EKONOMETRIA CZ. II W. Borucki

Met. Simplex – rozwiązanie początkowe Doprowadzić zadanie do postaci kanonicznej (poprzez wprowadzenie zmiennych swobodnych - nieujemnych) tak by prawa strona równań była nieujemna (Uwaga: zmiennym swobodnym przypisujemy zerowe wartości współczynników funkcji celu) Poszukać macierzy jednostkowej. Tej macierzy odpowiadać będzie rozwiązanie bazowe, którego odpowiednie zmienne bazowe przyjmą wartości równe wartościom odpowiednich składowych wektora wyrazów wolnych. Jeśli nie można wskazać macierzy jednostkowej, to należy wprowadzić zmienne sztuczne do odpowiednich równań tak by można było wskazać macierz jednostkową Uwaga: a) rozwiązanie zawierające zmienne sztuczne nie jest rozwiązaniem dopuszczalnym; dopiero nieujemne bazowe rozwiązanie nie zawierające zmiennych sztucznych jest rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym b) trzeba wyeliminować zmienne sztuczne z rozwiązania i w tym celu współczynniki funkcji celu im odpowiadające przyjmują wartości bardzo duże dla minimalizowanych funkcji celu i bardzo małe dla maksymalizowanych funkcji celu. 4. Dopuszczalne (nieujemne) bazowe uznajemy za rozwiązanie początkowe i dla tego rozwiązania sprawdzamy kryteria optymalności rozwiązania

Metoda simplex – sprawdzenie optymalności rozwiązania Zmiennym bazowym (dla bazy B) z otrzymanego, poprzedniego rozwiązania przyporządkowujemy odpowiednie współczynniki występujące w funkcji celu (xi ↔ ci; pamiętamy, że zmienne nie bazowe mają wartość 0) Obliczamy wartość funkcji celu dla otrzymanego rozwiązania (suma iloczynów cixi ) Dla każdej zmiennej wyznaczamy wartość zj (suma iloczynów cidij, gdzie dij - współczynniki kombinacji równoważnej zawarte w macierzy B-1A) Obliczamy różnice Kj = cj – zj. Kj wskazują o ile wzrośnie wartość funkcji celu gdy do rozwiązania wprowadzona zostanie jedna jednostka zmiennej xj, wartości Kj dla aktualnych zmiennych bazowych zawsze wynoszą zero Rozwiązanie jest optymalne gdy wszystkie wartości Kj są niedodatnie (ujemne i zera) w przypadku zadania, w którym maksymalizujemy funkcję celu, a nieujemne w przypadku zadania, w którym funkcja celu jest minimalizowana Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, to otrzymane rozwiązanie nie jest optymalne i trzeba przejść do kroku poszukiwania rozwiązania lepszego od poprzedniego. Jeżeli rozwiązanie jest optymalne, to obliczenia można zakończyć. Warto jednakże na koniec przeprowadzić analizę wrażliwości rozwiązania.

Metoda simplex – poprawa rozwiązania Zgodnie z interpretacją wartości K do nowego rozwiązania bazowego wprowadzamy zmienną o największej efektywności poprawy wartości funkcji celu (dla zadań z max. – zmienną xj , dla której Kj = max) Następnie wskazujemy tę zmienną xi (ze starej bazy), dla której iloraz (xi /dij) jest najmniejszy. Ta zmienna zostanie z bazy usunięta, a na jej miejsce wprowadzona będzie zmienna xj, dla której Kj było maksymalne. Ta operacja zapewni nam, że następne rozwiązanie bazowe będzie nieujemne (trzeba zastosować operacje elementarne doprowadzające do uzyskanie wektora jednostkowego w j-tej kolumnie z jedynką w i-tym wierszu - odpowiadającym zmiennej xi). Po dokonaniu przekształceń należy przejść do procedury sprawdzenia optymalności rozwiązania.

