Wykład 18 7.3 Transformacja Lorentza 7.2 Stałość prędkości światła- Doświadczenie Michelsona-Morley’a 7.3 Transformacja Lorentza 7.3.1 Względność równoczesności 7.3.2 Transformacja Lorentza 7.3.3 Dodawanie prędkości 7.3.4 Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda 7.3.5 Dylatacja czasu 05-12-2008 Reinhard Kulessa

7.2 Stałość prędkości światła- Doświadczenie Michelsona-Morley’a W IX wieku teorie tłumaczące rozchodzenie się światła zakładały istnienie tzw. eteru - czyli ośrodka mającego bardzo szczególne właściwości, dużą sprężystość, przeźroczystość i przenikliwość, przenikającego wszystko i będącego również w próżni. Przy pomiarach prędkości światła trzeba by więc uwzględnić fakt, że Ziemia porusza się względem eteru. Ta prędkość względna powinna mieć wpływ na pomiary prędkości światła, o ile słuszna jest transformacja Galileusza. Jeśli mierzylibyśmy prędkość światła w układzie poruszającym się z prędkością v względem eteru, to dla dwóch różnych kierunków tej prędkości uzyskalibyśmy dwa różne rezultaty na prędkość światła v + c, i -v+c. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Z różnicy tych dwóch wartości możemy wyznaczyć prędkość v. Szereg przeprowadzonych eksperymentów dało jako wynik wartość v = 0. Ten fakt spowodował, że Einstein w 1905 r. sformułował swoje postulaty dotyczące tzw. szczególnej teorii względności. Prawa natury mają tą sama postać we wszystkich układach inercjalnych, Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu źródła i obserwatora. W roku 1881 Michelson chciał zbadać ruch Ziemi względem eteru przy pomocy doświadczenia, które tu przedyskutujemy. Użył on do tego bardzo czułego instrumentu optycznego – interferometru. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

l0 S S P O Q Światło ze źródła Q zostaje po soczewce posłane równoległą wiązką na półprzezroczystą płytkę P. Na płytce tej dzieli się i biegnie do luster S i S. Po odbiciu od luster obydwa promienie docierają do lunetki F. Tam obserwuje się obraz interferencyjny w postaci równoległych prążków. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Przypuśćmy, że interferometr spoczywa w eterze. Wtedy Obraz interferencyjny zależy od różnicy faz, a tym samym od różnicy t czasu przelotu obydwu promieni cząstkowych na drodze PSP i PSP. Przy czym PS = PS = l0 . Przypuśćmy, że interferometr spoczywa w eterze. Wtedy prędkość światła jest wszędzie równa c i t = 0. Jeżeli interferometr porusza się z prędkością v np. w kierunku PS, wtedy powinna wystąpić różnica czasu t . Można to zaobserwować w następujący sposób; Rozważmy układ U, w którym spoczywa eter i układ U’ poruszający się względem eteru w którym spoczywa interferometr. l0 S S P O Q v U W układzie U prędkość światła jest c, a w układzie U’ c-v () i c+v () zgodnie z transformacją Galileusza. W układzie U’ na czas przelotu odcinka PSP otrzymujemy wartość; 05-12-2008 Reinhard Kulessa

. Wyznaczenie prędkości po drodze PSP jest trochę trudniejsze. Rozpatrzmy ten problem w układzie U, w którym jak pamiętamy prędkość światła jest c. l0 S P vt v Widzimy, że; , lub 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Całkowita różnica czasu jest równa; . Całkowita różnica czasu jest równa; Wiadomo, że v<<c, możemy więc obydwa składniki ostatniego równania rozwinąć w szereg. Skorzystamy z szeregów: . 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Zaniedbując człony począwszy od kwadratowego, otrzymujemy; . Wniosek jest taki, że światło biegnące po drodze PSP potrzebuje czas dłuższy o t, niż światło biegnące po drodze PSP. Jeżeli obrócimy interferometr o 900, obydwa lustra S i S  zamienią się rolami, i jeśli tak jak założyliśmy ramiona z lustrami miały jednakową długość, różnica czasów powinna wynosić -t. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Jeżeli jako v przyjmiemy prędkość orbitalną Ziemi w ruchu Czyli oczekiwana różnica różnic czasowych dla dwóch położeń ramion powinna wynosić; . Jeżeli jako v przyjmiemy prędkość orbitalną Ziemi w ruchu dookoła Słońca i założymy średnią wartość tej prędkości jako 30 km/s, to możemy znaleźć wartość (t); . 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Tak małą różnicę czasów przelotu można zmierzyć przy pomocy interferometru. Dla porównania okres drgań fali świetlnej wynosi; . Różnice czasu rzędu 1/100 tej wielkości powodują jeszcze mierzalne przesunięcie prążków interferencyjnych. Linia przerywana przedstawia przewidywaną zmianę położenia, a czerwona otrzymaną w doświadczeniu. Różnice były 40 razy mniejsze niż przewidywane. Wniosek jest taki, że nie ma względnego Ruchu Ziemi względem eteru. Czyli, że nie ma wyróżnionego układu współrzędnych. x N S O W N S 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Michelson-Morley Data Over a period of about 50 years, the Michelson-Morley experiment was repeated with growing levels of sophistication. The overall result is a high level of confidence that the wavelength shift is consistent with zero. Shankland, et al., Rev. Mod. Phys. 27, 167 (1955) L (cm) Calcul. Observ. Ratio Michelson, 1881 120 .04 .02 2 Michelson & M. 1887 1100 .40 .01 40 Morley &Miller,1902-04 3220 1.13 .015 80 Illingworth, 1927 200 .07 .0004 175 Joos,1930 2100 .75 .002 375 05-12-2008 Reinhard Kulessa

