Platon (427-347p.n.e.) Był twórcą systemu filozoficznego zwanego idealizmem platońskim. Uważa się, że to od Platona zaczyna się filozofia rozumiana jako nauka systematyczna, a nie przypadkowe spekulacje. Był założycielem słynnej Akademii. W geometrii znane są jego konstrukcje za pomocą linijki i cyrkla oraz bryły platońskie, czyli wielościany foremne.

Wielokąty foremne Kąty wielościenne Platon Teajtetos

Czworościan Ośmiościan Dwudziestościan Sześcian Dwunastościan

Czworościan Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu.

Pole powierzchni całkowitej: 𝑆= 3 ∙ 𝑎 2 ≈1,7321∙ 𝑎 2 Objętość: 𝑉= 2 12 ∙ 𝑎 3 ≈0,1179∙ 𝑎 3 Wysokość: ℎ=𝑎∙ 24 6 =𝑎∙ 6 3 ≈0,8165 ∙𝑎

Sześcian  Kąt bryłowy przy jego wierzchołku (tj. kąt trójścienny) wynosi π/2, Sześcian jest także szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, prostopadłościanu

Objętość: 𝑉= 𝑎 3 Pole powierzchni całkowitej: 𝑆=6∙ 𝑎 2 Wysokość: ℎ=𝑎 Przekątna: 𝑑=𝑎∙ 3

Ośmiościan Ścinając wierzchołki ośmiościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie ośmiościan ścięty. Ośmiościan foremny jest także antygraniastosłupem. Ośmiościan foremny ma cztery pary ścian do siebie równoległych.

Pole powierzchni całkowitej: Objętość: 𝑉= 2 3 ∙ 𝑎 3 ≈3,4641∙ 𝑎 3 Pole powierzchni całkowitej: 𝑆=2 3 ∙ 𝑎 2 ≈0,4714 ∙ 𝑎 2 Wysokość: ℎ= 𝑎 3 ∙ 6 ≈0,8165 ∙𝑎 Przekątna: 𝑑=𝑎∙ 2 ≈1,4142∙ 𝑎

Dwunastościan Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty.

Pole powierzchni całkowitej: 𝑆=3∙ 𝑎 2 ∙ 5(5+2 5) ≈20,6457 ∙𝑎 2 Objętość: 𝑉= 1 4 ∙ 𝑎 3 ∙(15+7 5 )≈7,6613∙ 𝑎 3 Miara kąta między ścianami: 𝛼=116,6° Alfa – miara kąta między ścianami

Dwudziestościan Posiada 15 płaszczyzn symetrii. Ścinając wierzchołki dwudziestościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwudziestościan ścięty.

Pole powierzchni całkowitej: 𝑆=5∙ 𝑎 2∙ 3 ≈8,6603 ∙𝑎 2 Objętość: 𝑉= 5 13 ∙ 𝑎 3 (3+ 5 )≈2,1817∙ 𝑎 3 Miara kąta między ścianami bocznymi: 𝛼=138,2° Alfa – miara kąta między ścianami

Wielościany foremne

Wielościany foremne

Zadanie 1 Oblicz wysokość czworościanu foremnego o boku długości a. Wyznacz jego objętość. Zadanie 2 Wykaż, że promień kuli opisanej na czworo-ścianie foremnym o boku długości a wynosi

Praca domowa  Zadanie 3 Oblicz długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości a. Zadanie 4 Oblicz objętość sześcianu, którego przekątna ma długość cm.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył: ogień - czworościan, ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda - dwudziestościan. Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączono go do systemu jako symbol całego wszechświata (eteru)

ośmiościan – dwudziestościan – dwunastościan – czworościan - sześcian

Reprodukcje rysunków pochodzących z Mysterium Cosmographicum (1595) Keplera

minerały

diament

fluoryt

piryt

piryt

Krzemiany i glinkokrzemiany

akwamaryn

aragonit

halit

Kryształ górski

Gips...

morion

rubelit

staurolit

topaz

wulfenit

kalcyt

kalcyt

Galena na sfalerycie

Oliwin

bizmut

Układ krystaliczny Możliwe typy sieci Trójskośny Jednoskośny Rombowy prymitywna (P) centrowana na podstawach (C) przestrzennie centrowana (I) ściennie centrowana (F) Tetragonalny Romboedryczny Heksagonalny Regularny