Metoda simplex - zadanie 1 3x1 + 4x2 + 8x3→max x1 + x2 + 5x3 ≤ 1 3x1 + x2 + x3 ≤ 1 x1 , x2 , x3 ≥ 0

Metoda simplex – zadanie 2 3x1 + x2 + x3 → min x1 + 5x2 + 2x3 = 9 2x2 + x3 = 4 x1 + x2 = 1 x1 , x2 , x3 ≥ 0

Problem diety 1 Dany niech będzie zbiór produktów żywnościowych P1, P2, …Pn ,możliwych do wykorzystania w planowanej diecie. Każdy z produktów charakteryzuje się zawartością aij jednostek j-tego składnika odżywczego (spośród m składników) w i-tym produkcie. Dla każdego składnika odżywczego znane są dolne (dj) i górne kresy (gj), poniżej lub powyżej których ich spożycie jest niewskazane ze względów zdrowotnych. Znane są też jednostkowe ceny nabycia poszczególnych produktów żywnościowych – ci . Należy zaproponować taki sposób wyżywienia indywiduum (określić ilości produktów – xi // zmienne decyzyjne), ażeby spełniając warunki zdrowego żywienia koszt jego wyżywienia był minimalny.

Problem diety 2

Problem wyboru planu produkcji W danym zakładzie produkcyjnym produkuje się wyroby w1, w2, …, wn. Każdy z wyrobów, do jego wyprodukowania, wymaga zastosowania określonej ilości zasobów z1, z2, …, zm (np. energii, pracy, surowców, …), których wielkości są limitowane odpowiednio l1, l2, …, lm. Ograniczenia panujące na rynku są takie, że z jednej strony (dla utrzymania stałych klientów) należy wyprodukować co najmniej di jednostek produktu i, a z drugiej strony, ograniczony rynek nie jest w stanie wchłonąć więcej niż gi jednostek produktu i. Ceny sprzedaży hurtowej na poszczególne produkty są stałe i wynoszą ci jednostek. Należy sporządzić taki plan produkcji wyrobów (określić ile jednostek poszczególnych produktów należy wyprodukować – xi // zmienne decyzyjne), ażeby osiągnąć maksymalny przychód.

Problem wyboru planu prod. 2

Problem rozkroju (jednowymiarowego) Dane są podzbiory elementów o długości wj (dla j=1,…n) i każdy z nich liczebności odpowiednio gj. Elementy tych podzbiorów należy pociąć na wyroby A o długości l1 i B o długości l2 Jeden komplet stanowi r wyrobów A i p wyrobów B. W wyniku cięcia elementów powstaje odpad (część elementu do pocięcia, z której nie można uzyskać wyroby o długości l1 lub l2 , lub nie ma już takiej potrzeby). Elementy przeznaczone do pocięcia należy pociąć w taki sposób, ażeby zminimalizować odpad lub zmaksymalizować liczbę kompletów Jaka zmienna decyzyjna? Jakie zależności – warunki ograniczające?

Problem rozkroju (jednowymiarowego) 2 Zmienna decyzyjna – ile razy zastosować określony sposób cięcia (xj) Jak utworzyć tabelę wydajności technologii -sposobów cięcia (dla elementów o długości wi) x1 x2 … xm Liczba elementów A a11 a12 a1m Liczba elementów B a21 a22 a2m Odpad o1 o2 om

Problem rozkroju (jednowymiarowego) 3

Dualność w programowaniu liniowym Definicja zadań dualnych Dla zadań w postaci standardowej Dla zadań w postaci kanonicznej Jakie korzyści mamy z zadań dualnych Twierdzenie o równowadze Jak interpretujemy zmienne dualne Ceny równowagi / jakie ceny równowagi?

Dualność Prymalne i dualne zadania programowania liniowego cTx → max Ax ≤ b x≥ 0 cTx → min Ax ≥ b x≥ 0 bTy → min AT y ≥ c y ≥ 0 bTy → max AT y ≤ c y ≥ 0

Dualność 2 Twierdzenie o równowadze – wartość funkcji celu dla rozwiązania optymalnego zadania prymalnego równa jest wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego zadania dualnego. Warunkom ograniczającym zadania prymalnego spełnionym z równością dla rozwiązania optymalnego, odpowiadają zmienne dualne, których wartości są różne od zera (bazowe) dla rozwiązania optymalnego zadania dualnego. Interpretacja zmiennych dualnych dla rozwiązania optymalnego zadania dualnego: ceny zasobów wykorzystanych w pełni (zgodnie z limitem) w warunkach równowagi

