - masa części zwisającej y(0) = ¼ l y(tk ) = l, tk - czas końcowy y

Rozwiązaniem takiego równania jest funkcja czasu i ma ogólną postać ert gdzie t jest czasem, r – pewną stałą. Funkcje te wstawiamy do równania sił działających na sznur, działających wzdłuż osi y. Siły działające wzdłuż osi x równoważą się.

Otrzymaliśmy wartość stałej r, która może być dodatnia i ujemna, z tego wynika że rozwiązanie jest sumą rozwiązań zaproponowanych z uwzględnieniem stałych A związanych z wymiarem sznura. Stałe A wyznaczamy mając jeszcze informację, że prędkość początkowa jest zerowa.

Czas końcowy wyznaczamy na podstawie informacji, że y(tk ) końcowa wynosi l . Zapis równania z użyciem funkcji hiperbolicznej

Funkcje hiperboliczne: sinus hiperboliczny cosinus hiperboliczny

u v µ = 200 kg/s Przyrosty skończone zastępujemy nieskończenie małymi. Przykład 2 Na kutrze o masie m = 2•100 000 kg ustawiono specjalny silnik pobierający wodę na dziobie i wyrzucający w kierunku przeciwnym do ruchu kutra 200 kg wody w ciągu sekundy z szybkością u = 5 m/s względem kutra. Znaleźć prędkość kutra po czasie 5 min. od rozpoczęcia ruchu. Opór wody pominąć. W chwili t = 0, v(0) = 0 u v µ = 200 kg/s Przyrosty skończone zastępujemy nieskończenie małymi. Prawo zachowania pędu

W chwili t = 0, v(0) = 0 C – stała całkowania V = 1.3 m/s Następnie separujemy zmienne, a następnie całkujemy Otrzymaliśmy równanie różniczkowe, którego rozwiązanie ma postać następującą: W chwili t = 0, v(0) = 0 C – stała całkowania V = 1.3 m/s

Rozwiązanie wykorzystujące równanie sil działających w przypadku zmiennej masy układu

Otrzymujemy równanie, jak w poprzedniej metodzie.

3. Rakieta o początkowej masie M0 startuje pionowo do góry 3. Rakieta o początkowej masie M0 startuje pionowo do góry. Szybkość spalania dM/dt materiału pędnego jest stała. Prędkość vwzgl wyrzucanych gazów względem rakiety jest również stała. Jaka będzie prędkość rakiety w dużej odległości od powierzchni Ziemi, kiedy można pominąć wszystkie działające na nią siły zewnętrzne? Siły zewnętrzne są pomijalne, a prędkość wyrzucanych przez rakietę gazów jest stała

Całkujemy to wyrażenie od chwili w której prędkość wynosi v0, a masa Mo Prędkość rakiety zależy od prędkości wyrzucanych gazów i od ułamka masy wyrzucanej substancji.

4. Z nieruchomego zbiornika sypie się piasek z szybkością dM/dt na pas transportera, poruszającego się z prędkością v. Jaka jest wartość siły potrzebnej do utrzymania pasa w ruchu ze stałą prędkością? Wyznaczyć moc potrzebną. dM/dt v

Jeżeli pas transportera porusza się ze stałą prędkością to równanie układu ze zmienną masą przyjmuje postać:

Ujemna wartość prędkości względnej wynika z tego, że zbiornik, z którego sypie się piasek jest nieruchomy Moc dostarczona przez siłę zewnętrzną wynosi:

4. Robotnik rozwija linę z leżącego na ziemi zwoju 4. Robotnik rozwija linę z leżącego na ziemi zwoju. Liniowa gęstość liny wynosi λ. Jaką siła musi on działać na linę, aby idąc wzdłuż prostej utrzymać stałą prędkość v0 (rozwinięta lina nie dotyka ziemi)? Równanie sił działających na linę o masie M (masa części rozwiniętej)

Robotnik porusza się wzdłuż prostej x, x jest długością części rozwiniętej.