5.6 Podsumowanie wiadomości o polu elektrycznym Na poprzednich wykładach poznaliśmy następujące informacje dotyczące pola elektrycznego: Cyrkulacja pola Rotacja pola , definicja pola bezwirowego, pola o zerowej rotacji Twierdzenie Stokes’a, podjące związek pomiędzy całką po konturze, a całką powierzchniową, Definicja gradientu pola, Istnienie dla pola elektrycznego, które jest bezwirowe potencjału skalarnego, którego gradient jest równy natężeniu pola elektrycznego. Reinhard Kulessa

Dywergencję funkcji wektorowej, Prawo Gaussa, również w postaci różniczkowej Twierdzenie Gaussa podające związek pomiędzy całką powierzchniową a objętościową , Definicja potencjału skalarnego pola , Równania Poissona i Laplace’a pozwalające wyliczyć potencjał pola, Rozważmy pole elektryczne, dla którego gęstość ładunku =0. Wtedy dla potencjału spełnione jest równanie Poissona z =0, czyli równanie Laplace’a, V=0 . Jednoznaczne znalezienie potencjału wymaga dodatkowo podania warunków brzegowych, inaczej zawsze można by podać rozwiązanie V0. Reinhard Kulessa

Wykład 3 5.6.1 Linie sił pola elektrycznego Pamiętamy, że we wzorze (5.1) określiliśmy natężenie pola elektrycznego przy pomocy ładunku próbnego q0, którego wielkość dążyła do zera. Robiliśmy to po to, aby uniknąć wpływu ładunku próbnego na pole elektryczne. Pochodzące od ładunku Q natężenie pola elektrycznego w punkcie o współrzędnych r jest zdefiniowane przez równanie: (5.3) Wprowadzenie nowego ładunku, spowoduje zmianę pola przez zmianę położenia pierwotnych ładunków. Reinhard Kulessa

Tym nowym polem musimy posłużyć się przy liczeniu siły działającej na nowy ładunek. Pole elektryczne jest lokalną własnością każdego punktu układu. Znajomość pola w jakimś obszarze pozwala przewidzieć zachowanie się dowolnych ładunków w tym obszarze, przy czym znajomość źródeł pola jest nam niepotrzebna. Z drugiej strony dokładne wyznaczenie w każdym punkcie wartości pola, pozwala podać wartości i położenia ładunków stanowiących źródła pola. Jednym ze sposobów graficznego przedstawienia pola elektrycznego jest wyrysowanie linii pola. Są to linie, które w każdym punkcie są styczne do kierunku pola. Po nich poruszałby się nie zakłócający pola dodatni ładunek próbny. Pola pochodzące od pojedynczych ładunków przedstawione są na następnym rysunku.

Linie sił natężenia pola dla ładunków pojedynczych. Linie sił natężenia pola dla dwóch ładunków o przeciwnych znakach. Układ taki nazywamy dipolem. Reinhard Kulessa

Linie sił natężenia pola dla dwóch równych ładunków dodatnich Dla dwóch równych ujemnych ładunków zwrot linii sił będzie przeciwny. Należy podkreślić, że liczba linii natężenia pola elektrycznego przypadających na jednostkę powierzchni informuje nas o wielkości natężenia pola elektrycznego. Porównanie linii sił pola elektrycznego dla dwóch jednakowych, oraz dwóch przeciwnych ładunków przedstawione jest następnych rysunkach. Reinhard Kulessa

E=0 W połowie linii łączącej dwa jednakowe ładunki o jednakowych znakach natężenie pola elektrycznego jest równe zero. Reinhard Kulessa

- + Reinhard Kulessa

Linie ekwipotencjalne Reinhard Kulessa

Linie ekwipotencjalne + natężenie różnicowanie kolorem Reinhard Kulessa

Wektory natężenia pola elektrycznego dla dwóch ujemnych konturów Reinhard Kulessa

Kontury ekwipotencjalne Reinhard Kulessa

Kontury ekwipotencjalne+ efekt kolorów Reinhard Kulessa

5.6.2 Linie ekwipotencjalne Potencjał najlepiej jest przedstawić w postaci linii lub powierzchni ekwipotencjalnych, . Można je łatwo znaleźć z zależności . Linie sił pola elektrycznego są prostopadłe do linii lub powierzchni ekwipotencjalnych. Na linii ekwipotencjalnej V = const, czyli dV = 0. Reinhard Kulessa