Dualność – przykład – – rozwiązać zadanie 3x1 + 4x2 + 8x3→max x1 + x2 + 5x3 ≤ 1 3x1 + x2 + x3 ≤ 1 x1 , x2 , x3 ≥ 0

Analiza wrażliwości Powody: Podstawowe pytania Uproszczenia modelowania (ograniczenie listy zmiennych decyzyjnych lub warunków ograniczających), Zmienność otoczenia (np. zmienność wartości parametrów funkcji celu, lub wartości limitów zasobowych), Zmienność wewnętrzna, np. zastosowanie innowacji (np. konieczność wprowadzenia nowych zasobów – warunków ograniczających), Niedoskonały pomiar wartości parametru zadania – możliwość zmiany wartości współczynników technologicznych, Podstawowe pytania Czy znalezione rozwiązanie pozostanie optymalne pomimo zmiany wartości parametrów, lub dla jakiego przedziału zmienności parametrów rozwiązanie pozostaje optymalne? Jak zmieni się rozwiązanie optymalne gdy parametry zadania ulegną zmianie? (Czy zmieni się lista zmiennych decyzyjnych występujących w decyzji optymalnej z wartościami niezerowymi – czy zmieni się baza dla decyzji optymalnej?),

Analiza wrażliwości (kilka definicji pomocniczych) Krawędzie sąsiednie zbioru rozwiązań dopuszczalnych dla rozwiązania optymalnego, bazowego – krawędzie mające wspólny punkt (rozwiązanie bazowe) Gradienty krawędzi – wektory prostopadłe do płaszczyzn zawierających odpowiednie krawędzie. Warunek wiążący – warunek posiadający ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych co najmniej jeden punkt wspólny Warunek istotnie wiążący – warunek wyznaczający rozwiązanie optymalne

R2. - Analiza wrażliwości 2

Analiza wrażliwości 3

R2.- Analiza wrażliwości 4 Zmiany wartości współczynników funkcji celu w granicach wskazanych przez „gradienty graniczne” (odpowiadające krawędziom zbioru rozwiązań dopuszczalnych sąsiednim w stosunku do analizowanego rozwiązania optymalnego nie pociągają za sobą zmiany rozwiązania optymalnego zadania. Jeżeli zmiany wartości ograniczeń (dostępności zasobów) dotyczą warunków wiążących to modyfikują zbiór rozwiązań dopuszczalnych Jeżeli zmiany wartości ograniczeń dotyczą warunków istotnie wiążących, to zawsze skutkują zmianą rozwiązania optymalnego. Zmiany wartości ograniczeń dla warunków niewiążących mogą wpłynąć na rozwiązanie, jeżeli prowadzą do ograniczenia zbioru rozwiązań dopuszczalnych (stają się wiążące lub istotnie wiążące).

R3. Zadanie transportowe Danych jest n dostawców i m odbiorców pewnego jednorodnego towaru. Każdy z dostawców posiada ai jednostek (i=1,…,n) tego towaru, a odbiorcy zgłaszają zapotrzebowanie na bj jednostek (j=1, …m) tego towaru. Znane są też jednostkowe koszty transportu cij od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Towar należy przewieźć od dostawców do odbiorców w taki sposób, ażeby zaspokoić poszczególnych odbiorców towarem pochodzącym od dowolnego dostawcy i jednocześnie zminimalizować łączne koszty transportu. Jest oczywiste, że dowolny dostawca nie może wysłać więcej towaru aniżeli sam posiada. Tak sformułowane zadanie ma rozwiązanie gdy Zadanie, dla którego warunek spełniony jest z równością nazywamy zamkniętym zadaniem transportowym

R4. Zadanie transportowe 2 Model matematyczny

R3. Zadanie transportowe – algorytm ogólny K1. Znaleźć rozwiązanie początkowe K2. Ocenić czy rozwiązanie jest optymalne a. Jeżeli tak, to zakończyć obliczenia w K4. b. Jeżeli nie, to przejść do K3. K3. Znaleźć inne rozwiązanie, nie gorsze od otrzymanego i przejść do K2. Przyjąć rozwiązanie optymalne i wyznaczyć wartość funkcji celu

