Sympleksy n=2

Tw. Sympleks S jest zbiorem wypukłym. Dw. Niech należy sprawdzić, że c.n.d.

Tw. Zbiór jest obwiednią wypukłą zbioru punktów Dowód: Zał. indukcyjne: Rozważmy gdzie Ponieważ K wypukły c.n.d.

Twierdzenie o niezależności układu wektorów Tw. Układ wektorów jeśli układ nie leży na jednej hiperpłaszczyźnie. Dowód: Hip W postaci macierzowej: to oznacza, że punkty należą do hiperpłaszczyzny: c.n.d.

Uwaga: N=2 Równanie odcinka N=3 Powyższe równanie spełniają punkty ścianki przechodzącej Przez punkty Natomiast równanie jest równaniem krawędzi Analogicznie dla pozostałych ścianek i krawędzi.

Współrzędne barycentryczne Def. Jeśli nazywamy współrzędnymi barycentrycznymi punktu P. Tw. Współrzędne barycentryczne dowolnego punktu w przestrzeni n-wymiarowej wyznaczone są w sposób jednoznaczny. czyli albo w postaci macierzowej: Na podstawie poprzedniego tw. macierz tego układu jest nieosobliwa zatem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.

Współrzędne barycentryczne c.d. Uwaga: Każdy punkt może być jednoznacznie wyrażony poprzez liniową kombinację Punkt należy do sympleksu, jeśli dla każdego i punkt leży na brzegu, jeśli Punkt leży na zewnątrz sympleksu, jeśli przynajmniej jedno Przykład N=2

Współrzędne barycentryczne c.d. X

Współrzędne barycentryczne c.d. Przykład N=3 Jeśli wówczas punkt X leży we wnętrzu sympleksu, jeśli wtedy punkt wewnątrz ścianki Analogicznie jest przy zerowaniu się kolejnych współrzędnych barycentrycznych. Jeśli na przykład wtedy punkt X leży na krawędzi W przypadku, kiedy punkt X leży na zewnątrz czworościanu.

Ścianki sympleksu Def. Ścianką (krawędzią) wymiaru sympleksu nazywamy zbiór: Dla ścianek (krawędzi) sympleksu S zachodzi następujący wzór: jest k+1- elementową kombinacją ze zbioru {0,1,…,n}.

Przykład N=2

Przykład N=3

Przykład N=4

Podział symplicjalny Def. Podziałem symplicjalnym nazywamy taki podział sympleksu nazywamy taką rodzinę sympleksów, która pokrywa S i w której każde dwa sympleksy są rozłączne. Def. Środkiem ciężkości sympleksu nazywamy punkt: Niech oraz Def. Mówimy, że

Twierdzenie o podziale symplicjalnym Rodzina sympleksów gdzie oraz stanowi podział symplicjalny sympleksu S. N=3 N=2 4×6=24 3×2=6

Podział symplicjalny N=2,3 Niech N=3 N=2 Z każdego węzła „wychodzą” kombinacje o 1 krótsze niż węźle. (0,1,2,3) (0,1,2) (0,1,2) (0,1,3) (0,2,3) (1,2,3) (0,1) (0,2) (1,2) (0,1) (0,2) (1,2) (0) (1) (0) (2) (1) (2) (0) (1) (0) (2) (1) (2)

Przecinanie się prostej z odcinkiem W wielu zagadnieniach geometrii obliczeniowej istnieje potrzeba roztrzygnięcia, czy dana prosta przecina dany odcinek bez potrzeby wyznaczania tego punktu. A A B L(X)=0 L(X)=0 B L(A)L(B)>0 L(A)L(B)<0 Jeśli L(A)L(B)<0, wówczas odcinek przecina prostą, jeśli L(A)L(B)>0, wtedy odcinek i prosta nie przecinają się.