7.3 Transformacja Lorentza 7.3.1 Względność równoczesności Przypomnijmy sobie postulaty Einsteina Prawa natury mają ta sama postać we wszystkich układach inercjalnych, Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu źródła i obserwatora. Wynik doświadczenia Michelsona, że nie ma wyróżnionego układu współrzędnych, jest zgodna z drugim postulatem Einsteina. Rozważmy następujące doświadczenie; W chwili t = 0 dwa układy U i U’ pokrywają się swoimi początkami O = O’ zachodzi błysk światła. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Układy te poruszają się z pewną prędkością w kierunku x . O O’ z’z x’x y’y v W obydwu układach prędkość światła wynosi c. Światło rozchodzi się kuliście, tak , że po czasie t pokonuje drogę ct. Mamy więc w układzie U; . (7.1) Równocześnie w układzie U’ mamy; (7.2) . 05-12-2008 Reinhard Kulessa

dla chwili t=t’ czoło fali x’ y v x y’ z’ P(x,y,z) P(x’,y’,z’) Wynika więc z tego, że dla chwili t=t’ czoło fali promienia świetlnego znajdowałoby się na dwóch różnych kulach o różnych środkach przesuniętych o odcinek OO’ = vt. Jest to pewnego rodzaju sprzeczność, którą możemy tylko wtedy wyjaśnić, gdy zaniechamy stosowania pojęcia czasu uniwersalnego i zamiast tego przyjmiemy, że przy przejściu pomiędzy dwoma poruszającymi się prostoliniowo układami współrzędnych następuje nie tylko zależna od czasu zmiana współrzędnych, ale również zależna od położenia zmiana czasu. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Rozważmy jako przykład tzw. pociąg Einsteina Błyskawica uderza w pociąg w punkach A’ i B’ oraz w szyny w punktach A i B. Światło z A’ osiąga ruchomego obserwatora R. Światło z A i B osiąga nieruchomego obserwatora w punkcie N. 4. Światło z B’ osiąga ruchomego obserwatora R B N A B’ R A’ 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Widzimy więc, że równoczesność jest względna a nie absolutna Widzimy więc, że równoczesność jest względna a nie absolutna. Zależy ona od ruchu obserwatora. Dla obserwatora N punkty A i A’ pokrywają się w tym samym czasie co punkty B i B’. Dla niego więc długość odcinka torów AB jest równa długości pociągu A’B’. Obserwator ruchomy R widzi jednak rzeczy inaczej. Ponieważ widzi on błyskawicę z przodu pociągu wcześniej niż z tyłu, wydaje mu się, że A i A’ koincydują wcześniej niż B i B’. Przyjmuje on więc, że długość toru AB jest krótsza od długości pociągu A’B’. Obydwaj obserwatorzy nie zgadzają się więc co do oceny długości jak i czasu. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