R3. Zadanie transportowe – rozwiązanie początkowe Zbilansowanie macierzy przepływów (uwaga: nie musi to być rozwiązanie bazowe!) Metoda kąta północno zachodniego (uwaga: może to być bardzo odległe od rozwiązania dobrego!) Metoda minimum kosztu jednostkowego (uwaga: to tylko optymalizacja lokalna) 1 2 … m C11 X11 C12 X12 A1 C22 X22 A2 Cij Xij n Cnm Xnm An B1 B2 Bm

ZZT rozw. pocz. 2 Przykład Tabela [Xij] 1 2 3 4 5 100 130 230 20 200 110 330 140 300 440 150 250 Przykład Tabela [Xij]

R3. Zadanie transportowe – ocena dobroci rozwiązania Oczywiście najlepsze rozwiązanie jest wtedy, gdy wszystkie niezerowe zmienne decyzyjne związane są tylko z takimi trasami, dla których koszty jednostkowe transportu są zerowe (wtedy tez minimalna wartość funkcji celu wynosi zero) Warto zauważyć, że jeżeli do wiersza lub kolumny macierzy kosztów jednostkowych dodamy (lub odejmiemy) stałą, to rozwiązanie optymalne ZZT nie ulegnie zmianie Jak połączyć oba fakty ? Należy dodać do wierszy lub kolumn takie wartości (αi, βj), ażeby otrzymać w każdym wierszu i kolumnie zera pozwalające na wpisanie takich wartości zmiennych decyzyjnych, dla których spełnione są warunki ograniczające. A jeśli nie wszystkie zmienne dadzą się wpisać na pola o zerowych wartościach, to należy zastanowić się gdzie w tabeli można (powinno się) otrzymać zero .

R3. Zadanie transportowe – ocena dobroci rozwiązania 2 Wyznaczyć koszty zastępcze: αi i βj Rozwiązać układ równań ĉij= (αi - βj), przy czym ĉij=cij dla (i,j) € B (aktualna baza) układ m+n-1 równań o m+n niewiadomych (jeden stopień swobody – ustalić jedną wartość np. α1 = 0). Wyznaczyć tabele różnic rij= cij – ĉij Jeśli wszystkie są nieujemne, to rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli istnieje rij<0, to rozwiązanie nie jest optymalne i należy przejść do poprawy rozwiązania. Tabela cij 1 2 3 4 5 7 230 8 6 330 9 440 100 150 200 250 300

ZZT - Ocena dobroci rozwiązania 3 Tabela ĉij 1 2 3 4 5 230 8 6 330 9 12 10 440 100 150 200 250 300

R3. Zadanie transportowe – poprawa rozwiązania Tabela rij 1 2 3 4 5 -1 230 330 -7 -10 -2 440 100 150 200 250 300 Znaleźć najmniejszą (ujemną ) wartość rij Znaleźć cykl zmian wartości xij Wyznaczyć wartość zmiennej wprowadzanej Skorygować wartości zmiennych z cyklu zmian Usunąć z bazy (jedną) zmienną, która przyjęła wartość zero, Przejść do kroku „Wyznaczyć wartości kosztów zastępczych” Tabela X2ij 1 2 3 4 5 100 130 230 20-d 200 110+d 330 +d 140 -d 300 440 150 250

Zadania pokrewne 1 Zadanie transportowo-magazynowe W n magazynach znajdują się odpowiednio ai jednostek pewnego jednorodnego towaru, który zamawiany jest przez m odbiorców składających zamówienia w ilości bj jednostek (Σai >Σbj ). Jednostkowe koszty transportu z i-tego magazynu do j-tego odbiorcy wynoszą cij. Nadwyżki towarów ponad zapotrzebowanie odbiorców pozostają w magazynie. Ich składowanie pociąga za sobą koszty proporcjonalne do ilości magazynowanych jednostek, a jednostkowe koszty magazynowania wynoszą mi. Należy wyznaczyć taki plan przewozów i magazynowania nadwyżki towarów ażeby zminimalizować łączne koszty transportu i magazynowania.