Przecinanie się odcinka z hiperpłaszczyzną (płaszczyzną) Równanie hiperpłaszczyzny w A A d X B d B wówczas odcinek [A,B] nie przecina hiperpłaszczyzny. Jeśli wtedy odcinek [A,B] przecina hiperpłaszczyznę. Jeśli natomiast

Przecinanie się dwóch odcinków B B D B D Odcinki [A,B] oraz [C,D] nie przecinają, jeżeli punkty A, B leżą po jednej stronie prostej przechodzącej przez punkty C, D lub punkty C, D leżą po jednej stronie prostej przechodzącej przez punkty A, B. W postaci matematycznej:

Uwaga Jeśli któreś z końców dwóch odcinków pokrywają się, wówczas uznanie czy te odcinki przecinają się, czy też nie zależy od dziedziny zastosowania. W strukturach danych współrzędne punktów zapamiętywane są jako zmienne rzeczywiste, odcinek zaś jest reprezentowany jako para zmiennych całkowitych. Ponieważ w programie komputerowym łatwo jest porównywać zmienne całkowite niż rzeczywiste wobec tego przy badaniu przecięć odcinków należy najpierw sprawdzić, czy indeksy końców pokrywają się.

Triangularyzacja układu punktów Def. Zbiór sympleksów (trójkątów) W przestrzeni N-wymiarowej nazywamy triangularyzacją układu punktów, jeśli: (i) jest zbiorem wypukłym, Wszystkie wierzchołki wszystkich sympleksów są elementami zbioru punktów (iii) Każdy jest wierzchołkiem przynajmniej jednego z sympleksów (iv)

Triangularyzacja układu punktów triangulacja inna triangulacja Uwarunkowanie trójkąta C B A źle uwarunkowany trójkąt

Uwarunkowanie trójkąta Tw. Współczynnik uwarunkowania trójkąta spełnia nierówność oraz przyjmuje wartość 1dla trójkąta równobocznego. C Z rysunku h Po kolejnych przekształceniach: A x y B Warunek konieczny ekstremum funkcji wielu zmiennych:

Wielokąty monotoniczne Jednym ze sposobów triangularyzacji wielokąta mogłoby być podzielenie go na tak zwane wielokąty monotoniczne. a w szczególności wypukłe. Def. Wielokąt prosty nazywamy momnotonicznym ze względu na Prostą jeśli dla każdej prostej m prostopadłej do l zbiór jest zbiorem spójnym (czyli odcinkiem, punktem bądź zbiorem pustym). Uwaga: Każdy wielokąt wypukły jest monotoniczny ze względu na każdą prostą. P l

Wielokąty monotoniczne Def. Wielokąt monotoniczny ze względu na oś y (x) nazywamy y-monotonicznym (x-monotonicznym). Uwaga: Następująca cecha jest charakterystyczna dla y-monotonicznych wielokątów: Jeśli posuwamy się z najwyższego do najniższego wierzchołka przez lewą lub prawą część brzegu to zawsze posuwamy się w dół lub poziomo, ale nigdy w górę. Def. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki i leżący wewnątrz tego wielokąta.

Triangularyzacja monotonicznych wielokątów Załóżmy, że P jest y-monotoniczny . Uporządkujmy punkty zbioru P względem współrzędnej y. dla celów roboczych przyjmijmy stos S, który na początku będzie zbiorem pustym. W trakcie realizacji będzie zawierał te wierzchołki, z których można poprowadzić przekątne, poczynając od najwyższego wierzchołka. Ta część wielokąta która jest sukcesywnie odcinana od góry jest już striangularyzowana. Na stosie pierwszym punktem jest punkt zaznaczony na kolorowo, wszystkie powyżej są wyrzucone. Następnym punktem będzie punkt z prawego albo lewego łańcucha.

Triangularyzacja monotonicznych wielokątów Jeśli punkt jest po lewej stronie łączymy go z kolejnymi wierzchołkami z prawego łańcucha. Kształt nie pokrytej trójkątami części wielokąta będzie przypominał odwrócony komin to znaczy, że kąty wewnętrzne będą rozwarte (po odcięciu trójkątów z ostrymi wierzchołkami). Punkty, które są całkowicie odcięte przez przekątną są usuwane ze stosu a dokładane kolejne. Procedura kończy do wyczerpania wszystkich punktów.

Triangularyzacja monotonicznych wielokątów W drugim przypadku punkt będzie znajdował się po tej samej stronie łańcucha, pomimo tego jeden z punktów refleksywnych da się połączyć przekątną z bieżącym punktem stosu. Przesuwamy się o jeden punkt w dół jako, że nasz bieżący punkt jest już połączony z bokiem wielokąta. Tak wybrany sprawdzamy, czy może tworzyć przekątną z kolejnymi. (dwie przekątne koloru czerwonego). Dalej postępujemy podobnie.