7.3.2 Transformacja Lorentza Opierając się na postulatach Einsteina postaramy się znaleźć zależność pomiędzy wartościami położenia i czasu mierzonymi przez jednego obserwatora, z odpowiednimi wartościami mierzonymi przez drugiego obserwatora znajdującego się w ruchu względem pierwszego obserwatora. Jeśli wybierzemy sobie dwa układy współrzędnych U i U’ z dwoma obserwatorami, to z transformacji Galileusza otrzymamy; x x’ U U’ v y y’ (7.3) . t’ bierze pod uwagę możliwość różnych skali czasowych. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Ponieważ może również zmieniać się długość(odległość) wprowadzamy czynnik skalujący  ( niezależny od pozycji i czasu), ale mogący zależeć od prędkości v. (7.4) . Zgodnie z I postulatem Einsteina w obydwu równaniach powinno występować to samo , aby nie wyróżniać żadnego z układów. Wprowadziliśmy współczynnik  jako matematyczną możliwość, gdy v  0,   1. Chcemy znaleźć  opierając się na II postulacie Einsteina. Jeśli w czasie pokrywania się początków układów U i U’ włączymy zegary, to pokażą one czas t i t’. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Jeśli w chwili pokrywania się układów dla (x = 0, t = 0, oraz x’ = 0, t’ = 0) w początku układów zajdzie błysk światła, to ze względu na to, że światło rozchodzi się w każdym z tych układów z prędkością c, mamy; . Wstawiając to do równania (7.4) mamy; . Mnożąc ostatnie dwa równania przez siebie otrzymujemy; . (7.5) Na współczynnik  otrzymujemy wyrażenie; 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Ze względu na to, że dla v = 0, x’ = x, przyjmujemy we wzorze . (7.6) Ze względu na to, że dla v = 0, x’ = x, przyjmujemy we wzorze (7.6) znak +1. Transformacja położenia i czasu przyjmie postać; (7.8) , Wzory przedstawiają transformacje Lorentza. . 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Wyprowadźmy wyrażenia dla różniczek położenia i czasu. 7.3.3 Dodawanie prędkości Chcąc wyrazić prędkość ciała poruszającego się w układzie ruchomym przez przez prędkość w układzie nieruchomym, nie możemy już stosować transformacji Galileusza, gdyż byłoby to sprzeczne z II postulatem Einsteina. Nowe wyrażenie na dodawanie prędkości wyprowadzimy w oparciu o transformację Lorentza (7.8). Wyprowadźmy wyrażenia dla różniczek położenia i czasu. (7.9) Dzieląc te równania stronami otrzymamy szukane zależności. 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Niech cząstka ma prędkość u w układzie U i u’ w układzie U’ tak jak na rysunku. x x’ U U’ v y y’ ux u’x’ , Gdy . . Wtedy , i mamy; . Czyli ostatecznie, 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Równocześnie ze względu na zależność możemy napisać, że; . (7.10) Równocześnie ze względu na zależność możemy napisać, że; . Po zebraniu wzorów na dodawanie prędkości razem, otrzymujemy; 05-12-2008 Reinhard Kulessa

(gdzie maksymalna wartość u=c, oraz v=c), otrzymujemy; (7.11) 1 2 v/c u/c Porównując dodawanie dwóch jednakowych prędkości u’ = v według Galileusza i Einsteina 05-12-2008 Reinhard Kulessa

7.3.4 Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda Rozważmy znów układ nieruchomy U i ruchomy U’, i zmierzmy w obydwu tych układach długość odcinka. W układzie U mamy x2 – x1 wykonujemy pomiar w chwili t1 = t2, aby móc przyjąć, że x2 – x1 oznacza długość. W układzie U’ mamy odpowiednio x’2-x’1. Korzystając z transformacji Lorentza, otrzymujemy; (7.12) . 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Odpowiednie przedziały czasowe 7.3.5 Dylatacja czasu Umieśćmy w stałym punkcie x’0 układu ruchomego U’ zegar. Układ ten porusza się z prędkością v w kierunku osi x’. W układzie nieruchomym U umieszczamy dwa zsynchronizowane zegary umieszczone w punktach x1 i x2. x x’ U U’ v y y’ x’0 x1 x2 Gdy zegar x’o w U’ mija zegar x1 w U, rejestrujemy czasy t’1 w układzie U’ i t1 w układzie U. Gdy zegar w U’ mija zegar x2 w U, rejestrujemy czasy t’2 w układzie U’ i t2 w układzie U. Odpowiednie przedziały czasowe Wynoszą w układzie U’ t’ = t’2 – t’1 , a w układzie U t = t2 – t1. W oparciu o równanie (7.9) mamy; 05-12-2008 Reinhard Kulessa

Ponieważ w układzie U’ zegar spoczywa, więc x’ = 0, mamy więc . (7.13) Przykład: Mion jest cząstką nietrwałą, rozpadającą się w czasie 2 s, mierzonym na zegarze będącym w spoczynku względem mionu. Licząc klasycznie- mion w poruszający się z prędkością c przebywa czasie swego życia drogę ct=3·108 m/s 2·10-6 s = 600 m zanim się rozpadnie. Wiele mionów dociera jednak do Ziemi. Odpowiedzmy na pytanie, czy mion o prędkości v = 0.9999c znajdujący się na wysokości 30 km dotrze do powierzchni Ziemi. Dla nas odległość pokonana przez mion będzie równa czyli doleci. 05-12-2008 Reinhard Kulessa