Zadania pokrewne 2 Model zadania transportowo-magazynowego

Zadania pokrewne 2 Zadanie transportowo-produkcyjne Danych jest n zakładów produkcyjnych, których zdolności produkcyjne przewyższają zapotrzebowanie rynku i wynoszą odpowiednio ai jednostek określonego i jednorodnego produktu. Jednostkowy koszt produkcji zależy od zakładu i wynosi odpowiednio pi jednostek. Towar po wyprodukowaniu transportowany jest do m odbiorców, którzy zgłaszają zapotrzebowanie w ilości bj jednostek. Jednostkowe koszty transportu z i-tego zakładu produkcyjnego do j-tego odbiorcy wynoszą odpowiednio cij jednostek. Należy tak zaplanować wykorzystanie zdolności produkcyjnych poszczególnych zakładów i zaproponować taki plan transportu wyprodukowanych towarów, ażeby zminimalizować łączne koszty transportu i produkcji towarów.

Zadanie pokrewne 4 Model zadania transportowo-produkcyjnego

Zadanie pokrewne 5 Zadanie wieloetapowe Jednorodny towar znajduje się u n dostawców w ilościach odpowiednio ai (i=1,2,…n) jednostek. Na towar zgłasza zapotrzebowanie m odbiorców odpowiednio w ilościach bj (j=1,2,…m) jednostek. Towar ten może trafić do odbiorców jedynie za pośrednictwem jednego z k magazynów, których zdolności magazynowania wynoszą odpowiednio dl (l=1,2,…,k) jednostek tego towaru. Znane są jednostkowe koszty transportu na etapie od dostawców do magazynów – c1il i na etapie od magazynów do odbiorców c2lj. Należy wyznaczyć taki plan przewozu na obu etapach, ażeby łączny koszt transportu towaru na obu etapach był minimalny.

Zadanie pokrewne 6 Model zadania dwuetapowego

Zadania pokrewne 6 Sprowadzić do ZZT z macierzą kosztów

Zadanie transportowe 1 Trzech dostawców, z których każdy ma po 250 jednostek pewnego towaru ma dostarczyć ten towar do pięciu odbiorców zgłaszających zapotrzebowanie w ilości odpowiednio 40, 55, 125, 140 i 180 jednostek. Nadwyżka towaru nad zapotrzebowanie powinna pozostać w magazynach, przy czym odpowiednie jednostkowe koszty magazynowania wynoszą 4, 6, i 8, a jednostkowe koszty transportu do poszczególnych odbiorców wynoszą : od dostawcy pierwszego 3, 5, 7, 4, 5, od dostawcy drugiego 6, 8, 2, 4, 1, a od dostawcy trzeciego 3, 3, 2, 2, 3 Wskazać plan przewozów i magazynowania nadwyżki towarów nad zapotrzebowanie minimalizujący łączne koszty transportu i magazynowania.

Zadanie transportowe 2 Trzech dostawców posiada odpowiednio 105, 145 i 185 jednostek pewnego towaru. Na towar ten zgłaszane jest zapotrzebowanie przez czterech odbiorców w wysokości odpowiednio: 70, 80, 110 i 130 jednostek. Zanim towar trafi do odbiorców musi przejść przez jeden z dwóch magazynów, których pojemność wynosi po 300 jednostek każdy. Jednostkowe koszty transportu od dostawców do magazynów wynoszą odpowiednio: 2, 4, 6 do pierwszego magazynu i 3, 7, 5 do drugiego magazynu, zaś jednostkowe koszty transportu z magazynu pierwszego do kolejnych odbiorców wynoszą: 9, 7, 9, 5, a z magazynu drugiego odpowiednio: 5, 7, 7, 5. Nadwyżka towarów nad zapotrzebowania pozostaje w magazynach, w których jednostkowy koszt magazynowania wynosi 3 i 4. Wyznaczyć plan przewozów minimalizujący łączne koszty transportu na obu etapach oraz koszty magazynowania nadwyżki towarów nad zapotrzebowanie.