W dalszej części zajęć wyróżniać będziemy następujące rodzaje szeregów: szereg szczegółowy szereg rozdzielczy przedziałowy szereg rozdzielczy punktowy

Szereg szczegółowy

Szereg rozdzielczy przedziałowy

Szereg rozdzielczy punktowy

Miary i wskaźniki służące do oceny badanej cechy

Miary pozycyjne Miary pozycyjne są rzeczywistymi wartościami badanej cechy statystycznej występujące w uporządkowanym szeregu statystycznym, wybrane ze względu na zajmowaną pozycję w tym szeregu. Do miar pozycyjnych zalicza się przede wszystkim wartość modalną (dominantę) i medianę

Wartość modalna (dominanta) Wartość modalna (Mo) jest to wartość cechy, która najczęściej (najliczniej) występuje w badanej zbiorowości statystycznej. Można, stwierdzić, że jest to wartość typowa dla tej zbiorowości. Wartość modalną przedstawiać będziemy następująco: Mo = xd gdzie xd wartość cechy, dla której ni = max Przykład Zbadano cenę paliwa E-95 na 9 stacjach benzynowych w Warszawie. 3,5 3,7 3,6 3,7 3,6 3,8 3,6 3,9 3,8 ile wynosi wartość modalna ceny paliwa 3,5 3,6 3,6 3,6 3,7 3,7 3,8 3,8 3,9 Mo = 3,6

Wartość modalna (dominanta) Jeżeli materiał statystyczny podany jest w postaci szeregu rozdzielczego przedziałowego, znajdujemy najpierw przedział w o największej liczebności. Następnie wyznaczamy wartość modalną na podstawie następującego wzoru interpolacyjnego. gdzie: xDd — dolna granica przedziału wartości modalnej nd — liczebność przedziału wartości modalnej nd-1 — liczebność przedziału poprzedzającego przedział wartości modalnej nd+1 — liczebność przedziału następującego po przedziale wartości modalnej ld — rozpiętość przedziału wartości modalnej.

Wartość modalna (dominanta) wyznaczanie metodą graficzną xi

Miary i wskaźniki służące do oceny badanej cechy

Mediana (wartość środkowa) Jest to wartość cechy, która rozdziela zbiorowość na dwie równe części, zajmując środkową pozycję w szeregu statystycznym.

Mediana (wartość środkowa) gdy n jest nieparzyste gdy n jest parzyste

Dysponujemy zbiorem informacji o liczbie wyrobów wytworzonych na siedmiu stanowiskach pracy: 101, 92, 95, 98, 96, 94, 97 Wyznacz medianę Przypadek gdy n – nieparzyste 92, 94, 95, 96, 97, 98, 101

Dysponujemy zbiorem informacji o liczbie wyrobów wytworzonych na siedmiu stanowiskach pracy: 101, 92, 95, 98, 96, 94, 97, 88 Wyznacz medianę Przypadek gdy n – parzyste 88, 92, 94, 95, 96, 97, 98, 101

Me

Mediana Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego, najpierw wyznacza się przedział klasowy mediany. Przy wyznaczaniu tego przedziału korzystamy z szeregu kumulacyjnego (szereg powstały w wyniku narastającego sumowania liczebności poszczególnych klas). Następnie stosujemy następujący wzór przybliżający wartość mediany: xDM – dolna granica przedziału klasowego mediany, lM – rozpiętość przedziału klasowego mediany, nM – liczba jednostek obserwacji w przedziale klasowym mediany PMe – pozycja mediany w szeregu statystycznym - łączna liczba obserwacji w klasach poprzedzających klasę zawierającą medianę, czyli liczebność skumulowana przedziałów klasowych poprzedzających przedział mediany

Liczebność skumulowana 100 350 750 1250 1600 1800

Liczebność skumulowana 100 350 750 1250 1600 1800

Mediana wyznaczanie metodą graficzną nsk PMe Me xi

Miary pozycyjne wyższych rzędów Mediana dzieli zbiorowość na równe dwie części, a więc informuje, poniżej i powyżej jakiej wartości cechy znajduje się 50% zbiorowości. Według tej samej zasady można podzielić zbiorowość na większą liczbę części. Wartości te nazywamy kwantylami (od słowa „kwant”). W zależności od liczby części, na jakie dzieli się zbiór wartości badanej cechy, otrzymujemy konkretne kwantyle. Najczęściej stosowane są: kwartyle – dzielą szereg statystyczny na 4 części (jest ich 3) decyle – dzielą szereg statystyczny na 10 części (jest ich 9) centyle – dzielą szereg statystyczny na 100 części (jest ich 99).

Kwantyle oznaczać będziemy następująco: Qb,v gdzie: b – numer kwantyla, v – rząd kwantyla, tzn. dla kwartyli v = 4, dla decyli v = 10, a dla centyli v = 100. KWARTYLE pierwszy element w zbiorze ostatni element w zbiorze Q1,4 Q2,4 Q3,4

Q1,4 Me Q3,4

Miary i wskaźniki służące do oceny badanej cechy rozstęp odchylenie ćwiartkowe współczynnik skośności

Wariancja Wariancja jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń wartości cechy od średniej. Wariancja dla szeregu szczegółowego Wariancja dla szeregu rozdzielczego przedziałowego Wariancja dla szeregu rozdzielczego punktowego

Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym średniej arytmetycznej, kwadratów odchyleń wartości cechy od średniej. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji. dla szeregu szczegółowego dla szeregu rozdzielczego przedziałowego dla szeregu rozdzielczego punktowego

Wiek Liczba 10-20 100 20-30 250 30-40 400 40-50 500 50-60 350 60-70 200 Razem 1800 15 1500 784 78400 25 6250 324 81000 35 14000 64 25600 45 22500 4 2000 55 19250 144 50400 65 13000 484 96800 76500 334200

Obszar wartości charakterystycznych badanej cechy statystycznej ni Obszar wartości charakterystycznych badanej cechy statystycznej Obszar wartości badanej cechy statystycznej Obszar wartości typowych badanej cechy statystycznej s s s s s s 68% xi 95% 99%

Odchylenie przeciętne Odchylenie przeciętne jest średnią arytmetyczną odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej. dla szeregu szczegółowego dla szeregu rozdzielczego przedziałowego dla szeregu rozdzielczego punktowego

Miary i wskaźniki służące do oceny badanej cechy rozstęp odchylenie ćwiartkowe współczynnik skośności

Odchylenie przeciętne Odchylenie przeciętne jest średnią arytmetyczną odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej. dla szeregu szczegółowego dla szeregu rozdzielczego przedziałowego dla szeregu rozdzielczego punktowego