Rozmieszczenie linii natężenia pola elektrycznego względem linii ekwipotencjalnych dla dwóch różnego znaku ładunków, przedstawia poniższy rysunek. Reinhard Kulessa

powierzchnie przewodników są powierzchniami ekwipotencjonalnymi. Przedstawiona tu prosta animacja pokazuje, że okręgi współśrodkowe z ładunkiem są liniami ekwipotencjalnymi. Z faktu, że natężenie pola elektrycznego E jest prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych wynika, że powierzchnie przewodników są powierzchniami ekwipotencjonalnymi. Reinhard Kulessa

5.7 Natężenie i potencjał pola dla zadanych rozkładów ładunków 5.7.1 Przewodząca kula naładowana ładunkiem Q E=0 V=const R r Zgodnie z prawem Gaussa E dA Reinhard Kulessa

Natężenie pola elektrycznego w odległości r od kuli przewodzącej o promieniu R i gęstości powierzchniowej ładunku równej  jest równe, (5.17) W oparciu o zależność pomiędzy natężeniem pola elektrycznego a potencjałem (r. (5.11a) ), otrzymamy na potencjał na zewnątrz oraz wewnątrz naładowanej przewodzącej kuli następujące wyrażenia: (5.18a) Reinhard Kulessa

(5.18b) Reinhard Kulessa

5.7.2 Pole elektryczne na „ostrzach” Doświadczenie uczy nas, że natężenie pola elektrycznego jest najsilniejsze w pobliżu ostrzy, czy nierówności powierzchni. Przedstawiony kształt możemy przybliżyć przez dwie przewodzące kule o różnych promieniach, połączone przewodnikiem. Otrzymujemy więc przewodnik o wspólnym jednakowym potencjale V. Reinhard Kulessa

R1 Potencjały kul o promieniach R1 i R2 przed połączeniem wynoszą odpowiednio V1 i V2. R2 = Po wyrównaniu się potencjałów na obydwu kulach mamy . Wiemy również, że Reinhard Kulessa

W oparciu o te równania możemy napisać: (5.19) Stwierdzamy więc że, rozkład ładunku na powierzchniach zakrzywionych jest taki, że pole E jest odwrotnie proporcjonalne do promienia krzywizny powierzchni. Reinhard Kulessa

5.7.3 Pole elektryczne i potencjał pochodzące od jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli =const r r’ dA’ dA W celu wyznaczenia natężenia posłużymy się prawem Gaussa.

E Zgodnie z równaniem (5.17) wyrażenia na natężenie pola i potencjał w odległości r>R od środka naładowanej nieprzewodzącej kuli są następujące: dA r A r’ R A’ (5.19a) dA’ =const Powierzchnia sferyczna o promieniu r’ wewnątrz kuli obejmuje tylko część ładunku Q(r’). Reinhard Kulessa

r’<R (5.20) Wobec tego zgodnie z prawem Gaussa: Widzimy więc, że we wnętrzu kuli natężenie pola wzrasta liniowo wraz z odległością od środka kuli Reinhard Kulessa

Na odległości r<R od środka jednorodnie naładowanej kuli Dla odległości większych niż promień kuli, natężenie pola i potencjał jest takie jak we wzorze (5.19a) Na odległości r<R od środka jednorodnie naładowanej kuli potencjał przyjmuje następującą wartość: (proszę obliczyć). (5.21) E(r) Rysunek obok przedstawia zależność natężenia w zależności od odległości od środka jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli. r R Reinhard Kulessa

5.7.4 Dipol elektryczny Policzymy potencjał i natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego, czyli układu dwóch jednakowych ładunków o przeciwnych znakach znajdujących się w pewnej odległości od siebie. P P Potencjał w punkcie P liczymy zgodnie z zasadą superpozycji. L cos   -Q +Q L Reinhard Kulessa

 L cos  Dla dużych r zachodzi r+ || r || r- i wtedy możemy napisać -Q +Q L Na potencjał w punkcie P otrzymujemy wyrażenie; Reinhard Kulessa

Wyrażenie nazywamy momentem dipolowym. (5.22) Wyrażenie nazywamy momentem dipolowym. Otrzymujemy więc: (5.23) Widzimy więc, że potencjał dipola maleje jak 1/r2, podczas gdy potencjał ładunku punktowego maleje jak 1/r. Reinhard Kulessa

Gradient we współrzędnych biegunowych ma składowe: W oparciu o znany potencjał policzmy natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola. Ponieważ mamy symetrię wokół osi x, możemy wykonać obliczenia we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie. y Gradient we współrzędnych biegunowych ma składowe: Mamy więc x P Reinhard Kulessa

Czyli, Korzystając z zależności pomiędzy wersorami układów kartezjańskiego i biegunowego: Reinhard Kulessa

Składowe równoległa (x) i prostopadła (y) natężenia pola elektrycznego pochodzącego od dipola są następujące: (5.24) Reinhard Kulessa

Linie sił natężenia pola elektrycznego dipola, oraz linie ekwipotencjalne są przedstawione na poniższym rysunku. Reinhard Kulessa

5.7.5 Jednorodnie naładowany dysk Wyliczymy potencjał i natężenie pola elektrycznego na osi jednorodnie naładowanego dysku, który podzielimy na pierścienie o promieniu y i szerokości dy x P dy R y Na pojedynczym pierścieniu znajduje się ładunek dq. Potencjał pochodzący od żółtego pierścienia w punkcie P wynosi: Reinhard Kulessa

Całkowity potencjał uzyskamy całkując po wszystkich pierścieniach Ładunek dq zawarty w pierścieniu wynosi dq = s 2p y dy. Na całkowity potencjał w punkcie P uzyskamy: Reinhard Kulessa

Pole elektryczne ma składową tylko w kierunku x. Mamy więc Reinhard Kulessa

Po zróżniczkowaniu otrzymamy na wartość natężenie pola elektrycznego w punkcie P na osi dysku wartość: Reinhard Kulessa

5.8 Rozkład potencjału dla zadanego ładunku na multipole (momenty multipolowe) x y d r  r -   P z Aby obliczyć potencjał w punkcie P pochodzący od zadanego rozkładu ładunku w objętości  stosujemy wzór (5.10). Reinhard Kulessa

(5.10) W ten sposób wyrażony potencjał, który jest funkcją wyrażenia możemy rozłożyć w szereg Taylora. Przypomnienie! Jeśli mamy jakąś ogólną funkcję to rozwinięcie tej funkcji w szereg Taylora wokół wygląda następująco: Reinhard Kulessa

Rozwijając w szereg Taylora funkcję ; Policzenie odpowiednich pochodnych cząstkowych pozostawiam Państwu. Na następnej stronie przedstawione są otrzymane wyrażenia na pochodne cząstkowe. Reinhard Kulessa

i.t.d. A więc dla r> możemy potencjał V(r) przedstawić następująco: Reinhard Kulessa

Równanie to możemy napisać w następującej postaci: (5.25) Potencjał monopola Potencjał dipola Potencjał kwadrupola Widzimy więc, że momentem monopolowym jest całkowity ładunek układu Q. Jest to wielkość skalarna. Reinhard Kulessa

Składowe wektora momentu dipolowego są następujące: Powyższe jest uogólnieniem wprowadzonego poprzednio momentu dipolowego dwóch ładunków +Q i -Q. Trzeci człon (3cz) w wyrażeniu (5.25) możemy przekształcić do następującej postaci: Wskazówka: korzystamy z tożsamości: Reinhard Kulessa

W wyrażeniu tym zdefiniowaliśmy tensor momentu kwadrupolowego Qij,, który w układzie kartezjańskim ma następującą postać: (5.26) Reinhard Kulessa

Przedyskutujmy uzyskane wyrażenie: (5.27) Przedyskutujmy uzyskane wyrażenie: kolejne składniki maleją ze wzrostem r coraz szybciej wyraz monopolowy  1/r wyraz dipolowy  1/r2 wyraz kwadrupolowy 1/r3 tensor momentu kwadrupolowego zdefiniowany w r.(5.26 ma tylko pięć niezależnych składników. Wynika to z tego, Qij=Qjj , oraz z faktu, że Qii=0. Ponieważ V(r) jest skalarem, każdy z momentów jest odpowiednio mnożony przez wielkość zależną od r tak, aby uzyskać skalar. Reinhard Kulessa